Conferencia 3. Teoría Electromagnética Parte B: Ondas Sinusoidales en medios con y sin pérdidas

1. Conferencia 3. Teoría ElectromagnéticaParte B: Ondas Sinusoidales en medios con y sin pérdidas Tomado del material preparado por el Dr. Ricardo Mediavilla para el curso TEEL 4051 y adaptado por el Prof. Jaime José Laracuente-Díaz para el curso TEEL 2013

2. Tema: Onda Sinusoidal En Un Medio Sin Pérdidas

3. Medio sin pérdidas • Un medio es lossless o sin pérdidas si la amplitud de la onda no es atenuada cuando ésta se propaga a través del medio. • En la realidad, un medio sin pérdidas no existe. • Sin embargo, si las pérdidas por unidad de propagación son pequeñas, es posible, como aproximación razonable, descartar dichas pérdidas en nuestro análisis. • Además, el caso real con pérdidas es aún más complejo de analizar que el caso sin pérdidas.

4. Ejemplo de descripción matemática de onda sinusoidal en medio sin pérdidas: y(x,t) = A cos( 2πt/T – 2 π x/λ + φ0 ) = A cos φ(x,t) A es la amplitud de la onda. T es el período de la onda. λ es el largo de onda de la onda. es la fase de referencia = constante. (x,t) es la fase de la onda Nota: Este curso es de grado asociado, así que no trabajamos la matemática de este tipo de función que depende de dos variables.

5. Onda sinusoidal en medio sin pérdidas • La siguientes figuras muestran la gráfica de y(x,t) para el caso en que φ0 = 0. • Figura (a) muestra el caso en que t = 0, x variable  • Figura (b) muestra el caso en que x = 0, t variable

6. Onda sinusoidal en medio sin pérdidas • De las 2 anteriores gráficas podemos observar que a lo largo del eje de x la onda se repite cada λ metros, y que a lo largo del eje de t la onda se repite cada T segundos. λ es el largo de onda. T es el período de la onda.

7. Onda sinusoidal en medio sin pérdidas • Aquí la onda está en su posición y tiempo inicial. • Aquí la onda ya se desplazo y han transcurrido T/4 segundos. • Aquí la onda se ha desplazado mas y han transcurrido T/2 segundos.

8. Velocidad de propagación de la onda sinusoidal en medio sin perdida • Note que el punto P se desplazo desde λ hasta 3λ/2 en T/2 segundos. • Por lo tanto recordando que velocidad es distancia entre tiempo (v=d/t) y luego de utilizar calculo diferencial en la expresión de y(x,t) tendremos la velocidad de propagacion de la onda definida como:

9. Velocidad de propagación de la onda sinusoidal en medio sin perdida • Recuerde su curso de electricidad que: • Por lo tanto la velocidad de fase también se define como:

10. Ejemplo • Para una velocidad de fase constante, si λ aumenta (como en el caso del instrumento bajo) entonces f disminuye. • Si λ disminuye (como en el caso del violín), entonces f aumenta.

11. Ecuación de una onda sinusoidal • La ecuación de una onda sinusoidal también es comúnmente expresada de la siguiente forma: y(x,t) = A cos( 2πt/T – 2πx/λ+ φ0 ) = A cos(ωt – βx + φ0 ) donde • ω = 2πf = 2π/T = velocidad angular en rad/seg • β = 2π/λ = constante de fase owavenumberen rad/m (Nota: los rad de las unidades es arbitrario.) • φ0 es la referencia de fase.

12. Referencia de Fase • ¿Qué papel juega φ0? • φ0 positivo indica que la onda se adelanta con respecto al caso de φ0 = 0. • φ0 negativo indica que la onda se atrasa con respecto al caso de φ0 = 0.

13. Ejemplo: Ilustración de Ondas Sinusoidales con distintos valores de Referencia de Fase

14. Tema: Onda Sinusoidal En Un Medio Con Pérdidas

15. Onda Sinusoidal En Un Medio Con Pérdidas • Este es un caso mucho más real en donde la onda se atenúa según se propaga. • Una onda viajando a través de un medio con pérdidas observará que su amplitud se atenúa conforme a e-αx. • Este factor de e-αx se conoce como el factor de atenuación. • α es la constante de atenuación y sus unidades son nepers/metro (i.e. N/m). (Nota: en realidad las unidades deberían ser 1/m. La unidad de nepers es arbitraria.)

16. Onda Sinusoidal En Un Medio Con Pérdidas • Ecuación de onda de 1 dimensión: y(x,t) = A e-αx cos(ωt - βx) • La amplitud de la onda ya no es A. Ahora es A e-αx . • Según x -> infinito, la amplitud -> 0.

17. Ejemplo de onda propagándose en un medio con pérdidas:

18. Referencias • http://en.wikipedia.org • http://www.prtc.net/~rmediavi/TEEL%204051.htm