Quantitative Methoden der BWL – Lineare Programmierung

1. Quantitative Methoden der BWL – Lineare Programmierung Prof. Dr. Steffen Fleßa Universität Greifswald

2. Gliederung • Grundlagen • Modellierung in LINGO • Fallstudie 1: Produktionsprogrammplanung • Komplexere Modelle • Fallstudie 2: Personaleinsatzplanung • Ausblick

3. 1. Grundlagen • Planungs- und Entscheidungmodelle • Optimierende Modelle • Prognostizierende Modelle • Simulationsmodelle • Arten von Optimierenden Modellen • Infinitesimalrechnung • Lineare Programmierung • Entscheidungsbaumverfahren • Spielmodelle

4. Grundmodell der mathematischen Programmierung • Variablendefinition x Vektor der Strukturvariablen • Zielfunktion • Nebenbedingungen

5. Spezialfall: Lineare Programmierung • Zielfunktion • g(x) als lineare Funktion • Nebenbedingungen • Alle fi als lineare Funktionen • Nicht-Negativitäts-Bedingung

6. Beispiel: Produktionsprogrammplanung • Inhalt: Festlegung der Menge der zu produzierenden Produkte. • Krankenhaus: • Festlegung des Fallklassenprogramms • Gebräuchlicher: Leistungsprogrammplanung

7. Beispiel • Entgelt • Hüftoperation: 1600 € Deckungsbeitrag • Knieoperation: 1000 € Deckungsbeitrag • Restriktionen • OP-Kapazität: 6 Stunden/Tag • Aufwachraumkapazität: 8 Stunden/Tag • Spezifischer Bedarf • Hüftoperation: 2 Stunden OP-Kapazität, 2 Stunden Aufwachraumkapazität • Knieoperation: 1 Stunde OP-Kapazität, 2 Stunden Aufwachraumkapazität

8. Optimale Lösung • Produktionsprogramm • Zwei Hüftoperationen (benötigt 4 Stunden OP-Kapazität, vier Stunden Aufwachraumkapazität) • Zwei Knieoperationen (benötigt 2 Stunden OP-Kapazität, 4 Stunden Aufwachraumkapazität) • Deckungsbeitrag: 2*1600 € + 2*1000 € = 5200 €

9. Charakteristika der Produktionsprogrammplanung • Ressourcen: gegeben, unveränderlich • Produktionsmöglichkeitsbereich, Lösungsraum: durch Restriktionen eingeschränkt • Ziel: Deckungsbeitragsmaximierung • Ergebnis ist die Zahl der zu produzierenden Einheiten

10. Lösung durch Lineare Programmierung • Variablendefinition: X1 = Anzahl der Knieoperationen X2 = Anzahl der Hüftoperationen • Nebenbedingungen 2 X1 + 2 X2< 8 1 X1 + 2 X2< 6 X1> 0 X2> 0 • Zielfunktion Z = 1000 X1 + 1600 X2Max!

11. Graphische Lösung

12. Konvexes Lösungspolyeder

13. Zielfunktion und Optimierung Z=1000X1+1600X2

14. 2. Modellierung in LINGO • Modell: • Solve

15. Ergebnis Zielfunktionswert Zahl der Iterationen

16. Endliche, zulässige Lösung Zielfunktionswert

17. Zielfunktionswert X1=2 X2=2

18. Variablen in der Basislösung haben immer „reducedcost“ von 0 Um wie viel würde der Zielfunktionswert sinken, wenn man die Variable in die Basislösung aufnehmen würde (wenn sie nicht in der Basislösung ist)

19. Schlupfvariable: 0: Restriktion voll erfüllt (links=rechts) >0: ungenutzte Kapazität (Schlupf zwischen linker und rechter Seite)

20. Schattenpreis: Um wie viel würde der Zielfunktionswert steigen, wenn man die Kapazität um eine Einheit erhöhen würde.

21. Fallstudie 1: Produktionsprogrammplanung • Lösung der Arbeitsaufgabe (Fallstudie 1) • LINGO • Interpretation der Ergebnisse

22. Ansatz

23. Solver Status

24. Ergebnisse

25. Analyse • Entscheidungsvariable: • 50 Patienten von Klasse 3 • 100 Patienten von Klasse 4 • 25 Patienten von Klasse 7 • Restriktionen: • Pflegetage: 50 unterausgelastet • Labor: 0: Engpass • Röntgen: 1000: unterausgelastet • Operationssaal: 0: Engpass • Pflegekräfte: 0: Engpass • Ärzte: 4000: unterausgelastet

26. Analyse • Variable Value ReducedCost • X1 0.000000 438.2833 • X2 0.000000 866.2750 • X3 50.00000 0.000000 • X4 100.0000 0.000000 • X5 0.000000 1126.700 • X6 0.000000 1850.000 • X7 25.00000 0.000000 • X8 0.000000 515.7000

27. Analyse: • Aufgabe: Zwingen Sie das Modell, mindestens einen Patienten mit Fallklasse 1 zu behandeln. Wie verändert sich der Zielfunktionswert? • dZ= 459710.0 - 459271.7=438,3 • Vgl. reducedcost des Ausgangsmodells!

28. Analyse • Row Slack or Surplus Dual Price • 1 459710.0 1.000000 • 2 50.00000 0.000000 • 3 0.000000 39.12750 • 4 1000.000 0.000000 • 5 0.000000 18.62500 • 6 0.000000 0.4776667 • 7 4000.000 0.000000

29. Analyse • Aufgabe: Sie öffnen den OP eine Minute länger länger. Wie wirkt sich das auf den Zielfunktionswert aus? • OP-Zeit = 9001 min. • LP: … <=9001 • dZ=459728,6 – 459710 = 18,6 • Vgl. Schattenpreis!

30. Komplexere Modelle • Ganzzahlige Variable (General Integer): 0,1,2,3,… • @GIN(X) • Binäre Variable (Binary Integer): 0,1 • @BIN(X) • Nicht-Vorzeichenbeschränkte Variable • @FREE(X)

31. SETS • Ziel: Zusammenfassung von Objekten zu einer Menge, z.B. indizierte Variable • X={x1, x2, x3, …, xn} • SET-Section: Wir müssen die Sets definieren SETS: Set1: attribute; Set2: attribute; ENDSETS

32. DATA • Inhalt: Liste der Konstanten für einzelne Sets • DATA-Section: Definition der Konstanten DATA: Set1 = S1, S2, …, Sn; Attribut = a1, a2, …, an; ENDDATA

33. Summen • Inhalt: Summierung über alle Elemente einer Menge • Funktion: @SUM • @SUM(Index(i): c(i)*x(i)); • Voraussetzung: X und c wurden vorher als Set Index definiert, d.h. SETS: Index: c, x; ENDSETS

34. Personaleinsatzplanung

35. Personaleinsatzplanung

36. Kosten • Schicht Kosten pro Mitarbeiter • 1 1500 € • 2 1000 € • 3 1000 € • 4 1000 € • 5 1000 € • 61200 € • 71200 € • 81500 € • N1800 €

37. Einfacher Ansatz

38. Ergebnis Einfacher Ansatz

39. Ansatz mit SET

40. Ansatz mit SET

41. Summen • ZIELFUNKTION

42. Summen • Nebenbeding- ungen • #LE#: lessorequalto • #GE#: greaterorequalto

43. Ausblick • For-Schleifen • For i=1..n • Beispiel: @FOR( Schichten(I): @GIN(X(I))); • Einbindung von Excel • Eingabe • Ausgabe