Estructura de datos

1. Instituto Tecnológico de Culiacán Ingeniería en Sistemas Computacionales y Licenciatura en Informatica Estructura de datos Material de apoyo Unidad 4 Prof. Felipe E. Muñiz R.

2. TEMARIO Unidad 4.- Estructuras no lineales. 4.1 Árboles. 4.1.1 Definición. 4.1.2 Representación en memoria de árboles. 4.1.2.1 Árboles generales. 4.1.2.2 Árboles binarios. 4.1.3 Recorridos en un árbol binario. 4.1.3.1 Preorden. 4.1.3.2 Inorden. 4.1.3.3 Posorden. 4.1.4 Balanceo de árboles binarios. 4.1.5 Clases para la implementación de árboles. 4.2 Grafos. 4.2.1 Definición. 4.2.2 Tipos de grafos. 4.2.3 Representación de grafos en memoria. 4.2.4 Clases para la implementación de grafos.

3. Unidad 4. Estructuras no lineales. 4.1 Árboles. Definición Un árbol es una colección de elementos, llamados nodos, uno de los cuales se distingue con el nombre de raíz, los cuales mantienen una relación (parentezco) que define una estructura jerárquica entre ellos.

4. Unidad 4. Estructuras no lineales. 4.1 Árboles. Concepto de árbol • Estructura Jerárquica no lineal, dinámica. • Relaciones padre-hijo entre nodos. • Ejemplos: sistema de archivos, estructura de un libro, diagrama organizacional, árboles genealógicos, etc.

5. Unidad 4. Estructuras no lineales. 4.1 Árboles. Concepto de árbol • Un árbol se caracteriza por estar formado por un conjunto finito de nodos, conectados por una serie de aristas, tales que verifican que: • hay un único nodo especial llamado raíz. • los nodos restantes se dividen en árboles mas pequeños llamados subárboles. • cada nodo, excepto la raíz, tiene un único nodo padre. • la definición de árbol implica tener una estructura recursiva (por la división en subárboles). • la representación de los árboles se realiza con notaciones típicas de los árboles genealógicos. • hay un único camino desde la raíz hasta cada nodo.

6. Unidad 4. Estructuras no lineales. 4.1 Árboles. Terminología básica • Raíz: único nodo sin padre. Ej.: nodo A • Nodo interno: tiene al menos un hijo. Ej.: nodos B, F, C • Nodo hoja (externo): nodo sin hijos. Ej.: nodos E, I, J, K, G, H, D • Descendiente directo: hijo. Ej.: B es descendiente directo de A • Descendiente: hijo, nieto, etc… Ej.: I es descendiente de F, B y A • Subárbol: árbol formado por un nodo y sus descendientes. Ej.: los nodos encerrados en el triangulo

7. Unidad 4. Estructuras no lineales. 4.1 Árboles.

8. Unidad 4. Estructuras no lineales. 4.1 Árboles. Terminología básica • Grado de un nodo: Num. de descendientes directos. Ej.: el nodo B es grado 2. • Grado de un árbol: el grado mayor de sus nodos. Ej.: el nodo A y F son los de mayor grado (3), por lo tanto el árbol es grado 3. • Árbol binario: árbol de grado 2, cada nodo tiene como mucho dos descendientes directos. • Árbol multicamino: árbol de grado mayor que 2, cada nodo puede tener n descendientes directos.

9. Unidad 4. Estructuras no lineales. 4.1 Árboles. Terminología básica • Profundidad de un nodo: Num. de predecesores. Ej.: profundidad de A es 0, profundidad de H es 2. • Altura del árbol: es igual a la profundidad de su nodo mas profundo + 1. Ej.: la profundidad de I, J y K que son los nodos mas profundos es 3 por lo tanto la altura de árbol es 3 + 1 = 4.

10. Unidad 4. Estructuras no lineales. 4.1 Árboles. Terminología básica • Camino: existe un camino del nodo X al nodo Y, si existe una sucesión de nodos que permita llegar desde X hasta Y, su longitud es el número de aristas que lo conforman. camino(A,K)= {A, B, F, K} longitud 3 camino(C,K)= {} no hay camino

11. Unidad 4. Estructuras no lineales. 4.1 Árboles. Recorrido Preorden • Se visita primero la raíz, luego el subárbol izquierdo y por ultimo el subárbol derecho, esto de manera recursiva para cada subárbol partiendo de la raíz.

12. Unidad 4. Estructuras no lineales. 4.1 Árboles. Recorrido Inorden • Se visita primero el subárbol izquierdo, luego la raíz y por ultimo el subárbol derecho, esto de manera recursiva para cada subárbol partiendo de la raíz.

13. Unidad 4. Estructuras no lineales. 4.1 Árboles. Recorrido Postorden • Se visita primero el subárbol izquierdo luego el subárbol derecho y por ultimo la raíz, esto de manera recursiva para cada subárbol partiendo de la raíz.

14. Unidad 4. Estructuras no lineales. 4.1 Árboles. Ejemplo: expresiones aritméticas • nodos internos: operadores. • nodos hoja: operandos. 2(a – 1) + 3b

15. Unidad 4. Estructuras no lineales. 4.1 Árboles.

16. Unidad 4. Estructuras no lineales. 4.1 Árboles. Ejemplo:

17. Unidad 4. Estructuras no lineales. 4.1 Árboles. Implementación basada en enlaces

18. Unidad 4. Estructuras no lineales. 4.1 Árboles. Árboles Binarios de Búsqueda • Un árbol binario de búsqueda es un árbol binario en el que para cada nodo n, • todas las claves de los nodos del subárbol izquierdo son menores que la clave de n (o igual). • y todas las del subárbol derechomayores (o igual)

19. Unidad 4. Estructuras no lineales. 4.1 Árboles. Ejemplo:

20. Unidad 4. Estructuras no lineales. 4.1 Árboles. Ejemplo:

21. Unidad 4. Estructuras no lineales. 4.1 Árboles. • En algunos casos se exige que el árbol sea completo, es decir que todo nodo interno tenga sus dos descendientes.

22. Unidad 4. Estructuras no lineales. 4.1 Árboles. Operaciones: • Búsqueda. • Inserción. • Eliminación

23. Unidad 4. Estructuras no lineales. 4.1 Árboles. Búsqueda

24. Unidad 4. Estructuras no lineales. 4.1 Árboles. Búsqueda

25. Unidad 4. Estructuras no lineales. 4.1 Árboles. Inserción

26. Unidad 4. Estructuras no lineales. 4.1 Árboles. Inserción

27. Unidad 4. Estructuras no lineales. 4.1 Árboles. Ejemplo de Inserción

28. Unidad 4. Estructuras no lineales. 4.1 Árboles. Ejemplo de Inserción

29. Unidad 4. Estructuras no lineales. 4.1 Árboles. Eliminación

30. Unidad 4. Estructuras no lineales. 4.1 Árboles. Algoritmo para borrar un nodo de un árbol binario de búsqueda. Para borrar un nodo con información X se presentan los siguientes casos. 1.- Que el nodo no exista: no se realiza ninguna acción. 2.- El nodo a eliminar tiene 0 o 1 hijo: El padre del nodo a eliminar (abuelo) toma como hijo al nodo nieto. 3.-El nodo a eliminar tiene 2 hijos: El nodo con la información X no se borra físicamente, se realiza una sustitución de información, (solo datos) con una de las siguientes acciones. a) La información mayor del subárbol izquierdo. b) La información menor del subárbol derecho. c) Después de la sustitución el valor que sustituyo al nodo X se manda a eliminar partiendo del subárbol donde se encuentra.

31. Unidad 4. Estructuras no lineales. 4.1 Árboles. Eliminación

32. Unidad 4. Estructuras no lineales. 4.1 Árboles. Eliminación

33. Unidad 4. Estructuras no lineales. 4.1 Árboles. Árbol binario: operaciones del TAD

34. Unidad 4. Estructuras no lineales. 4.1 Árboles. Árboles Equilibrados

35. Unidad 4. Estructuras no lineales. 4.1 Árboles. Árboles Equilibrados

36. Unidad 4. Estructuras no lineales. 4.1 Árboles. Árboles Equilibrados

37. Unidad 4. Estructuras no lineales. 4.1 Árboles. Árboles Equilibrados

38. Unidad 4. Estructuras no lineales. 4.1 Árboles. Árboles Equilibrados

39. Unidad 4. Estructuras no lineales. 4.1 Árboles. Árboles Equilibrados

40. Unidad 4. Estructuras no lineales. 4.2 Grafos. PLAZA DE CASTILLA GUZMAN EL BUENO NUEVOS MINISTERIOS CUATRO CAMINOS AVDA. DE AMÉRICA GREGORIO MARAÑÓN CANAL Introducción • Los grafos sirven para representar relaciones arbitrarias (no necesariamente jerárquicas) entre objetos de datos

41. Unidad 4. Estructuras no lineales. 4.2 Grafos. Introducción: aplicaciones • Circuitos electrónicos • Tarjetas impresas • Circuitos integrados • Redes de transporte • Autopistas • Vuelos • Redes de ordenadores • LANs • Internet • Web • Bases de datos • Diagramas entidad/relación

42. Unidad 4. Estructuras no lineales. 4.2 Grafos. Fundamentos: definiciones • Un grafo consiste en un conjunto de vértices o nodos y un conjunto de arcos. Se representa con el par G = (V,A). • Un arco o arista está formado por un par de nodos u y v, y se representa por (u,v) • Un grafo es dirigido si los pares de nodos que forman los arcos son ordenados y se representan u  v. Un grafo no dirigido es aquel que los arcos están formados por pares de nodos no ordenados, se representa u  v. • Si (u,v) es una arista en A(G), entonces u y v se dice que son vértices adyacentes. • Un arco tiene, a veces, asociado un factor de peso, en cuyo caso se dice que es un grafo valorado.

43. Grafo no dirigido V(G1) = {a,b,c,d} A(G1) = {(a,b),(a,d),(b,c),(b,d)} Grafo dirigido V(G2) = {1,3,5,7,9} A(G2) = {(1,3),(3,1),(9,1),(3,5),(5,7)} Unidad 4. Estructuras no lineales. 4.2 Grafos. b d a c 3 9 5 1 7 Fundamentos: grafos dirigidos

44. Unidad 4. Estructuras no lineales. 4.2 Grafos. Fundamentos • Grado de un nodo • En un grafo dirigido • Grado de un nodo u = nº de aristas que contienen a u • En un grafo dirigido • Grado de entrada de u = nº de arcos que llegan a u • Grado de salida de u = nº de arcos que salen de u • Grafos conexos • Un grafo no dirigido es conexo si existe un camino entre cualquier par de nodos que forman el grafo • Ejemplos: grafo no conexo con dos componentes conexas grafo conexo

45. Unidad 4. Estructuras no lineales. 4.2 Grafos. V b a P1 d U X Z P2 h c e W g f Y Fundamentos: camino • Un camino P de longitud n en el grafo G desde u0 a un es la secuencia de n+1 vértices P = (u0, u1, ..., un) tal que (ui,ui+1) son arcos de G para 0  i  n • Un camino es simple si todos los nodos que forman el camino son distintos, pudiendo ser iguales los extremos del camino • Ejemplo: • P1 es simple • P2 no es simple

46. Unidad 4. Estructuras no lineales. 4.2 Grafos. V a b d U X Z C2 h e C1 c W g f Y Fundamentos: ciclos y bucles • Un ciclo es un camino simple cerrado con u0=un, compuesto al menos por tres nodos • Un ciclo es simple si todos sus vértices y arcos son distintos • Un arco que va desde un vértice a sí mismo (u,u) se denomina bucle • Ejemplo • C1 es un ciclo simple • C2 es un ciclo no simple

47. Unidad 4. Estructuras no lineales. 4.2 Grafos. TAD GRAFO • Composición: <grafo> :: = {<vertice>} + {<arista>} <vertice> ::= <<refVertice>> + [<<info>>] <arista> ::= <<refVertice>> + <<refVertice>> <grafoEtiquetado> :: = {<vertice>} + {<aristaEtiquetada>} <vertice> ::= <<refVertice>> + [<<info>>] <aristaEtiquetada> ::= <<refVertice>> + <<refVertice>> + <<etiqueta>>

48. Unidad 4. Estructuras no lineales. 4.2 Grafos. TAD GRAFO: Operaciones Creación del grafo crearGrafo (grafo) Inclusión de vértices insertarVertice(grafo, vertice) Eliminación de vértices borrarVertice(grafo, referenciaVertice) Inclusión de aristas insertarArista(grafo, vertice1, vertice2) Borrar aristas borrarArista(grafo,arista) Recorrido del grafo recorrer(grafo,tipoRecorrido)

49. Unidad 4. Estructuras no lineales. 4.2 Grafos. TAD GRAFO: Operaciones Acceso a los vertices info(referenciaVertice)  Informacion grado(referenciaVertice)  Entero gradoEntrante(referenciaVertice)  Entero gradoSaliente(referenciaVertice)  Entero adyacentes(referenciaVertice)  {referenciaVertice} incidentes{referenciaVertice)  {referenciaVertice} esAdyacente(refenciaVertice1, referenciaVertice2) Boolean Modificación de vertices asignarInfo(referenciaVertice, valorInformacion) vertices(referenciaArista)  (refVertice, refVertice) destino(referenciaArista)  refVertice origen(referenciaArista)  refVertice etiqueta((referenciaArista)  etiqueta Acceso a las aristas asignarEtiqueta(referenciaArista, valorEtiqueta) Modificación de aristas

50. Unidad 4. Estructuras no lineales. 4.2 Grafos. Representación: matriz de adyacencia • Matriz de adyacencias Sea G = (V,A) un grafo de n nodos, suponemos que los nodos V = {u1,...,un} están ordenados y podemos representarlos por sus ordinales {1,2,...,n}. La representación de los arcos se hace con una matriz A de nxn elementos aij definida: 1 si hay arco (ui,uj) aij 0 si no hay arco (ui,uj) • Optimización Usar la diagonal principal de la matriz de adyacencia para representar la existencia de un vértice