4. ศักย์ไฟฟ้า

1. 4. ศักย์ไฟฟ้า ความต่างศักย์และศักย์ไฟฟ้า เมื่อประจุทดสอบ q0 วางอยู่ในสนามไฟฟ้า ที่เกิดจากวัตถุมีประจุอื่น แรงทางไฟฟ้าที่กระทำต่อประจุทดสอบคือ (ถ้าสนามเกิดจากวัตถุมีประจุมากกว่าหนึ่งชิ้นแรงที่กระทำต่อประจุทดสอบคือผลรวมแบบเวกเตอร์ของแรงแต่ละแรงที่กระทำต่อประจุทดสอบโดยวัตถุมีประจุแต่ละอัน) แรง เป็นแรงอนุรักษ์เพราะว่าแรงแต่ละแรงที่อธิบายโดยกฎของคูลอมบ์ (Coulomb’s law) จะอนุรักษ์ ถ้าประจุเคลื่อนที่ในสนามเนื่องจากแรงภายนอก งานที่กระทำโดยสนามต่อประจุจะเท่ากับงานที่ทำโดยแรงภายนอก ถ้าระยะขจัดเล็กๆ คือ งานที่กระทำโดยสนามไฟฟ้าต่อประจุคือ ปริมาณของงานเหล่านี้กระทำโดยสนามพลังงานศักย์ของระบบประจุ- สนาม (the charge-field system) มีค่าเพิ่มขึ้นโดยปริมาณของ สำหรับระยะขจัดจาก A ไปยัง B การเปลี่ยนแปลงของพลังงานศักย์ของระบบ คือ การอินทิเกรทตามเส้นทางที่ q0 เคลื่อนที่จาก A ไป B เรียกว่า path integral หรือ line integral เพราะว่าแรง q0E เป็นแรงอนุรักษ์ ดังนั้นการอินทีเกรทเชิงเส้นจะไม่ขึ้นกับเส้นทางที่ประจุ q0 เคลื่อนที่จาก A ไป B

2. พลังงานศักย์ต่อหนึ่งหน่วยประจุ U/q0 ไม่ขึ้นอยู่กับค่าของ q0 และมีค่าเพียงค่าเดียวในทุกๆ จุดในสนามไฟฟ้า ปริมาณ U/q0 เรียกว่า ศักย์ไฟฟ้า V ศักย์ไฟฟ้าที่จุดใดๆ ในสนามไฟฟ้าคือ พลังงานศักย์ U และศักย์ไฟฟ้า V เป็นปริมาณสเกลาร์ ความต่างศักย์ V ระหว่างจุด A และ B ใดๆ ในสนามไฟฟ้านิยามว่าเป็นการเปลี่ยนแปลงของพลังงานศักย์ของระบบหารด้วยประจุทดสอบ q0 นั่นคือ ศักย์ไฟฟ้าเป็นปริมาณสเกลาร์ของสนามไฟฟ้าไม่ขึ้นอยู่กับประจุต่างๆ ที่อาจจะวางตัวอยู่ในสนาม เมื่อพูดถึงพลังงานศักย์เราจะกล่าวถึง ระบบประจุ-สนาม (the charge – field system ) เนื่องจากเราสนใจที่จะทราบศักย์ไฟฟ้าที่ตำแหน่งประจุและพลังงานศักย์เนื่องจากอันตรกิริยาระหว่างประจุและสนาม

3. เพราะว่าการเปลี่ยนแปลงพลังงานศักย์ของประจุจะตรงข้ามกับงานที่กระทำโดยสนามไฟฟ้าต่อประจุ ความต่างศักย์ ระหว่างจุด A และ B เท่ากับงานต่อหนึ่งหน่วยประจุจากภายนอกที่ใช้ในการเคลื่อนย้ายประจุทดสอบจาก A ไป B โดยไม่มีการเปลี่ยนพลังงานจลน์ของประจุทดสอบ (ความเร็วคงที่) ศักย์ไฟฟ้าที่จุดใดๆ คือ งานที่ต้องกระทำต่อประจุบวกขนาดหนึ่งหน่วยในการเคลื่อนประจุทดสอบนี้จากระยะอนันต์มายังจุดที่เราพิจารณา ดังนั้น ให้จุด A อยู่ที่อนันต์ ศักย์ไฟฟ้าที่จุด P ใดๆ คือ เมื่อ VP คือความต่างศักย์ ระหว่างจุด P และจุดที่ตำแหน่งอนันต์ เนื่องจากศักย์ไฟฟ้าวัดจากพลังงานศักย์ต่อหนึ่งหน่วยประจุ หน่วยของศักย์ไฟฟ้าและพลังงานศักย์คือ J/C ซึ่งคือ V นั่นเอง : 1 V = 1 J/C นั่นคือ งานหนึ่งจูลจะใช้ในการเคลื่อนที่ประจุ 1 C ผ่านความต่างศักย์ 1 V นอกจากนี้ ความต่างศักย์ ยังสามารถแสดงในหน่วยของสนามไฟฟ้าคูณกับระยะทาง ดังนั้น หน่วยของสนามไฟฟ้า คือ N/C จึงสามารถแสดงในรูปของ V/m ได้ด้วย : 1 N/C = 1 V/m หน่วยของพลังงานที่มักใช้ในวิชาฟิสิกส์อะตอมและฟิสิกส์นิวเคลียร์คือ electron volt (eV ) ซึ่งนิยามว่าเป็นพลังงานที่อิเลกตรอนหรือโปรตอนสูญเสียเมื่อเคลื่อนที่ผ่านความต่างศักย์ 1 V เพราะว่า 1 V = J/C และอิเลกตรอนมีประจุ 1.6x10-19 C ดังนั้น 1 eV = 1.6x10-19 C .V= 1.6x10-19 J

4. A A d d q m B B g E (a) (b) ความต่างศักย์ในสนามไฟฟ้าสม่ำเสมอ พิจารณาสนามไฟฟ้าสม่ำเสมอมีทิศในแนวแกน y ดังรูป (a) คำนวณ ความต่างศักย์ระหว่างจุด A และ B ซึ่งอยู่ห่างกันเป็นระยะทาง d จะหาได้ดังนี้ เนื่องจาก E มีค่าคงที่ ดึงออกจากเครื่องหมายอินทีเกรทได้ เครื่องหมายลบแสดงให้เห็นว่าจุด B มีศักย์ไฟฟ้าต่ำกว่าจุด A นั่นคือ VB < VA เส้นสนามไฟฟ้าจะชี้ในทิศของการเพิ่มขึ้นของศักย์ไฟฟ้าเสมอดังรูป (a) รูป (a) เมื่อสนาม Eมีทิศพุ่งลง จุด B อยู่ในศักย์ไฟฟ้าที่ต่ำกว่าจุด A ประจุทดสอบที่เป็นบวกซึ่งเคลื่อนที่จาก A ไปยัง B จะสูญเสียพลังงานศักย์ไฟฟ้า (b) มวล m เคลื่อนที่ตามสนามแรงดึงดูด g ทำให้มันสูญเสียพลังงานศักย์ สมมติว่าประจุทดสอบ q0 เคลื่อนที่จาก A ไป B เราสามารถคำนวณ การเปลี่ยนแปลงพลังงานศักย์ ได้จากสมการ

5. จากผลที่ได้เราพบว่า • ถ้า q0 เป็นบวกและ U เป็นลบประจุบวกจะสูญเสียพลังงานศักย์ไฟฟ้าเมื่อมันเคลื่อนที่ทิศเดียวกับสนามไฟฟ้าE หมายความว่าสนามไฟฟ้าทำงานต่อประจุบวกเมื่อมันเคลื่อนที่ในทิศของสนามไฟฟ้า ถ้าประจุทดสอบบวกถูกปล่อยจากสถานะหยุดนิ่งในสนามไฟฟ้า มันจะได้รับแรงไฟฟ้า q0E ในทิศของ E ดังนั้น มันจะถูกเร่งในทิศลง และมีพลังงานจลน์เพิ่มซึ่งมีค่าเท่ากับค่าพลังงานศักย์ที่ลดลง • ถ้า q0 เป็นลบและ U เป็น บวกประจุลบจะได้รับพลังงานศักย์ไฟฟ้าเพิ่มขึ้นเมื่อมันเคลื่อนที่ทิศเดียวกับสนามไฟฟ้า ถ้าประจุบวกถูกปล่อยจากหยุดนิ่งในสนาม E มันจะถูกเร่งในทิศทางที่ตรงข้ามกับสนาม พิจารณาในกรณีทั่วไปสำหรับอนุภาคมีประจุซึ่งเคลื่อนที่อย่างอิสระระหว่างจุดสองจุดในสนามไฟฟ้าสม่ำเสมอที่มีทิศในแนวแกน x ดังรูป ถ้า คือเวกเตอร์ขจัดระหว่างจุด A และ B จะได้ว่า เนื่องจาก E มีค่าคงที่ ดังนั้นพลังงานศักย์ของประจุคือ สรุปได้ว่า ทุกจุดในระนาบที่ตั้งฉากกับสนามไฟฟ้าสม่ำเสมอจะมีศักย์ไฟฟ้าเท่ากัน จากรูป VB – VA= VC – VA ดังนั้น VB = VC คำว่า Equipotential surface คือพื้นผิวใดๆ ที่มีการกระจายของจุดซึ่งมีศักย์ไฟฟ้าเดียวกัน รูปสนามไฟฟ้าสม่ำเสมอมีทิศตามแกนบวก x จุด B มีศักย์ไฟฟ้าต่ำกว่า A จุด B และ C มีศักย์ไฟฟ้าเท่ากัน

6. ตัวอย่าง The electric field between two parallel plates of opposite charge แบตเตอรี่ขนาด 12 V สร้างความต่างศักย์ระหว่างแผ่นตัวนำที่ติดอยู่กับมันดังรูป โดยมีระยะระหว่างแผ่นขนานเป็น d = 0.30 cm และสมมติว่าสนามไฟฟ้าระหว่างแผ่นขนานมีค่าสม่ำเสมอ จงหาขนาดของสนามไฟฟ้าระหว่างแผ่นคู่ขนาน วิธีทำ สนามไฟฟ้ามีทิศจากแผ่นประจุบวก (A) ไปยังแผ่นประจุลบ (B) โดยแผ่นที่เป็นบวกจะมีศักย์ไฟฟ้าสูงกว่าแผ่นที่เป็นลบ ความต่างศักย์ระหว่างแผ่นจะเท่ากับความต่างศักย์ของแบตเตอร์รี นั่นคือทุกๆ จุด บนแผ่นตัวนำจะมีศักย์ไฟฟ้าเท่ากัน ดังนั้น ขนาดของสนามไฟฟ้าระหว่างแผ่นมีค่าดังสมการ รูป แบตเตอร์รี่ขนาด 12 V ต่ออยู่กับแผ่นคู่ขนาน สนามไฟฟ้าระหว่างแผ่นมีขนาดเท่ากับความต่างศักย์ หารด้วยระยะห่างระหว่างแผ่นขนาน d รูปนี้เรียกว่า a parallel-plate capacitor

7. ตัวอย่าง Motion of a proton in a uniform electric field โปรตอนถูกปล่อยจากสถานะหยุดนิ่งในสนามไฟฟ้าขนาด 8x104 V/m ซึ่งมีทิศในแกนบวก x ดังรูปโปรตอนเคลื่อนที่ได้ระยะขจัด 0.50 m ในทิศของสนาม E (ก) จงหาการเปลี่ยนแปลงของศักย์ไฟฟ้า Vระหว่างจุด A และ B (ข) จงหาการเปลี่ยนแปลงของพลังงานศักย์ U ของโปรตอนเนื่องจากการกระจัด 0.5 m นี้ วิธีทำ เพราะว่าโปรตอนเคลื่อนที่ในทิศของสนามไฟฟ้า ดังนั้นมันจะเคลื่อนที่ไปยังจุดที่มีศักย์ไฟฟ้าต่ำกว่า จะได้ว่า เครื่องหมายลบแสดงว่าพลังงานศักย์ของโปรตอนลดลงเมื่อมันเคลื่อนที่ตามสนามไฟฟ้า นั่นคือโปรตอนถูกเร่งในสนามไฟฟ้ามันได้รับพลังงานจลน์เพิ่มขึ้นและในขณะเดียวกันมันก็จะสูญเสียพลังงานศักย์ (เนื่องจากพลังงานมีการอนุรักษ์) รูปโปรตอนถูกเร่งจาก AไปB ในทิศของสนามไฟฟ้า แบบฝึกหัดใช้แนวคิดในการอนุรักษ์พลังงานหาความเร็วของโปรตอนที่จุด B ตอบ2.8 x 106 m/s

8. ศักย์ไฟฟ้าและพลังงานศักย์เนื่องจากจุดประจุ พิจารณาจุดประจุบวก q ซึ่งทำให้เกิดสนามไฟฟ้ามีทิศพุ่งออกจากประจุบวกตามแนวรัศมี ในการหาศักย์ไฟฟ้าที่จุดซึ่งห่างจากประจุเป็นระยะทาง r จะเริ่มต้นจากสมการความต่างศักย์ดังนี้ เมื่อ A และ B คือ ที่จุดใดๆ ในสนามไฟฟ้าดังรูป สนามไฟฟ้าเนื่องจากจุดประจุคือ คือ เมื่อ คือเวกเตอร์หน่วยมีทิศชี้จากประจุไปยังจุดในสนามไฟฟ้า จะได้ รูป ความต่างศักย์ระหว่างจุด A และB เนื่องจากจุดประจุ q ขึ้นอยู่กับ radial coordinates เริ่มต้นและสุดท้าย rAและ rB โดย เป็นมุมระหว่าง และ

9. นั่นคือระยะขจัด ds ใดๆ จาก A ไป B ทำให้เกิดการเปลี่ยนขนาดของ r ไป dr โดยระยะรัศมีถึงประจุทำให้เกิดสนาม ดังนั้น ดังนั้นจะได้ ความต่างศักย์ การอินทิเกรท ไม่ขึ้นอยู่กับเส้นทางระหว่าง A และ B สมการนี้แสดงให้เห็นว่า ความต่างศักย์ระหว่างสองจุด A และ B ใดๆ ในสนามไฟฟ้าที่เกิดจากจุดประจุจะขึ้นอยู่กับรัศมี rA และ rB ถ้าให้ สนามไฟฟ้าที่เกิดจากจุดประจุที่จุดใดๆ ที่อยู่ห่างจากมันเป็นระยะทาง r คือ

10. แสดงกราฟของศักย์ไฟฟ้ามีค่าเป็นฟังก์ชันกับ r ดังรูป โดย r คือระยะรัศมีจากประจุบวกในระนาบ xy พิจารณาเหตุการที่เกิดจริงเช่นการกลิ้งลูกหินไปยังส่วนที่สูงสุดของภูเขาดังรูป(a) ให้มองแรงโน้มถ่วงที่เกิดกับลูกหินเป็นแรงผลักเนื่องจากวัตถุที่มีประจุบวกเคลื่อนที่เข้าหากันและให้มองว่ากราฟของศักย์ไฟฟ้าที่ล้อมรอบประจุลบเป็นหลุ่ม จะได้ว่าศักย์ไฟฟ้าที่เป็นผลมาจากจุดประจุสองจุดหรือมากกว่า หาได้โดยใช้หลักการรวม นั่นคือ ศักย์ไฟฟ้าที่จุด P เนื่องจากจุดประจุใดๆ คือผลรวมของศักย์ของแต่ละจุดประจุ ดังนั้นศักย์ไฟฟ้ารวมที่ P คือ เมื่อ ศักย์ที่ระยะอนันต์เป็นศูนย์และ ri คือระยะระหว่าง P และ qi สมการนี้เป็นผลรวมแบบสเกลาร์ โดยศักย์ไฟฟ้าที่อยู่รอบไดโพลมีลักษณะดังรูป รูป (a) ศักย์ไฟฟ้าในระนาบซึ่งล้อมรอบประจุบวกเดี่ยวโดยแสดงกราฟในแกนตั้ง(ฟังก์ชันศักย์ไฟฟ้าสำหรับประจุลบมีลักษณะเป็นหลุม) เส้นสีแดงแสดงการลดลง 1/r ของศักย์ไฟฟ้าดังสมการ (b) ภาพที่มองลงไปตามแกนตั้งของรูป(a) แสดงวงกลมซึ่งมีศักย์ไฟฟ้าคงที่ที่มีศูนย์กลางร่วมกัน รูป (a) ศักย์ไฟฟ้าในระนาบที่มีไดโพล (b) top view ของความสัมพันธ์ที่แสดงเป็นกราฟในข้อ (a)

11. พิจารณาพลังงานศักย์ของระบบอนุภาคมีประจุสองตัว ถ้า V1 คือศักย์ไฟฟ้าที่ P เนื่องจาก q1 งานจากภายนอกที่ใช้ในการนำประจุ q2 จากระยะอนันต์ไปที่ P โดยปราศจากความเร่งคือ q2V1 งานนี้จะมีค่าเท่ากับพลังงานศักย์ U ของระบบสองอนุภาค โดยระยะระหว่างอนุภาคคือ r12 ดังนั้นพลังงานศักย์คือ รูปจุดประจุ 2 จุดอยู่ห่างกันเป็นระยะทาง r12 พลังงานศักย์ของคู่ประจุคือ kq1q2/r12 ถ้าเป็นประจุชนิดเดียวกัน U มีค่าเป็นบวก สอดคล้องกับความจริงที่ว่างานที่เป็นบวกระบบจะถูกกระทำโดย แรงจากภายนอกเพื่อทำให้ประจุทั้งสองเคลื่อนที่เข้าใกล้กัน (เนื่องจากประจุที่เหมือนกันจะผลักกัน) ถ้าประจุ เป็นคนละชนิดกัน U จะมีค่าเป็นลบ นั่นคืองานที่เป็นลบกระทำเพื่อต่อต้านแรงดึงดูดระหว่างประจุต่างชนิดกัน ถ้ามีประจุมากกว่าสองประจุในระบบ จะสามารถคำนวณหาพลังงานศักย์รวมโดยการคำนวณ U สำหรับประจุแต่ละคู่และรวมแต่ละเทอมแบบพีชคณิต เช่นพลังงานศักย์รวมของระบบสามประจุคือ รูประบบจุดประจุ 3 จุด พลังงานศักย์ของระบบหาได้โดย ถ้าให้ q1 อยู่ที่ตำแหน่งที่สนใจ q2 และ q3 อยู่ที่ระยะอนันต์ เทอมแรกในสมการคืองานภายนอกที่ใช้ในการเคลื่อนประจุ q2 ใกล้ q1 คือ ซึ่งคือเทอมที่สองและสามคืองานที่ใช้ในการนำ q3 จากระยะอนันต์มาที่ตำแหน่งใกล้ q1 และ q2 ตามลำดับ

12. ตัวอย่าง The electric potential to two point charges ประจุ q1 = 2 C และ q1 = -6C อยู่ที่ตำแหน่ง (0, 0)m และ (0, 3.0) m ตามลำดับ ดังแสดงในรูป (a) (ก) จงหาศักย์ไฟฟ้ารวมที่ P ซึ่งอยู่ที่ตำแหน่ง (4.0,0.0) m เนื่องจากประจุเหล่านี้ (ข) จงหาการเปลี่ยนแปลงของพลังงานศักย์ของประจุ 3.0 C ถ้ามันเคลื่อนที่จากระยะอนันต์ไปยังจุด P ในรูป (b) วิธีทำ (ก) สำหรับระบบสองประจุ สามารถหาผลรวมของศักย์ไฟฟ้าได้โดยใช้สมการ รูป (a) ศักย์ไฟฟ้าที่จุด P เนื่องจากประจุทั้งสองเป็นผลรวมของศักย์ไฟฟ้าของประจุแต่ละตัว (b) รูปแสดงระบบของประจุ 3 ประจุ (ข) เมื่อประจุอยู่ที่ระยะอนันต์ Ui = 0 และเมื่อประจุอยู่ที่ P Uf = q3Vp ดังนั้น ดังนั้นถ้า งานที่เป็นบวกจากภายนอกจะใช้ในการเคลื่อนย้ายประจุจากจุด P กลับไปยังจุดที่เป็นอนันต์ แบบฝึกหัด จงหาพลังงานศักย์ของระบบดังแสดงในรูป (b)ตอบ-5.48 x10-2 J

13. การหาค่าสนามไฟฟ้าจากศักย์ไฟฟ้าการหาค่าสนามไฟฟ้าจากศักย์ไฟฟ้า สนามไฟฟ้าE และศักย์ไฟฟ้า V มีความสัมพันธ์กัน ถ้าทราบศักย์ไฟฟ้าในบริเวณที่แน่นอน จะคำนวณสนามไฟฟ้าได้ดังนี้ ความต่างศักย์ dV ระหว่างจุดสองจุดที่ห่างกันเป็นระยะทาง ds จะมีค่าเท่ากับ ถ้าสนามไฟฟ้ามีเพียงองค์ประกอบในแนวแกน x คือ Ex ดังนั้น จะได้ dV = -Exdx หรือ

14. รูปพื้นผิวสมศักย์ (เส้นประน้ำเงิน) และเส้นสนามไฟฟ้า (เส้นสีแดง) สำหรับ (a) สนามไฟฟ้าสม่ำเสมอที่เกิดจากแผ่นประจุขนาดอนันต์ (b) จุดประจุ และ (c) ไดโพลไฟฟ้า ในทุกกรณีพื้นผิวสมศักย์จะตั้งฉากกับเส้นสนามไฟฟ้าทุกๆ จุด นั่นคือ ขนาดของสนามไฟฟ้าซึ่งมีทิศเดียวกับทิศของพิกัดจะเท่ากับค่าลบของการเปลี่ยนแปลงศักย์ไฟฟ้าเทียบกับตำแหน่ง นั่นคือ ศักย์ไฟฟ้าจะไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อระยะขจัดตั้งฉากกับสนามไฟฟ้า ดังนั้นพื้นผิวที่มีศักย์ไฟฟ้าคงที่จะตั้งฉากกับสนามดังแสดงในรูป (a) ซึ่งมีประจุบวกวางตัวอยู่นิ่งในเส้นสนามไฟฟ้าเริ่มเคลื่อนที่ไปตามทิศของ E เพราะว่าทิศทางของแรงที่กระทำต่อประจุโดยการกระจายของประจุทำให้เกิดสนามไฟฟ้า(เป็นทิศทางของ a) เนื่องจากประจุเริ่มเคลื่อนที่ด้วยความเร็วต้นเป็นศูนย์ โดยเคลื่อนที่ในทิศการเปลี่ยนความเร็วซึ่งก็คือความเร่ง a นั่นเอง ในรูป (a) และ (b) ประจุที่วางนิ่งในสนามเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงเพราะว่าเวกเตอร์ความเร่งจะขนานกับเวกเตอร์ความเร็วเสมอ โดยขนาดของ V เพิ่มขึ้นแต่ทิศไม่เปลี่ยน ซึ่งต่างกับสถานการณ์ในรูป (c) ซึ่งประจุบวกวางอยู่ที่ตำแหน่งที่ใกล้กับไดโพล ซึ่งเริ่มเคลื่อนที่ในทิศที่ขนานกับ E เนื่องจากทิศทางของสนามไฟฟ้ามีค่าแตกต่างกันที่ตำแหน่งต่างๆ แต่แรงที่กระทำต่อประจุมีการเปลี่ยนทิศทางทำให้ประจุมีการเปลี่ยนทิศทางและความเร็ว

15. ถ้าการกระจายของประจุทำให้เกิดสนามไฟฟ้าทรงกลมสม่ำเสมอซึ่งมีความหนาแน่นประจุเชิงปริมาตรขึ้นอยู่กับรัศมี r ในกรณีนี้ E.ds = Er dr ดังนั้น และสามารถแสดง dV ในรูปของ dV= -Er dr ตัวอย่างเช่นศักย์ไฟฟ้าของจุดประจุคือ เนื่องจาก V เป็นฟังก์ชั่นของ r เพียงอย่างเดียว จะสามารถหาสนามไฟฟ้าเนื่องจากจุดประจุเป็น จะเห็นว่าการเปลี่ยนแปลงศักย์จะเกิดขึ้นในแนวรัศมีเท่านั้น และไม่เกิดขึ้นในทิศทางที่ตั้งฉากกับ r (เส้นสนามไฟฟ้า) ดังนั้น V (เหมือนกับ Er ) จะเป็นฟังก์ชั่นของ r เพียงอย่างเดียว ผิวสมศักย์สำหรับไดโพลไฟฟ้าในรูป (c) เมื่อประจุทดสอบเคลื่อนที่ได้ระยะขจัด ds ในแนวผิวสมศักย์ dV จะเท่ากับศูนย์เพราะว่าศักย์มีค่าคงที่ตลอดผิวสมศักย์ จากสมการ dV = -E.ds = 0 นั่นคือ E จะตั้งฉากกับระยะขจัดในแนวผิวสมศักย์ แสดงให้เห็นว่า ผิวสมศักย์จะต้องตั้งฉากกับเส้นสนามไฟฟ้าเสมอ

16. กรณีทั่วไปศักย์ไฟฟ้าเป็นฟังก์ชั่นของโคออดิเนททั้งสามถ้ากำหนด V(r) ในเทอมของระบบโคออดิเนทคาร์ทีเซียน องค์ประกอบของสนามไฟฟ้า Ex , Ey และ Ez สามารถเขียนในรูปของ V(x, y, z) ในรูปการหาอนุพันธ์บางส่วน ตัวอย่างเช่นถ้า จะได้ว่า

17. ตัวอย่าง The electric potential due to a dipole ไดโพลไฟฟ้าประกอบด้วยประจุสองตัวที่มีขนาดเท่ากันที่มีเครื่องหมายตรงข้ามกันอยู่ห่างกันเป็นระยะทาง 2a ดังรูป ไดโพลวางตัวอยู่ในแนวแกน x มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด (ก) จงคำนวณศักย์ไฟฟ้าที่ P (ข) จงคำนวณ V และ Ex ณ จุดซึ่งอยู่ห่างจากไดโพลมากๆ (x >> a)

18. (ค) จงคำนวณหา V และ Ex ถ้า P อยู่ที่ตำแหน่งใดๆ ระหว่างประจุทั้งสอง เราสามารถตรวจผลที่ได้โดยใช้สภาวะที่จุดศูนย์กลางของไดโพลที่ x = 0 , V = 0 และ Ex = -2kEq/a2

19. ศักย์ไฟฟ้าเนื่องจากการกระจายของประจุอย่างต่อเนื่อง สำหรับศักย์ไฟฟ้าของจุดประจุที่กระจายอย่างต่อเนื่อง พิจารณาศักย์เนื่องจากส่วนของประจุเล็กๆ dq (มองส่วนของประจุเล็กๆ นี้ให้เป็นจุดประจุ) ศักย์ไฟฟ้า dV ที่จุด P เนื่องจากประจุ dq คือ เมื่อ r คือระยะทางระหว่างประจุและจุด P รูป ศักย์ไฟฟ้าที่จุด P เนื่องจากการกระจายประจุอย่างต่อเนื่องสามารถทำการคำนวณได้โดยการแบ่งวัตถุมีประจุเป็นส่วนเล็กๆ dq และทำการรวมศักย์ไฟฟ้าจากส่วนเล็ก ๆ ทุกส่วน ศักย์ไฟฟ้ารวมที่จุด P หาได้โดยการอินทิเกรต สมการนี้ซึ่งเป็นการรวมองค์ประกอบในทุกแบบของการกระจายของประจุ

20. ถ้าเราทราบสนามไฟฟ้าเราสามารถใช้กฎของเกาส์คำนวณศักย์ไฟฟ้าเนื่องจากการกระจายประจุอย่างต่อเนื่องได้ ถ้าการกระจายของประจุมีความสมมาตรสูง เริ่มแรกทำการประมาณ E ที่จุดใดๆ แทนลงไปในกฎของเกาส์เพื่อหาค่าความต่างศักย์ V ระหว่างสองจุดใดๆ แล้วทำการเลือกศักย์ไฟฟ้าที่จุดๆ หนึ่งให้เป็นศูนย์

21. ตัวอย่าง Electric potential due to a uniformly charged ring • จงหาสูตรสำหรับศักย์ไฟฟ้าที่จุด P ซึ่งอยู่บนแกนกลางซึ่งตั้งฉากกับห่วงกลมที่มีการกระจายของประจุอย่างสม่ำเสมอ โดยห่วงกลมมีรัศมี a มีประจุทั้งหมด Q • (ข) จงหาสูตรสำหรับขนาดของสนามไฟฟ้าที่จุด P วิธีทำ (ก) ศักย์ไฟฟ้าที่จุด P ซึ่งอยู่บนแกนกลางซึ่งตั้งฉากกับห่วงกลมที่มีการกระจายของประจุอย่างสม่ำเสมอ โดยห่วงกลมมีรัศมี a มีประจุทั้งหมด Q รูปวงแหวนมีประจุอย่างสม่ำเสมอรัศมี r วางตัวอยู่ในระนาบซึ่งตั้งฉากกับแกน x ส่วนเล็กๆ dq ทุกส่วนบนวงแหวนมีระยะห่างจากจุด P ซึ่งอยู่บนแกน x เท่ากัน แต่ละประจุ dq อยู่ห่างจาก P เป็นระยะทางที่เท่ากัน ดังนั้น ...(1)

22. (ข) หาสูตรสำหรับขนาดของสนามไฟฟ้าที่จุด P จากหลักความสมมาตร พบว่า E ตามแนวแกน x มีแต่องค์ประกอบในแนวแกน x

23. ตัวอย่าง Electric potential due to a uniformly charged disk จงหา ศักย์ไฟฟ้าและขนาดของสนามไฟฟ้า ตามแกนกลางซึ่งตั้งฉากจานกลมที่มีประจุกระจายอย่างสม่ำเสมอ โดยจานกลมมีรัศมี a และมีความหนาแน่นประจุเชิงพื้นผิว  วิธีทำ เลือกจุด P ห่างจากจุดศูนย์กลางของจานกลมเป็นระยะทาง x และให้ระนาบของจานกลมตั้งฉากกับแกน x เราสามารถทำปัญหาให้ง่ายขึ้นได้ โดยแบ่งจานกลมให้เป็นชุดห่วงกลมซึ่งมีประจุกระจายอย่างสม่ำเสมอ ศักย์ไฟฟ้าของแต่ละห่วงกลมแสดงดังสมการ(1) พิจารณาห่วงกลมรัศมี r หนา dr ดังรูป พื้นผิวหน้าของห่วงกลมคือ รูปจานกลมที่มีประจุกระจายอย่างสม่ำเสมอรัศมี a วางตัวอยู่ในระนาบที่ตั้งฉากกับแกน x ดังนั้น ศักย์ที่ P เนื่องจากห่วงกลมคือ

24. ทำการหาศักย์ไฟฟ้ารวมที่จุด P โดยการรวมศักย์ไฟฟ้าของแต่ละห่วงกลม นั่นคือทำการอินทิเกรต dV จาก r = 0 ไปถึง r = a อินทิกรัลนี้อยู่ในรูป undu ให้ผลเฉลยเป็น un+1 /(n+1) เมื่อ n = -1/2 และ u = r2+x2 จะได้ว่า หาสนามไฟฟ้าที่จุดใดๆ บนแกนกลางซึ่งตั้งฉากจานกลมที่มีประจุกระจายอย่างสม่ำเสมอได้จาก

25. y P r a dq x x L ตัวอย่าง Electric potential due to a finite line of charge แท่งความยาว L วางตัวตามแนวแกน x มีประจุรวม Q และความหนาแน่นประจุเชิงเส้นมีค่าสม่ำเสมอเป็น จงหาศักย์ไฟฟ้าที่จุด P ซึ่งอยู่บนแกน y ห่างจากจุดกำเนิดเป็นระยะทาง a วิธีทำ จะได้ว่า ดังนั้น รูป เส้นประจุสม่ำเสมอยาว L วางตัวอยู่บนแกน x

26. ตัวอย่าง Electric potential due to a uniformly charged sphere ทรงกลมฉนวนแข็งรัศมี R มีความหนาแน่นประจุบวกเชิงปริมาตรสม่ำเสมอและมีประจุรวมเป็น Q จงหาศักย์ไฟฟ้าที่จุดภายนอกทรงกลม ที่ผิวทรงกลม และภายในทรงกลม วิธีทำ ขนาดของสนามไฟฟ้าภายนอกทรงกลมที่มีประจุกระจายอย่างสม่ำเสมอรัศมี R คือ (r > R) โดยสนามมีทิศชี้ออกตามแนวรัศมีเมื่อ Q เป็นบวก ในการหาศักย์ไฟฟ้าที่จุดภายนอกเช่นที่จุด B รูปทรงกลมฉนวนมีประจุกระจายสม่ำเสมอรัศมี R มีประจุรวม Q

27. เพราะว่าศักย์มีค่าต่อเนื่องที่ r = R เราจะใช้สูตรที่ได้ในการหาศักย์ที่ผิวของทรงกลม เช่น ศักย์ที่จุด C สนามไฟฟ้าภายในทรงกลมตันฉนวนที่มีประจุกระจายอย่างสม่ำเสมอคือ เราสามารถหาค่าความต่างศักย์ VD– VC ที่จุด D ภายในทรงกลม แทนค่า VC = kEQ/R ลงไปจะได้ ที่ r = R สูตรที่ได้จะแสดงให้เห็นค่าของศักย์ไฟฟ้าที่พื้นผิวซึ่งก็คือ VC นั่นเอง

28. กราฟระหว่างศักย์ไฟฟ้า V และระยะทาง r จากจุดศูนย์กลางของทรงกลมฉนวนที่มีประจุกระจายอย่างสม่ำเสมอรัศมี R ศักย์ไฟฟ้ามีค่าสูงสุด V0ที่จุดศูนย์กลางของทรงกลม แบบฝึกหัดขนาดของสนามไฟฟ้าและศักย์ไฟฟ้าที่ศูนย์กลางของทรงกลมมีค่าเท่าไร ตอบ E = 0 , V = 3kQ/2R

29. ศักย์ไฟฟ้าเนื่องจากตัวนำที่ได้รับการประจุ เราพบแล้วว่าเมื่อตัวนำในสถานของแข็งมีสมดุลของประจุ ประจุจะออกันอยู่ที่ผิวภายนอกตัวนำ และสนามไฟฟ้าภายนอกตัวนำจะตั้งฉากกับผิวซึ่งสนามภายในตัวนำเป็นศูนย์ ต่อไปจะแสดงให้เห็นว่าทุกๆ จุดบนผิวของตัวนำที่ได้รับการประจุอย่างสมดุลจะมีศักย์ไฟฟ้าเดียวกัน รูปทรงกลมรูปร่างใดๆมีประจุบวกเมื่อตัวนำอยู่ในสมดุลประจุไฟฟ้าสถิตทั้งหมดจะอยู่บนพื้นผิว, E = 0 ภายในตัวนำ, ภายนอกตัวนำ E มีทิศพุ่งออกและตั้งฉากกับพื้นผิว

30. พิจารณาจุด A และ B ที่อยู่บนผิวของตัวนำที่ได้รับการประจุดังรูป ตามเส้นทางที่เชื่อมต่อจุดทั้งสอง E จะตั้งฉากกับระยะขจัด ds ดังนั้น E.ds = 0 และสรุปได้ว่าความต่างศักย์ระหว่างA และ B มีค่าเป็นศูนย์ สามารถใช้ผลที่ได้กับจุด 2 จุดใดๆ บนพื้นผิว ดังนั้น สรุปได้ว่า V มีค่าคงที่ตลอดผิวของตัวนำที่ได้รับการประจุ นั่นคือพื้นผิวของตัวนำที่ได้รับการประจุในสมดุลไฟฟ้าสถิตเรียกว่า ผิวสมศักย์ นอกจากนี้เพราะว่าสนามไฟฟ้าเป็นศูนย์ภายในตัวนำ เราสามารถสรุปได้จากสมการ Er = - dV/dr ซึ่งศักย์ไฟฟ้าจะมีค่าคงที่ทุกๆ ที่ภายในตัวนำและเท่ากับค่าที่พื้นผิว

31. พิจารณา ประจุบนทรงกลมตัวนำรัศมี r มีการกระจายอย่างสม่ำเสมอบนพื้นผิวทรงกลมโลหะแข็งรัศมี R มีประจุรวมเป็นบวก Q ดังรูป (a) สนามไฟฟ้าภายนอกเป็น kEQ/r2 มีทิศชี้ออกตามแนวรัศมี เราพบว่าศักย์ไฟฟ้าภายในและที่ผิวของทรงกลมเป็น kEQ/R ศักย์ภายนอกทรงกลมคือ kEQ/r รูป(b) คือกราฟศักย์ไฟฟ้าเทียบกับรัศมี r จากศูนย์กลางทรงกลมตัวนำและแสดงให้เห็นว่าศักย์ไฟฟ้ามีการแปรตาม r รูป(c) กราฟขนาดสนามไฟฟ้าเทียบกับระยะทาง r2จากศูนย์กลางทรงกลมตัวนำมีประจุ

32. รูปแสดงเส้นสนามไฟฟ้ารอบตัวนำทรงกลม 2 อันตัวนำอันเล็กมีประจุ Q ตัวนำอันใหญ่ไม่มีประจุ ในกรณีนี้ความหนาแน่นประจุเชิงพื้นผิวจะไม่สม่ำเสมอในตัวนำแต่ละตัว ตัวนำที่ไม่มีประจุจะมีการเหนี่ยวนำประจุลบที่ผิวซึ่งอยู่ติดกับทรงกลมที่มีประจุ Q และประจุบวกจะถูกเหนี่ยวนำบนทรงกลมที่ไม่มีประจุในด้านตรงข้ามกับด้านที่มีการเหนี่ยวนำประจุลบเส้นสีน้ำเงินแสดงพื้นที่หน้าตัดของผิวสมศักย์ของโครงสร้างนี้ เส้นสนามไฟฟ้าจะตั้งฉากกับผิวของตัวนำในทุกๆ จุด รูปเส้นสนามไฟฟ้า(สีแดง) รอบตัวนำทรงกลม 2 อันทรงกลมเล็กมีประจุสุทธิ Q ทรงกลมอันใหญ่มีประจุสุทธิเป็นศูนย์เส้นสีน้ำเงินคือค่าภาคตัดขวางของผิวสมศักย์

33. ตัวอย่าง Two connected charged sphere ตัวนำทรงกลม 2 อันมีรัศมี r1 และ r2 อยู่ห่างกันเป็นระยะทางที่มากกว่ารัศมีของทรงกลมทั้งสองมากทรงกลมทั้งสองเชื่อมต่อกันด้วยสายตัวนำ ดังรูป ประจุบนทรงกลมสมดุลมีค่าเป็น q1 และ q2 จงหาอัตราส่วนของสนามไฟฟ้าที่พื้นผิวของทรงกลมทั้งสอง วิธีทำ เพราะว่าทรงกลมเชื่อมต่อกันด้วยเส้นตัวนำ ดังนั้นมันจะมีศักย์ไฟฟ้าเดียวกัน เนื่องจากทรงกลมอยู่ห่างกันมากและพื้นผิวมีการประจุอย่างสม่ำเสมอ ดังนั้น ขนาดของสนามไฟฟ้าของผิวทรงกลมแต่ละอันคือ รูปตัวนำทรงกลม 2 อันเชื่อมต่อกันโดยเส้นตัวนำทรงกลมจะมีศักย์ไฟฟ้าเดียวกัน จะได้ว่า

34. สรุป 4. ศักย์ไฟฟ้า 1. เมื่อประจุ q0 เคลื่อนที่ระหว่างจุด A กับ B ในสนามไฟฟ้า Eพลังงานศักย์ที่เปลี่ยนไปคือ 2. ความต่างศักย์ V ระหว่างจุด A กับ B ในสนามไฟฟ้า E คือ 3. ความต่างศักย์ระหว่างจุด A กับ B ในสนามไฟฟ้าเอกรูป เมื่อ d เป็นระยะระหว่างA กับ B วัดตามแนวสนาม: V= -Ed 4. ผิวสมศักย์ คือ ผิวที่ทุกจุดบนผิวนั้นมีศักย์ค่าเดียวกัน ผิวสมศักย์จะตั้งฉากกับสนามไฟฟ้า 5. ศักย์ไฟฟ้าเนื่องจากจุดประจุ q ณ ตำแหน่งที่ห่างจากจุด q เป็นระยะ r คือ V = kEq/r ถ้าเป็นศักย์เนื่องจากกลุ่มของประจุ จะหาได้จากการรวมกันทาง พีชคณิตของศักย์อันเนื่องจากแต่ละจุดประจุ

35. 6. พลังงานศักย์ของประจุจุดคู่หนึ่งที่วางห่างกันเป็นระยะ r12 คือU = kEq1q2/r12พลังงานศักย์ของประจุที่กระจาย หาได้จากการ รวมกันทางพีชคณิตของคู่ประจุทุกคู่ 7. ถ้ารู้ศักย์ไฟฟ้าในเทอม x, y, z เราสามารถหาองค์ประกอบ ของสนามไฟฟ้าได้ เช่น Ex = - dV/dx 8. ศักย์ไฟฟ้าเนื่องจากประจุกระจายอย่างต่อเนื่อง ทุกจุดบนผิวตัวนำที่มีประจุและมีความสมดุลทางไฟฟ้าสถิต จะมีศักย์เท่ากัน และที่จุดภายในเนื้อของตัวนำจะมีศักย์คงที่และค่า เดียวกับที่ผิวตัวนำ

36. 9. ศักย์ไฟฟ้าเนื่องจากจุดประจุกระจายเป็นวงแหวนรัศมี a ที่จุดเป็นแนวแกน ห่างจากศูนย์กลางของวงแหวนเป็นระยะ x คือ 10. ศักย์ไฟฟ้าเนื่องจากประจุกระจายเป็นแผ่นจานกลมรัศมี a ที่จุดบนแกน ของจานห่างจากจานเป็นระยะ x คือ 11. ศักย์ไฟฟ้าเนื่องจากประจุกระจายเป็นทรงกลมตันที่เป็นฉนวนรัศมี R มีประจุทั้งหมด Q คือ

37. http://www.physics.sci.rit.ac.th/charud/oldnews/48/magnetic/OnlineTest_V4/index.asphttp://www.physics.sci.rit.ac.th/charud/oldnews/48/magnetic/OnlineTest_V4/index.asp แบบฝึกหัด • 1. จงหาสนามไฟฟ้าและศักย์ไฟฟ้าที่จุดศูนย์กลางของทรงกลมฉนวนที่มีรัศมี R และมีประจุไฟฟ้า Q • ตอบ E = 0 และ V0 = 3kQ/2R • สี่เหลี่ยมจัตุรัส มีเส้นทแยงมุมยาว 0.2 m วางประจุ 3x10-6 C, -2x10-6 C, 8x10-6 C และ –5x10-6 C ที่มุมทั้งสี่ของรูปสี่เหลี่ยมนี้ จงหาความต่างศักย์ที่จุดศูนย์กลางสี่เหลี่ยมจัตุรัสนี้ • ตอบ 3.6x105 V

38. เอกสารประกอบการค้นคว้าเอกสารประกอบการค้นคว้า ภาควิชาฟิสิกส์. เอกสารประกอบการสอนฟิสิกส์เบื้องต้น, คณะวิทยาศาสตร์มหาวิทยาลัยนเรศวร ภาควิชาฟิสิกส์. ฟิสิกส์2, คณะวิทยาศาสตร์จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย D.C. Giancoli. Physics Principles with Applications, 3rded., Prentic-Hall, ISBN: 0-13-666769-4, 1991. D. Halliday, R.Resnick and K.S. Krane. Volume Two extended Version Physics, 4th ed., John Wiley & Sons, 1992. R.A.Serway, Physics for Scientists & Engineers with Modern Physics, 4th ed., 1996. http://www.physics.sci.rit.ac.th/charud/howstuffwork/electro-mag/electro-magthai1.htm http://www.skn.ac.th/skl/skn422/file/field.htm http://www.physics.uoguelph.ca/tutorials/tutorials.html http://www.thinkquest.org/library/site_sum.html?tname=10796&url=10796/index.html http://www.launc.tased.edu.au/online/sciences/physics/tutes1.html http://www.colorado.edu/physics/2000/index.pl http://www.dctech.com/physics/tutorials.php http://www.physics.sci.rit.ac.th http://www.rit.ac.th/homepage-sc/charud/selftest/2/index2.htm