730 likes | 1.1k Views
9. BILANGAN BULAT. 9.1 Bilangan Bulat Bilangan bulat adalah bilangan cacah ( whole number ) positif , negatif , atau nol. Sebagai contoh , 3, – 6, 7, 85, 0, atau –56. Sedangkan bilangan-bilangan termasuk bilangan bulat .
E N D
9.1 BilanganBulat Bilanganbulatadalahbilangancacah (whole number) positif, negatif, atau nol. Sebagaicontoh, 3, – 6, 7, 85, 0, atau –56. Sedangkanbilangan-bilangan termasukbilanganbulat. Himpunanbilanganbulat, dilambangkandengan Z, didefinisikansebagaiberikut, Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
9.2 SifatPembagianPadaBilanganBulat Definisi 9.1 Misal a dan b adalahduabuahbilanganbulat dan a 0. Dikatakanbahwa a habismembagi b (a divides b) jikaterdapatbilanganbulat c sedemikianrupa sehingga b = ac Dalambentuknotasi: a|bjika b = ac, cZdan a0 a habismembagi b, berarti b adalahkelipatan a
Jikahasilpembagianbilanganbulatadalahjugabilanganbulat, makaselaluterdapat: Hasilbagidansisapembagian Teorema 9.1 Misal m dan n adalahduabilanganbulatdengansyarat n > 0. Jika m dibagidengan n makaterdapatduabuahbilanganbulatunik q (quotient) dan r (remainder), sedemikiansehingga, m = nq + r dengansyarat0 r < n Teorema 9.1 diatasdisebutteorema Euclidean. Bilangan n disebutpembagi (divisor), m bilangan yang dibagi (divident), q disebuthasilbagi (quotient), dan r disebutsisa (remainder).
Opertator yang digunakanuntukmengekspresikan hasilbagidansisaadalah mod dan div sepertiberikut: m div n = q m mod n = r Contoh 9.1 1997 dibagi 87 memberikanhasilbagi = 22 dengansisa 83 dandapatditulismenjadi 1997 = (87)(22) + 83 atau 1997 div 87 = 22 1997 mod 87 = 83
Contoh 9.2 dibagi 4, dapatditulismenjadi = + 1 atau –47 div 4 = –12 –47 mod 4 = 1 (4)(–12) –47 Tidakboleh negatif Sebesarmungkin, tapitidakmelebihi
9.3 PembagianBersamaTerbesar (PBB) Greatest Common Divisor (GCD) Pembagibersamaterbesarseringjugadisebutdenganistilah “Faktor Persekutuan Terbesar (FPB)“ adalahfaktor yang membagihabisduabuahbilanganataulebih.
Contoh 9.3 60 memilikifaktorpembagi : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60. 48 memilikifaktorpembagi : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, 48. Faktorpembagi yang samaantara 60 dan 48 adalah: 1, 2, 3, 4, 6, 12. 12 merupakanfaktorpembagi yang terbesarantara bilangan 60 dan 48. Jadi PBB (60, 48) = 12
Definisi 9.2 Misaladanbadalahduabuahbilanganbulat 0. PBB dariadanbadalahbilanganbulatterbesardsedemikiansehinggad | adand | b, maka PBB (a, b) = d. Sifat-sifat PBB Misala, b, dancadalahbilanganbulat. Jikacadalah PBB dariadanbmakac | (a + b) Jikacadalah PBB dariadanbmakac | (a – b) Jika c | a, makac | ab
Teorema 9.2 Jika m dan n adalahduabilanganbulatdengansyarat n > 0 sedemikiansehingga, m = nq + r dengansyarat 0 r < n, maka PBB (m, n) = PBB (n, r) Contoh 9.4 Jika 80 dibagidengan 12 memberikanhasil 6 dan sisa 8, atau 80 = 12(6) + 8. Menurutteorema 9.2 PBB(80, 12) = PBB (12,8) = 4 Jika 12 dibagi 8 memberikanhasil 1 dansisa 4, atau 12 = (8)(1) + 4 Menurutteorema 9.2 PBB(12, 8) = PBB (8, 4) = 4
9.4 Algoritma Euclidean Algoritma Euclidean adalahcara lain untukmenentukan PBB duabilangan. Algoritma Euclidean adalahsebagaiberikut: Jikan = 0, makamadalah PBB(m, n); stop. Jika n 0, lanjutkankelangkah 2. 2. Bagimdenganndanmisalkanradalahsisanya. 3. Gantinilaimdenganndannilaindenganr Catatan Jikam < n, makapertukarkannilaimdann Contoh 9.5 Tentukan PBB (124, 48) denganmenggunakanalgoritma Euclidean!
Penyelesaian: m = 124, n = 48 m = qn + r 124 = (48) (2) + 28 n = 0 m = 4 48 = (28) (1) + 20 + 8 28 = (20) (1) Jadi PBB (124,48) = 4 20 = (8) (2) + 4 + 0 (2) 8 = (4) 4 = (0)
Teorema 9.3 Misal a dan b adalahduabuahbilanganbulatpositif, makaterdapatbilanganbulat m dan n sedemikiansehingga PBB (a, b) = ma + nb Teorema 9.3 menyatakanbahwa PBB duabuahbilanganbulat a dan b dapatdinyatakansebagaikombinasilanjat (linear combination) dengan m dan n sebagaikoeffisien-koeffisiennya. Misal PBB (80, 12) = 4, dan 4 = (–1) . 80 + 7 . 12 n = 7 m = –1
Metodeuntukmenemukankombinasilanjardari duabuahbilangansamadengan PBB-nyaadalah denganmelakukanpekerjaanpembagiansecara mundurpadaalgoritma Euclidean. Contoh 9.6 Nyatakan PBB (312, 70) = 2 sebagaikombinasilanjar dari 312 dan 70 Penyelesian
Terapkanalgoritma Euclidean untukmemperoleh PBB (312, 70) = 2 312 = 4.70 + 32 (i) 70 = 2.32 + 6 (ii) 32 = 5.6 + 2 (iii) 6 = 3. 2 + 0 (iv) Susunpembagian (iii) menjadi 2 = 32 – 5 . 6 (v) Susunpembagian (ii) menjadi 6 = 70 – 2.32 (vi) Sulihkan (vi) ke (v) menjadi 2 = 32 – 5 (70 – 2. 32) ` = 32 – 5.70 + 10.32 = 11. 32 – 5 . 70 (vii)
Susunpembagian (i) menjadi 32 = 312 – 4 . 70 (viii) Sulihkan (viii) ke (vii) menjadi 2 = 11. 32 – 5 . 70 = 11 ( 312 – 4.70) – 5. 70 = 11.312 – 49 . 70 Jadi PBB (312, 70) = 2 = 11 . 312 – 49 . 70
Relatif Prima Definisi 9.3 Duabuahbilanganbulat a dan b dikatakanrelatif prima (relatively prime) jika PBB (a, b) = 1 Berdasarkandefinisidiatas, jika a dan b relatif prima, makadapatditemukanbilanganbulat m dan n sedemikiansehingga ma + nb = 1 Contoh 9.7 Buktikanbahwa 20 dan 3 adalahrelatif prima. Bukti:
20 = 6.3 + 2 (i) 3 = 1.2 +1 (ii) 2 = 1.1 + 1 (iii) 1 = 1.1 + 0 (iv) Dari (iii) 1 = 2 – 1.1 (v) Dari (ii) 1 = 3 – 1.2 (vi) Sulihkan (vi) ke (v) 1 = 2 – 1 (3 – 1.2 ) = 2 – 1.3 + 1.2 = 2.2 – 1.3 (vii) Susunpersamaan (i) menjadi 2 = 20 – 6.3 (viii) Sulihkan (viii) ke (vii) 1 = 2(20 – 6.3) – 1 . 3 = 2 . 20 – 13 . 3 = 1 (terbukti) dengannilai m = 2 , n = –13
9.5 Aritmatika Modulo Definisi 9.4 Misal a adalahbilanganbulatdan m adalahbilanganbulat > 0. Operasia mod m (dibaca “a modulo m”) memberikansisajika a dibagidengan m. Dengankata lain a mod m sedemikiansehingga a = mq + r dengan 0 r < m. Hasilaritmatika modulo m terletakdalamhimpunan {0, 1, 2, … , m – 1}
Contoh 9. 8 Tentukanhasiloperasiaritmatika modulo berikut! 29 mod 6 32 mod 4 7 mod 9 –53 mod 11 –39 mod 13 Penyelesaian 29 mod 6 = 4, sebab 29 dibagi 6 memberikanhasil berupabilanganbulat (q) = 6 dansisa (r) = 4 b) 32 mod 4 = 0, sebab 32 dibagi 4 memberikanhasil berupabilanganbulat (q) = 8 dansisa (r) = 0 c) 7 mod 9 = 7, sebab 7 dibagisembilanmemberikan hasilberupabilanganbulat (q) = 0 dansisa (r) = 7
d) –53 mod 11 e) –39 mod 13 Petunjuk. Jikaanegatifdan (|a| mod m) 0, makadapat menggunakanrumusa mod m = m – (|a| mod m) –53 mod 11 = 11 – (|–53| mod 11) = 11 – (53 mod 11) = 11 – 9 = 2 Karena (|a| mod m) = 0, makatidakbisamenggunakanrumusuntuk d). –39 mod 13 = 0, sebab –39 dibagi 13 memberikanhasilberupabilanganbulat (q) = –3 dansisa (r) = 0
Kongruen Jikaduabuahbilanganbulatadanbmempunyaisisa yang samaapabiladibagidenganbilanganpositf m maka a dan b dikatakankongruendandilambangkandengana b (mod m). Lambang “” dibacakongruen. Jikaadanbtidakkongruendalam modulo m, maka ditulisab (mod m). Definisi 9.5 Misaladanbadalahduabilanganbulatdanmadalahbilangan > 0, makadikatakana b (mod m) jikamhabismembagia – b
Contoh 9. 9 Buktikanbahwa: 29 4 (mod 5) –6 14 (mod 4) Bukti 29 – 4 = 25 5 habismembagi 25. Jadi 29 4 (mod 5) – 6 – 14 = –20 4 habismembagi –20. Jadi–6 14 (mod 4)
Dari definisi 9.5 Jikaa b (mod m), makadapatditulisdalambentuk a = b + km kadalahsembarangbilanganbulat. Dari definisi 9.4 a mod m = rdapatditulisdalambentuk a r (mod m) Contoh 9.10 31 mod 4 = 3 dapatditulismenjadi 31 3 (mod 4) –32 mod 7 = 3 dapatditulismenjadi –32 3 (mod 4)
Teorema 9.4 Misalmadalahbilanganpositif, Jikaa b (mod m) dancadalahsembarangbilanganbulat, maka: (i) (a + c ) (b + c) (mod m) (ii) ca bc (mod m) (iii) ap bp (mod m) untuksuatubilanganbulattaknegatifp. 2. Jikaa b (mod m) danc d (mod m), maka: (i) (a + c ) (b + d) (mod m) (ii) ac bd (mod m)
Contoh 9.11 • Misal 17 2 (mod 3) dan 10 4 (mod 3) , makamenurutteorema 9.4 • 17 + 5 2 + 5 (mod 3) 22 7 (mod 3) • 17 . 5 5 . 2 (mod 3) 85 10 (mod 3) • 17 + 10 2 + 4 (mod 3) 27 6 (mod 3) • 17 . 10 2 . 4 (mod 3) 170 8 (mod 3)
Inversi Modulo Jikaadanmrelatif prima danb > 1, makadapatditentukaninversidaria modulo m. Inversidariamodulo m adalahbilanganbulat sedemikiansehingga 1 (mod m) aa a Definisi 9.5 Misaladanbadalahduabilanganbulatdanmadalahbilangan > 0, makadikatakana b (mod m) jikamhabismembagia – b
Dari definisi 9.3 dinyatakanbahwa: Jikaadanmduabilangan yang relatif prima, maka PBB (a, m) = 1, danterdapatbilanganbulatpdanqsedemikiansehinggapa + qm = 1 Didapatpa + qm 1 (mod m) Karenaqm 0 (mod m), makapa 1 (mod m) p adalahinversidaria modulo m.
Contoh 9. 12 Tentukaninversidari: 4 (mod 9) ,17(mod 7) , dan 18(mod 10) Penyelesaian Karena PBB (4, 9) = 1, makainversi4 (mod 9) ada. Dari alogoritma Euclidean diperolehbahwa 9 = 2 . 4 + 1 Susunpersamaandiatasmenjadi –2 . 4 + 1 . 9 = 1 Dari persamaanterakhir, didapat –2 adalahinversidari 4 modulo 9. Hasiltersebutbisadiperiksamelalui: –2 . 4 1 (mod 9).
Perludiketahuibahwasetiapbilangan yang kongruendengan –2 modulo 9 jugaadalahinversidari 4, misalnya 7, –11, 16, danseterusnya, karena 7 –2 (mod 9) –11 –2 (mod 9) 16 –2 (mod 9)
b) Karena PBB (17, 7) = 1, makainversidari 17 (mod 7) ada. Dari algoritma Euclidean diperolehrangkaianpembagianberikut: 17 = 2 . 7 + 3 (i) 7 = 2 . 3 + 1 (ii) 3 = 3 . 1 + 0 (iii) Susun (ii) menjadi 1 = 7 – 2 . 3 (iv) Susun (i) menjadi 3 = 17 – 2 . 7 (v) Sulihkan (v) ke (iv) 1 = 7 – 2 (17 – 2. 7 ) = 5 . 7 – 2. 17 atau –2 . 17 + 5 . 7 = 1 Inversidari 17 (mod 7)
Metode lain untukmenentukaninversiadalahdengan carasebagaiberikut. Dapatditulisdalambentuk Contoh 9. 13 Tentukaninversidari: 4 (mod 9) ,17(mod 7) , dan 18(mod 10) Penyelesaian
Contoh 9. 12 Tentukaninversidari: 4 (mod 9) 4 (mod 9)
KekongruenanLanjar ( Linear Congruences) Kekongruenanlanjaradalahkongruen yang berbentuk, ax b (mod m) denganmadalahbilanganpositif, adanbsembarangbilanganbulat, danxadalahpeubah. Nilaixdicaridenganmenggunakanhubungan: ax b(mod m)
Contoh 9.13 Tentukanpenyelesaiandari 3x 7 (mod 9) Penyelesaian: Jadinilai x yang memenuhi 3x 4 (mod 7)adalah: …, –15, –8, –1, 6, 13, …
Chinese Remainder Theorem Sun Tsu, matematikawanasal China mengajukan pertanyaansebagaiberikut: Sebuahbilanganbulatjikadibagi 3 menyisakan 2, jikadibagi 5 menyisakan 3, jikadibagi 7 menyisakan 5. Berapakahbilanganbulattersebut? Pernyataandiatasdapatditulisdalambentuksistem kongruenlanjar: x 2 ( mod 3) x 3 ( mod 5) x 2 ( mod 7)
Teorema 9.5 Misalm1, m2, … , mnadalahbilanganbulatpositif sedemikiansehingga PBB (m1, m2) = 1 untuki j, makasistemkongruenlanjar, x ak (mod mk) mempunyaisolusi yang unikdalam modulo m =m1 . m2.….mn Mk = m/mk Mkyk 1 (mod mk) x a1 . M1 .y1 + a2 . M2 .y2 + … + ak . Mk .yk (mod M)
Contoh 9.14 Selesaikantigabuahkongruenberikut! x 2 ( mod 3) x 3 ( mod 5) x 2 ( mod 7) Penyelesaian: m1 = 3, m2 = 5, m3 = 7 M = m1 . m2 . m3 = 3 . 5 . 7 = 105 M1 = M/m1 = 105/3 = 35 M2 = M/m2 = 105/5 = 21 M3 = M/m3 = 105/7 = 15 a1 = 2, a2 = 3, a3 = 2
Mkyk 1 (mod mk) 35 y1 1 (mod 3) y1= 2 21 y1 1 (mod 5) y1= 1 15 y1 1 (mod 7) y1= 1 x 2 . 35 . 2 + 3 . 21 . 1 + 2 . 15 . 1 (mod M) x 233 (mod 105) 23 (mod 105) Didapat x = 23
9.6 Bilangan Prima Definisi 9.6 Bilanganbulatpositif p > 1 disebutbilangan prima jikafaktor-faktorpositifdari p hanya 1 dan p. Dengankata lain bilangan-bilanganpositif yang habismembagi p hanya a dan p. Bilanganpositif yang lebihbesardari 1 danbukanbilangan prima disebutbilangankomposit
Sebagaicontoh, bilangan 37 adalahbilangan prima karenafaktor-faktornyahanyabilangan 1 dan 37. Sedangkanbilangan 39 adalahbilangankomposit, karenaselain 1 dan 39 masihadafaktor-faktor lainnya, yaitu 3 dan 13. Barisanbilangan prima dimulaidari 2, yaitu: 2, 3, 5, 7, 11, 13, …
Teorema 9.6 TeoremaDasarAritmatik (The Fundamental Theorem of Arithmatic) Setiapbilanganpositif yang lebihbesaratausamadengan 2 dapatdinyatakansebagaiperkaliansatu ataulebihbilangan prima. Secaraimplisitpernyataan “setiapbilanganpositif” padateorema 9.6 berartiberlakuuntukbilangan prima dankomposit.
Contoh 9.15 Faktor prima daribilangan-bilangan: 100, 64, 641, 999, dan 1024 adalah: 100 = 2 . 2 . 5 . 5 = 22 . 52 64 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 26 641 = 641 999 = 3 . 3 . 3 . 37 = 33 . 37 1024 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 210
Teorema 9.7 Jika n adalahbilangankomposit, maka n mempunyaifaktor prima yang lebihkecilatausamadengan Untukmengujiapakah n bilangan prima atau komposit, dapatkitaujidengancaramembagi n dengansalahsatubilangan prima 2, 3, …, atau bilangan prima Jika n habisdibagidengansalahsatubilangan prima tersebut ,maka n adalahbilangankomposit. Jikatidakadabilangan prima mulaidari 2 sampaidengan yang habismembagi n, maka n adalahbilangan prima
Contoh 9.16 Tentukanapakahbilangan-bilangan: 241 dan 1049 adalahbilangan prima ataukomposit. Penyelesaian: . Bilangan prima adalah 2, 3, 5, 7, 11, 13. Karenatidakadabilangan prima yang habismembagi 241, makabilangan 241 adalahbilangan prima. . Bilangan prima adalah 2, 3, 5, 7, 11, dan 13. Karenaadasalahsatubilangan prima yang , dalamhalini 11, yang habismembagi 187, makabilangan 187 adalahbilangankomposit.
9.7 Kriptografi Kriptografiadalahilmudanseniuntukmenjagakeamananpesan. Keamananpesandiperolehdenganmenyandikannya menjadipesan yang tidakdimengertiolehorang yang tidakberkepentingan Pesan yang akandisandikandisebutplainteks. Pesan yang telahdisandikandisebutcipherteks. Prosesmenyandikanpesandariplainteksmenjadicipherteksdisebutenkripsi. Prosesmengembalikancipherteksmenjadiplainteks disebutdekripsi.
Kriptanalisisadalahilmudanseniuntukmemecahkancipherteksmenjadiplaintekstanpamengetahuikunci yang diberikan. Orang yang melakukankriptanalisisdisebutkriptanalis. Kriptologiadalahstudimengenaikriptografidankriptanalisis. plainteks cipherteks enkripsi plainteks dekripsi Prosesenkripsidandekripsi
NotasiMatematis Jikacipherteksdilambangkandengan C danplainteksdilambangkandengan P, makafungsienkripsi E memetakan P ke C, E(P) = C (9.1) Padaproseskebalikannya, fungsienkripsi D memetakan C ke P, D(C) = P (9.2) Dari (9.1) dan (9.2) didapat, D(E(P)) = P (9.3)
Contoh 9.1 Plainteks : STRUKTUR DISKRIT Misalsekelompokorangsepakatuntukmenyandikanplainteksmenggunakanalgoritma yang sama. Algoritmanyaadalahmempertukarkanposisitiapduakarakter yang berurutanpadaplainteks, makadidapat, Cipherteks : TSURTKRU IDKSIRT Denganmenggunakanalgoritmatersebut, makacipherteksbisadikembalikanmenjadiplainteks.
Contoh 9.1 adalahcontohkriptografi yang mengandalkankerahasiaanalgoritma. Algoritma yang mengandalkankerahasiaanalgoritmadisebutalgoritmarestricted. Kelemahanalgoritmaadalahjikaadasatuataubeberapaorangkeluardarikelompoknya, makaalgoritmaharusdiubah, karenakerahasisaannyatidakbisadiandalkanlagi. Padasaatinikriptografitidaklagimengandalkankerahasiaanalgoritmanya. Algoritmabolehdiketahuiumum.