220 likes | 534 Views
OPERATIONS RESEARCH. Operations Management. Enos. William J. Stevenson . 8 th edition. METODE GRAFIK METODE SIMPLEKS. METODE GRAFIK.
E N D
OPERATIONSRESEARCH Operations Management Enos William J. Stevenson 8th edition
METODE GRAFIK METODE SIMPLEKS
METODE GRAFIK • Seorang ahli kimia membuat dua jenis pupuk yang akan memberikan minimal 15 unit Kalium Karbonat, 20 unit Nitrat, dan 24 unit Fosfat untuk kedua jenis pupuk. Jenis “A” terdiri atas 3 unit Kalium Karbonat, 1 unit Nitrat, dan 3 unit Fosfat, harganya Rp. 120.- Jenis “B” terdiri atas 1 unit Kalium Karbonat, 5 unit Nitrat, dan 2 unit Fosfat; harganya Rp. 60.-
Tentukan persamaan “Fungsi Objektif” = 120x1 + 60 x2 • Nyatakan pernyataan dalam bentuk “Persamaan” atau “Pertidaksamaan” Kendala 1: 3x1 + x2 15 Kendala 2: x1 + 5x2 20 Kendala 3: 3x1 + 2x2 24 x1,x2 0
Persamaan kendala dituliskan sebagai persamaan garis lurus: x2 = -3x1 + 15 ...................(garis1) x2 = -1/5 x1 + 4..................(garis2) x2 = -3/2 x1 + 12 ................(garis3) • Tentukan perpotongan dengan masing-masing sumbu (sb tegak = x2, sb datar = x1)
Untuk g1: x2 = -3x1 + 15 jika x1 = 0, x2 = 15. (0,15) jika x2 = 0, x1 = 5. (5,0) • Untuk g2: x2 = -1/5 x1 + 4 jika x1 = 0, x2 = 4 (0,4) jika x2 = 0, x1 = 20 (20,0)
Untuk g3: x2 = -3/2 x1 + 12 jika x1 = 0, x2 = 12 (0,12) jika x2 = 0, x1 = 8 (8,0) • Titik-titik yang diperoleh merupakan titik ekstrim, di mana nilai-nilai fungsi obyektif menjadi maksimum.
x2 g1 g3 g2 x1
METODE SIMPLEKS:MAKSIMALISASI 3x1+ x2 ≤ 15 x1 + 5x2 ≤ 20 3x1 + 2x2 ≤ 24 x1,x2 0 Contoh 1 = 120x1 + 60 x2
3x1+ x2+ s1 = 15 x1 + 5x2+ s2 = 20 3x1 + 2x2 + s3 = 24 • x1 x2 s1 s2 s3 K • 1 1 0 0 15 • 5 0 1 0 20 • 3 2 0 0 1 24 • -120 -60 0 0 0 0 • 120 indikator terbesar 5 20 8
x 1/3 • 3 1 1 0 0 15 • 5 0 1 0 20 • 3 2 0 0 1 24 • -120 -60 0 0 0 0 • 1 1/3 1/3 0 0 5 • 5 0 1 0 20 • 3 2 0 0 1 24 • -120 -60 0 0 0 0
Seterusnya, sama dengan Eliminasi Gauss. • Kolom pivot ditentukan berdasarkan indikator dengan nilai positif terbesar. • Nilai maksimal masing-masing variabel ditentukan setelah semua nilai indikator bernilai positif. • Nilai variabel disubtitusi ke persamaan fungsi obyektif, maksimal.
Contoh 2: • Ditentukan fungsi obyektif = 5x1+3x2 dengan kendala teknis: 6x1 + 2x2≤ 36 5x1 + 5x2 ≤ 40 2x1 + 4x2 ≤ 28 dan kendala non-negativitas: x1, x2 ≥ 0 Tentukanlah nilai optimum untuk , x1, dan x2
Penyelesaian: • Langkah 1: Mengubah pertidaksamaan menjadi persamaan. 6x1 + 2x2= 36 5x1 + 5x2 = 40 2x1 + 4x2 = 28
Langkah 3: Menyusun tabel elemen matriks, dengan menambahkan kolom konstan K dan baris indikator (nilai negatif dari koefisien fungsi obyektif) x1 x2 s1 s2 s3 K 6 2 1 0 0 36 5 5 0 1 0 40 2 4 0 0 1 28 -5 -3 0 0 0
x1 x2 s1 s2 s3 K 6 2 1 0 0 36 5 5 0 1 0 40 2 4 0 0 1 28 -5 -3 0 0 0 • Langkah 4: Menentukan elemen pivot: • Tentukan nilai mutlak terbesar dari baris indikator • Tentukan rasio terkecil antara kolom K dengan elemen kolom pivot Kolom pivot
x1 x2 s1 s2 s3 K 6 2 1 0 0 36 5 5 0 1 0 40 2 4 0 0 1 28 -5 -3 0 0 0 x1 x2 s1 s2 s3 K 1 1/3 1/6 0 0 6 5 5 0 1 0 40 2 4 0 0 1 28 -5 -3 0 0 0 • Langkah 5: pivoting: kalikan baris yang mengandung elemen pivot dengan nilai kebalikan elemen pivotnya
x1 x2 s1 s2 s3 K 1 1/3 1/6 0 0 6 0 10/3 -5/6 1 0 10 0 10/3 -1/3 0 1 16 0 -4/3 5/6 0 0 30 • Langkah 6: Eliminasi elemen yang bukan elemen pivot: • Baris II – 5(I) • Baris III – 2(I) • Baris IV – 5(I) • Ulangi dari langkah 4 jika masih terdapat nilai negatif pada baris indikator
x1 x2 s1 s2 s3 K 1 1/3 1/6 0 0 6 0 1 -1/4 3/10 0 3 0 10/3 -1/3 0 1 16 0 -4/3 5/6 0 0 30 • Langkah 7: elemen pivot kedua • Nilai mutlak indikator terbesar = 4/3 • Rasio terkecil = 10/(10/3) = 3 pada baris II • Baris kedua dikalikan dengan resiprok elemen pivotnya
x1 x2 s1 s2 s3 K 1 0 ¼ -1/10 0 5 0 1 - ¼ 3/10 0 3 0 0 ½ -1 1 6 0 0 ½ 2/5 0 34 • Langkah 8: eliminasi elemen yang bukan elemen pivot: • Baris I - 1/3(II) • Baris III – 10/3(II) • Baris IV + 4/3(II)
Hasil akhir nilai optimum: • x1 = 5, x2 = 3 • = 34 (pada kolom K) • Jika x1 dan x2 disubtitusi ke persamaan pada langkah 1, maka: • 2(5) + 4(3) + s3 = 28 • s1 = 0, s2 = 0, dan s3 = 6 • = 5(5) + 3(3) = 34, s3 tidak terpakai (sisa)