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Constraint Processing Version 1.0-alpha

Constraint Processing Version 1.0-alpha. Prof. Dr. W. Conen, FH Gelsenkirchen, WS05/06 -- Auf Basis von Rina Dechter, Constraint Processing, 2003 -- [Das (sehr nette) Buch sollten Sie nicht benötigen, alles Wichtige für die Klausur finden Sie in Folien, Mitschrieb und Übungsaufgaben]

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Constraint Processing Version 1.0-alpha

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  1. Constraint ProcessingVersion 1.0-alpha Prof. Dr. W. Conen, FH Gelsenkirchen, WS05/06 -- Auf Basis von Rina Dechter, Constraint Processing, 2003 -- [Das (sehr nette) Buch sollten Sie nicht benötigen, alles Wichtige für die Klausur finden Sie in Folien, Mitschrieb und Übungsaufgaben] -- Sollten ihnen Fonts fehlen, dann installieren sie texpoint, das ist harmlos (LateX-Formeln/Zeichen in PowerPoint)

  2. Constraints • Rina Dechters Versuch einer Definition: „A constraint is a restriction on a space of possibilities, it is a piece of knowledge that narrows the scope of this space.“ • „Because constraints arise naturally in most areas of human endeavor, they are most general means for formulation regularities that govern our computational, physical, biological and social worlds: • the angles of a triangle must sum to 180 degrees • 4 nucleotides that make up a DNA strand can only combine particular sequences • Susan cannot be married to John They identify the impossible, narrow down the realm of possibilities, and thus permit us to focus more effectively on the possible. Formulating problems in terms of constraints enables a natural, declarative formulation of WHAT must be satisfied, without having to say how it should be satisfied.“ [Rina Dechter, Constraint Processing, 2003] Constraint Processing, INTA, FH Gelsenkrichen, W. Conen

  3. Constraints • „As the complexity of the problem grows, we turn to computers to help us find an acceptable solution. • Computer scientists have devised languages to model constraint satisfaction problems (CSP) and have developed methods for solving them. In general, the tasks posed in the language of constraints are computationally intractable (NP-hard) which means that you cannot expect to design an algorithm that scales effectively with the problem size, in all cases.“ • „However it is possible and desirable to identify special properties of a problem class that can accommodate efficient solutions and to develop general algorithms that are efficient for as many problems as possible.“ [Rina Dechter] • Tractable classes (of problems) • approximation algorithms Constraint Processing, INTA, FH Gelsenkrichen, W. Conen

  4. Probleme • Problem-Klasse, zum Beispiel Stundenplan-Planung: • Das Problem hat Instanzen, zum Beispiel WS 04/05 an FB5, FH GE • Das Problem hat Unterklassen: • Die Stundenplan-Planung an der FH GE, FB5 • Manchmal/ meistens werden die Instanzen auch Probleme genannt. Besser wäre vermutlich die folgende Sprechweise: • Problemklasse: Stundenplan-Planung (Problem) • Unterklasse: Studenplan-Planung im FB5 an der FH GE (Subclass) • Problem: WS 04/ 05 am FB5/ FH GE (Instance Problem) • NP-hard bezieht sich auf Problem-Klassen! • Eine Klasse ist bereits dann NP-hard, wenn sich ein einzelnes hartes Problem finden. • Es kann aber viele Probleme geben; die leicht zu lösen oder schnell als unlösbar zu erkennen sind. • Wir wollen: • „leicht“ lösbare Probleme (Instanzen) effizient lösen • unlösbare Probleme möglichst schnell erkennen • „hart“ lösbare Probleme in der zur Verfügung stehenden Zeit möglichst gut annähernd lösen. Constraint Processing, INTA, FH Gelsenkrichen, W. Conen

  5. Einige Begriffe im Überblick • Jedes Constraint-Problem enthält Variablen: Objekte oder „Dinge“, die eine Vielfalt von Werten annehmen können • Die Menge aller denkbaren Werte für eine gegebene Variable nennt man Domain. • Constraints sind Regeln, die die Werte, die Variablen oder Kombinationen von Variablen annehmen können, beschränken. • Ein Modell, das Variablen, ihre Domains und Constraints beinhaltet, wird Constraint-Problem oder Constraint-Netzwerk genannt. • Eine Lösung ist eine Zuweisung von einzelnen Werten aus den jeweiligen Domains an alle Variablen, so daß kein Constraint verletzt wird. • Ein Problem kann eine, viele oder keine Lösung haben. • Ein Problem, das eine oder mehrere Lösungen hat, wird erfüllbar (satisfiable) oder konsistent (consistent) genannt Constraint Processing, INTA, FH Gelsenkrichen, W. Conen

  6. Einige Begriffe zur Erinnerung: D1 = { grün, schwarz } D2 = { Tee, Kaffee } • Sie kennen: • Mengen, [ (Vereinigung), Å (Schnitt), - (Differenz), £ (kartesisches Produkt), geordnete Tupel, ... • Relationen sind Teilmengen von kartesischen Produkten von Mengen (also eine „Auswahl“ aus den möglichen Wertkombinationen) • z.B. R µ D1£ D2 • In einer Datenbank ist das genauso: D1£ D2 = { (grün, Tee), (grün,Kaffee), (schwarz,Tee), (schwarz, Kaffee) } R= Constraint Processing, INTA, FH Gelsenkrichen, W. Conen

  7. Einige Begriffe zur Erinnerung: D1 = { grün, schwarz } D2 = { Tee, Kaffee} • In einer Datenbank benennen sie die Spalten, hier x1 und x2 • Sie vereinbaren Wertebereiche für die Spalten, hier D1 für x1 und D2 für x2 • Die Spalten sind unsere Variablen • Die Wertebereiche unsere Domains • Wir schreiben Variable: Domainum den Domain einer Variable anzugeben • Die geordnete Liste von Variablen (xi1,xi2,...,xik) nennen wir Scope einer Relation D1£ D2 = { (grün, Tee), (grün,Kaffee), (schwarz,Tee), (schwarz, Kaffee) } R= Constraint Processing, INTA, FH Gelsenkrichen, W. Conen

  8. Einige Begriffe zur Erinnerung: R= • Sie kennen die Operationen auf Relationen. • Relation R über x1,...,xk mit den Domains D1,...,Dk.a1,...,ak sind Werte aus den Domains D1,...,Dk • Selektion: xj1=aj1,...,xjl=ajl(R) • Wähle aus R alle Tupel aus, die für die Variablen xim den Wert aim haben • im2 {1,...,k} • Manchmal gibt man auch eine Spaltennummer im direkt an (oder als $im) x1 = schwarz(R) = Constraint Processing, INTA, FH Gelsenkrichen, W. Conen

  9. Einige Begriffe zur Erinnerung: R= • Relation R über x1,...,xk mit den Domains D1,...,Dk.a1,...,ak sind Werte aus den Domains D1,...,Dk • Projektion: xj1,...,xjl(R) • Streiche aus R alle Spalten, xj, die nicht in {xi_1,...,xik} sind • im2 {1,...,k} • Statt xim kann man auch direkt im (also eine Spaltennummer angeben) px1(R) = 1(R) = Constraint Processing, INTA, FH Gelsenkrichen, W. Conen

  10. Einige Begriffe zur Erinnerung: RT= • Relationen RS, RT mit Scope S bzw. T • (Natural) Join: RTBC RS • Nimm nach und nach alle Tupel t aus RT • Wähle nach und nach alle Tupel s aus RS aus, für die gilt: s.xj = t.xj für alle Variablen xj aus T Å S. • Baue aus t und s ein neues Tupel mit den Variablen aus T [ S, indem t ergänzt wird um die Werte in S – T aus s • Ordne die Variablen in der alten Reihenfolge in den T und S-Teilen an RS= Constraint Processing, INTA, FH Gelsenkrichen, W. Conen

  11. Constraint-Graphen • Graphen helfen, die Struktur von Constraint-Problemen zu verstehen und die Probleme zu lösen. • Primale Constraint-Graphen (oder auch einfach Constraint-Graphen): • Jeder Knoten repräsentiert eine Variable. • Kanten verbinden jeweils paarweise alle Knoten, die zum Scope eines Constraints gehören (auch bei mehr-stelligen Constraints, dann nicht sehr natürliche Repräsentation). • Gibt es zwischen einem Knotenpaar keine Kante, dann entspricht der Constraint der universellen binären Relation mit allen möglichen Wertpaaren für das betroffene Knotenpaar x1 x2 Lösungen: (2,4,1,3),(3,1,4,2) Q Q Q x3 x4 Q Constraint Processing, INTA, FH Gelsenkrichen, W. Conen

  12. Constraint-Graphen 1 2 3 4 5 Kreuzworträtsel, erlaubte Wörter { HOSES, LASER, SHEET, SNAIL, STEER, ALSO, EARN, HIKE, IRON, SAME, EAT, LET, RUN, SUN, TEN, YES, BE, IT, NO, US } Repräsentation 1: • Eine Variable pro Feld, • Domains = Alphabet, • Constraints: mögliche Wörter, z.B. R{1,2,3,4,5} = {(H,O,S,E,S), (L,A,S,E,R), (S,H,E,E,T),(S,N,A,I,L),(S,T,E,E,R)}, R{10,13} = {(B,E),(I,T),(N,O),(U,S)}, R{12,13} = R{10,13} usw. • Konsistentes partielles Assignment für {x1,x2,x3,x4,x5,x6,x9,x12}: {1,2,3,4,5,6,9,12} ={(H,O,S,E,S,A,M,E), (L,A,S,E,R,A,M,E), (S,H,E,E,T,A,R,N), (S,N,A,I,L,L,S,O), (S,T,E,E,R,A,R,N) } 6 7 8 9 10 11 12 13 2 1 4 3 5 6 7 9 11 10 12 8 13 Constraint Processing, INTA, FH Gelsenkrichen, W. Conen

  13. Constraint-Graphen 1 2 3 4 5 S H E E T Kreuzworträtsel, erlaubte Wörter { HOSES, LASER, SHEET, SNAIL, STEER, ALSO, EARN, HIKE, IRON, SAME, EAT, LET, RUN, SUN, TEN, YES, BE, IT, NO, US } Repräsentation 2: • Eine Variable pro START-Feld und Richtung, x1 für „1, horizontal“, x2 für „3, vertikal“, x3 für „5, vertikal“, x4 für „8, horizontal“, x5 für „12, horizontal“, x6 für „10, vertikal“ • Domains = mögliche Wörter (abhängig von der Länge!) • Schema des Problems: {{x1,x2}, {x1,x3}, {x4,x2}, {x4,x3}, {x5,x2}, {x6,x4}, {x6,x5} } • Constraints z.B. zwischen x1 und x2:R12 = {(HOSES,SAME), (LASER,SAME), (SHEET,EARN), (SNAIL,ALSO), (STEER,EARN) } • Konsistentes partielles Assignment für {x1,x2,x3,x4,x5}: {(SHEET, EARN, TEN, IRON, NO)} • Binäre Constraints, es gibt keine Lösung 6 7 A E 8 9 10 11 I R O N 12 13 N 1 2 5 3 4 6 Constraint Processing, INTA, FH Gelsenkrichen, W. Conen

  14. Constraint-Graphen Definition: Hypergraph • Ein Hypergraph ist eine Struktur H = (V,S) aus Knoten, V = {v1,...,vn}, und Hyperkanten S = {S1,...,Sl}, Siµ V. • Constraint-Hypergraphen repräsentieren mehrstellige Constraints auf natürlichere Art, Hyperkanten sind Constraints, Knoten Variablen (für binäre Constraints sind sie „normale“ Graphen) • Beispiel Alldiff-Constraint: S1 = Alldiff(x1,x2,x3,x4) x1 x2 x1 x2 x1  x2 S1      S1 x3 x4  x3 x4 Hyperkante als Region x3 x4 Hyperkante als Rechteck Als binäre Constraints: Alldiff = paarweise verschieden Constraint Processing, INTA, FH Gelsenkrichen, W. Conen

  15. Dual Constraint-Graph Dualer Constraintgraph • Jeder Constraint-Scope wird zu einem Knoten, der Knoten wird mit dem Scope beschriftet • Kanten verbinden Scopes mit gemeinsamen Variablen, der Index der gemeinsamen Variable(n) wird an die verbindende Kante geschrieben • Dualer Graph der ersten Variante der Repräsentation des Kreuzworträtsel (gleiche Struktur, wie der primale Graph der zweiten Variante!) 1,2,3,4,5 3 3,6,9,12 12 12,13 5 9 13 5,7,11 8,9,10,11 10,13 11 10 Constraint Processing, INTA, FH Gelsenkrichen, W. Conen

  16. Duales Problem Duale Probleme • Gegeben ist ein nicht-binäres Constraint-Netzwerk • Die Constraints werden zu Variablen, den sogenannten c-Variablen • Domain der Variablen sind die erlaubten Wertkombinationen • Zwischen c-Variablen mit gemeinsamen „Original“-Variablen gibt es binäre Constraints, die die Gleichheit der gemeinsamen Variablen erzwingen („equality constraints“) • Beachten Sie: die Gleichheit, die gefordert wird, erstreckt sich nur auf Teile der Werte (die ja Tupel sind), nämlich die jeweils gemeinsamen Tupelteile • Resultat ist ein binäres Netzwerk • Auf diese Art kann jedes nicht-binäre Netzwerk in ein binäres Netzwerk überführt werden! (und damit dann auch jede Relation repräsentiert werden) Constraint Processing, INTA, FH Gelsenkrichen, W. Conen

  17. Spezielle Constraints: Numerische Constraints • Explizite „extensionale“ Repräsentation von Constraints kann mühevoll (sprich: aufwändig) sein • Oft helfen mathematische/logische Konventionen bei einer knapperen, „intensionalen“ Formulierung • Arithmetisch-logische Ausdrücke als numerische Constraints: • 4-Königinnen-Problem: es muß gelten 8 i,j xi xj und |xi-xj|  |i-j|, d.h. Rij = {(xi,xj) | xi2 Di, xj2 Dj, xi xj und |xi-xj|  |i-j| } • Binäre Constraint zwischen zwei Variablen: Konjunktion linearer Ungleichungen: (3xi+2xj· 3) Æ (-4xi+5xj < 1) • Das ist ein „ganzzahliges lineares Programm“ (mit Ungleichungen mit ein oder zwei Variablen) • Lineare Constraints sind wichtig bei z.B. im Scheduling, bei Temporalem und Räumlichem Schließen usw. • Beispiel: crypt-arithmetische Puzzle, z.B. TWO+TWO=FOUR oder SEND+MORE=MONEY, jeder Buchstabe steht für eine andere Zahl, keine führende 0 (beide zur Übung formulieren) Constraint Processing, INTA, FH Gelsenkrichen, W. Conen

  18. Spezielle Constraints: Bool‘sche Constraints • Zweiwertige Domains kann man sehr gut mit Aussagenlogik modellieren. Beispiel: • Wir wollen Freunde zu einer Party einladen: Karsten, Kai, Nadja. • Wir wissen: • Wenn Karsten kommt, wird auch Kai kommen • Wenn Nadja kommt, wird auch Karsten kommen • Aussagen: • A = „Karsten kommt“, B = „Kai kommt“, C = „Nadja kommt“ • (A ! B) Æ (C ! A) • Wenn Nadja kommt, kommt dann auch Kai? • (C Æ (A ! B) Æ (C ! A)) ! B? • [Anmerkung: Alternative Frage: Ist C Æ (A ! B) Æ (C ! A) Æ: B unerfüllbar?] • Eine Formel der Aussagenlogik in konjunktiver Normalform (CNF) nennen wir auch „Theorie“ (Fortsetzung zum Beispiel folgt) Constraint Processing, INTA, FH Gelsenkrichen, W. Conen

  19. Spezielle Constraints: Bool‘sche Constraints • = C Æ (: A Ç B) Æ (: C Ç A) Æ: B ist eine solche CNF-Theorie • Sie kann als Constraint-Netzwerk formuliert werden: • A,B,C, also die atomaren Aussagen, sind die Variablen • Domains: {0,1} • Constraints sind die Disjunktionen (oder Klauseln in unserer Mengennotation), z.B. steht A Ç B für RAB = {(0,1),(1,0),(1,1)} • Das sogenannte Propositional Satisfiability Problem (SAT) fragt, ob eine gegebene CNF-Theorie erfüllbar ist • ...oder, alternativ, ob das Constraints-Netzwerk konsistent ist! • ...bzw. (bei der obigen Theorie) ist  unerfüllbar gdw. das Constraint-Netzwerk nicht konsistent ist Constraint Processing, INTA, FH Gelsenkrichen, W. Conen

  20. Spezielle Constraints: Bool‘sche Constraints • Der primale Constraintsgraph wird für diesen Problemtyp auch „Interaktionsgraph“ (interaction graph) genannt • 1= {{: C}, {A,B,C}, {: A,B,E}, {: B,C,D}}, Interaktionsgraph hierzu: B A C E D Constraint Processing, INTA, FH Gelsenkrichen, W. Conen

  21. Eigenschaften binärer Constraint-Netze: • Constraint Deduction bzw. Constraint Inference: Neue zbw. veränderte Constraints können aus einer Menge gegebener Constraints geschlossen werden. • Das kann zu Constraints zwischen bisher unverbundenen Variablen führen: • x · y und y · z ) x · z • oder zu „engeren“ bzw. schärferen Constraints („tightening of constraints“) • Wichtig ist natürlich, „äquivalente“ Netzwerke zu erzeugen! • „Geschlossene“ (inferred) Constraints sind dann redundant (weil sie die Lösungsmenge nicht verändern) • Aber für die Effizienz der Lösungsfindung können sie eine große Rolle spielen! Constraint Processing, INTA, FH Gelsenkrichen, W. Conen

  22. Eigenschaften binärer Constraint-Netze: • Beispiel zu Constraint Inference: Graph-Coloring • Zwei Lösungen 123 = {rot,blau,rot), (blau,rot,blau)} Zwischen x1 und x3 sind zunächst alle Wertpaare erlaubt Diesen „Constraint“ verschärfen wir: wir verbieten (hx1,roti,hx3,blaui) und (hx1,roti,hx3,blaui) Es bleiben (rot,rot) und (blau,blau), also Gleichheit Diesen Constraint können wir zum Netzwerk hinzufügen. x2 rot,blau   x1 x3 rot,blau rot,blau = Altes und neues Netzwerk sind äquivalent: Sie haben die gleiche Lösungsmenge! Constraint Processing, INTA, FH Gelsenkrichen, W. Conen

  23. Eigenschaften binärer Constraint-Netze: • Zwei Constraint-Netze sind äquivalent, wenn sie • auf der gleichen Variablenmenge definiert sind • und die gleiche Lösungsmenge repräsentieren • Ein Constraint Rij ist redundant (relativ zu einem bestimmten Netz), wenn seine Entfernung die Lösungsmenge nicht ändert (das Netz mit und das Netz ohne den Constraint müssen also äquivalent sein) • Achtung: Es kann mehrere redundante Constraints geben, die aber möglicherweise nicht gemeinsam entfernt werden dürfen! Constraint Processing, INTA, FH Gelsenkrichen, W. Conen

  24. Eigenschaften binärer Constraint-Netze: • Definition Komposition: • Seien Rxy und Ryz zwei binäre Constraints. Dann ist die Komposition Rxy± Ryz eine binäre Relation Rxz, die wie folgt definiert ist: • Rxz = {(a,b) | a 2 Dx, b 2 Dz, 9 c 2 Dy mit (a,c) 2 Rx,y und (c,b) 2 Ry,z} • Alternative (schönere!) Definition: • Rxz = Rxy± Ryz = {x,z}(RxyBC Ryz) Constraint Processing, INTA, FH Gelsenkrichen, W. Conen

  25. Eigenschaften binärer Constraint-Netze: • Rxy± Ryz auch ausdrückbar mittels Matrixmultiplikation, s. Beispiel Graph-Coloring: • R12± R23 = R13 = ( 0 1) x (0 1) = (1 0) ( 1 0) (1 0) (0 1) Constraint Processing, INTA, FH Gelsenkrichen, W. Conen

  26. Ausdrucksmächtigkeit binärer Constraint-Netze • Gegeben sei eine beliebige Relation R über den Variablen X = {x1,...,xn} mit Domains der Größe k. • Gibt es immer ein Constraint-Netz R mit den Variablen X und den vorgegebenen Domains, dessen Lösung R ist? • Hilfsfragen: • Wieviele Relationen über n Variablen mit jeweils k möglichen Werten können wir bauen? • Wieviele verschiedene Constraint-Netzwerke über n Variablen mit jeweils k möglichen Werten können wir bauen? Constraint Processing, INTA, FH Gelsenkrichen, W. Conen

  27. Ausdrucksmächtigkeit binärer Constraint-Netze • Hilfsantworten: • In D1£ ... £ Dn sind k*...*k-Elemente (k taucht n-mal auf), also Anzahl = kn • Jede Relation über diesen Variablen und Domains ist eine Teilmenge des Kreuzproduktes • Es gibt 2Anzahl Teilmengen, also insgesamt 2kn verschiedene Relation • Jeder binäre Constraint ist eine Relation über einem zweistelligen Kreuzprodukt Di£ Dj mit k2 Elementen, es gibt also 2k2 verschiedene Constraints • Es gibt maximal (n-1)+(n-2)+...+1 binäre Constraints in R, also · n2 • Es gibt also höchstens 2k2n2verschiedene binäre Constraint-Netze! • Das sind aber viel weniger, als es Relationen gibt! • Man kann also nicht alle Relationen als binäre Constraint-Netze mit den gleichen Variablen und Domains darstellen! Constraint Processing, INTA, FH Gelsenkrichen, W. Conen [Hier war das Ende der Montagsveranstaltung vom 3.1.2005]

  28. Binäre Projektionsnetzwerke • Man kann aber jede Relation mittels eines binären Constraint-Netzes approximieren: • Definition Projektions-Netzwerk: Gegeben ist eine Relation  über X = {x1,...,xn}. Das Projektionsnetzwerk P() ist das Netzwerk P = (X,D,P) mit D = {Di}, Di = i(), P={Pij} und Pij = xi,xj(). • P() erhält man also, in dem man die Relation  auf alle Variablenpaare xi,xj projeziert. • Beispiel:123 = {(1,1,2),(1,2,2),(1,2,1)}. • P() enthält die Constraints P12 = {(1,1),(1,2)}, P13 = {(1,2),(1,1)}, P23 = {(1,2),(2,2),(2,1)}. • Lösung sol(P()) = {(1,1,2),(1,2,2),(1,2,1)} = ! • Das Beispiel ist günstig gewählt, die Lösung kann natürlich nicht immer mit  zusammenfallen, sonst hätten wir ja doch ein binäres Netz gefunden, dass jedes  repräsentieren kann, s. Mitschrieb. Constraint Processing, INTA, FH Gelsenkrichen, W. Conen

  29. Binäre Projektionsnetzwerke • Theorem: Sei  eine beliebige Relation. Dann gilt: µsol(P()), d.h. in der Lösung des Projektions-Netzwerks zu  ist  immer enthalten! • Mit anderen Worten: Wenn man das Projektionsnetzwerk löst (das ja „nur“ aus binären Constraints besteht), dann hat man immer auch die gesuchte Relation plus „andere Bestandteile“ gefunden. • Theorem: Gegeben Relation . P() ist die „engste“ obere Grenze eine binären Netzwerk-Repräsentation von , d.h. es gibt kein binäres Netzwerk C‘ mit µ sol(C‘) ½ sol(P()) • „Bessere“ Repräsentation mit einem binären Netz gibt es nicht! Constraint Processing, INTA, FH Gelsenkrichen, W. Conen

  30. Schnitte binärer Constraint-Netze • Definition: Gegeben seien zwei binäre Netzwerke R und R‘ über der gleichen Variablenmenge X. R‘ ist dann und genau dann mindestens so eng, wie R, wenn für jedes i,j, i  j, gilt R‘ijµ Rij • Merke: Die Lösung von R‘ ist natürlich in der Lösung von R enthalten. Oft gelingt es aber sogar, engere Netze zu finden, die die gleiche Lösung haben. • Definition: Der Schnitt RÅR‘ zweier binärer Netzwerke R und R‘ über den Variablen X ist das binäre Netz, dass man erhält, wenn man zu jedem Paar i,j die zugehörigen Constraints beider Netze schneidet • diese Constraints gibt es immer – wenn keiner angegeben ist, dann sind alle Kombinationen erlaubt! Übrigens sind Domains unäre Constraints, die man für i=j oben auch anschaut und schneidet!). • Proposition: R und R‘ seien zwei äquivalente binäre Netzwerke. Dann ist RÅR‘ äquivalent zu R und R‘ und mindestens so eng wie R bzw. R‘ • Es gibt also eine partielle Ordnung zur Tightness äquivalenter Netze. Wenn wir alle diese Netze schneiden, erhalten wir ein eindeutiges äquivalentes Netz, dass mindestens zu eng ist, wie alle anderen äquivalenten Netze. Constraint Processing, INTA, FH Gelsenkrichen, W. Conen

  31. Minimale binäre Constraint-Netze • Definition Minimales Netzwerk: Gegeben ist ein binäres Netzwerk R0, die Lösung  = sol{R0} und die Menge {R1,...,Rl} aller zu R0 äquivalenten binären Netzwerke. Dann ist M(R0) = i=1lRi das minimale Netzwerk M zu R0 bzw. zu . • Überraschung: „Finally, it is possible to show that the minimal network is identical to the projection network of the minimal network‘s set of solutions“ • Theorem: Für jedes binäre Netzwerk R mit  = sol(R) gilt M() = P(). [Beweis: Übungsaufgabe] M_{12} = {(2,4),(3,1)} M_{13} = {(2,1),(3,4)} D_1 = {2,3} M_{14} = {(2,3),(3,2)} D_2 = {1,4} M_{23} = {(1,4),(4,1)} D_3 = {1,4} M_{24} = {(1,2),(4,3)} D_4 = {2,3} M_{24} = {(1,3),(4,2)} = {(2,4,1,3),(3,1,4,2)} x1 x2 x3 x4 Proposition: Falls (a,b) 2 Mij then 9 t 2 sol(M) mit t[i] = a und t[j] = b

  32. Binär zerlegbare Relationen • Achtung: Die Frage, ob  durch sein Projektionsnetzwerk repräsentiert werden kann, ist NP-hart! • Sind 2-Variablen-Lösungen in einem minimalen Netzwerk immer zu 3-Variablen-Lösungen usw. erweiterbar? Nein, nur, wenn die Ausgangsrelation binär zerlegbar (binary decomposable) ist. Beispiel s. Mitschrieb. • Definition binär zerlegbar: Eine Relation  ist genau dann binär zerlegbar, wenn • sie durch ein binäres Netzwerk repräsentiert werden kann • und jede ihrer projektierten (auch nicht-binären!) Relationen ebenfalls durch eine binäres Netz repräsentiert werden kann. • Erläuterung: Wenn  binär zerlegbar ist, dann repräsentiert das Projektionsnetzwerk nicht nur , sondern auch alle Projektionen von , und zwar durch die entsprechenden Teilnetzwerke: • binär zerlegbar,  über X definiert, S µ X. Dann wird S durch das Teilnetz von P() mit den Variablen aus S repräsentiert. • Harter Stoff, aber sehr nützlich, wenn es ans Lösen der Netze geht! Constraint Processing, INTA, FH Gelsenkrichen, W. Conen

  33. Consistency-Enforcing und Constraint-Propagation (neuer Abschnitt) • Lesen Sie die 3 Seiten zur Kapiteleinführung aus Rina Dechters Buch (S.51-53) „Perhaps the most exciting and fundamental concept that drives the constraint processing area is constraint propagation. These are inference methods used by us in everyday life that can be imitated by computers to exhibit intelligent inference.“ • In general, inference, as it applies to constraints, narrows the search space of possible partial solutions by creating equivalent, yet more explicit, networks. • In fact, the problem may become explicit enough (by inferring additional constraints or by tightening existing ones) that the search will be directed to a solution without encountering a dead end. (kein Backtracking!) • Indeed, constraint inference can be used to find a complete solution. • Unfortunately, solving a complete problem by inference [only] is frequently too hard, requiring the addition of an exponential number of constraints. Constraint Processing, INTA, FH Gelsenkrichen, W. Conen

  34. Constraint-Propagation • Altes Beispiel: Wir wollen Freunde zu einer Party einladen -- Karsten, Kai, Nadja. • Wir wissen: • Wenn Karsten kommt, wird auch Kai kommen • Wenn Nadja kommt, wird auch Karsten kommen • Aussagen: • A = „Karsten kommt“, B = „Kai kommt“, C = „Nadja kommt“ • (A ! B) Æ (C ! A) • Wenn Nadja kommt, kommt dann auch Kai? • Also: C Æ (C ! A) ` A • Und dann: A Æ (A ! B) ` B • Also kommt Kai auch, wenn Nadja kommt (weil dann auch Karsten kommt) • `steht für: ist herleitbar, beweisbar, ableitbar • Jeder Herleitungsschritt ergibt sich aus • einer Wertzuweisung an eine Variable (C = „true“) und • der Propagierung der Konsequenz dieser Wertzuweisung für eine andere Variable durch einen Constraint (C = „true“ und Constraint C ! A, daraus folgt A = „true“) Constraint Processing, INTA, FH Gelsenkrichen, W. Conen

  35. Constraint-Propagation • Beispiel: Variablen x,y,z, Constraints (1) x=y, (2) y=z, (3) x  z • Aus (1) und (2) folgt aus rein logischen Gründen (Also unabhängig vom Domain) (4) x = z • (4) steht (wieder aus rein logischen Gründen) im Widerspruch zu (3)! • Also hat ein beliebiges Constraintsnetz mit 3 solchen Variablen und Constraints keine Lösung • Dies haben wir ohne Betrachtung der Domains erkennen können durch rein logische Überlegungen Constraint Processing, INTA, FH Gelsenkrichen, W. Conen

  36. Constraint-Propagation • Ein anderes Beispiel findet sich auf Folie 13 mit Variablen x,y,z, Constraints R = {x  y, y  z}, Domains jeweils {rot, blau} • Man kann auf R‘ = {x  y, y  z, x = z} schließen – jetzt allerdings nur unter Beachtung der Domains (genauer: der Domaingröße!) • Durch die Explizierung (Sichtbarmachung) dieses Constraints vermeiden wir Wertzuweisungen, die sich als inkonsistent herausstellen würden: • z.B. x = rot, z = blau (in R würde dies erst beim Versuch einer Zuweisung an y als inkonsistent erkannt!) • Das kann zu deutlichen Ersparnissen führen: wenn x,y,z und die Constraints Teil eines großen Netzes sind, könnten noch sehr viele Wertzuweisungen und Suchschritte stattfinden, bevor y ausprobiert würde! Constraint Processing, INTA, FH Gelsenkrichen, W. Conen

  37. Constraint-Propagation • Algorithmen zum Consistency-Enforcement sollen die Suche unterstützen • Sie stellen meist sich, dass eine partielles konsistentes Assignment für i-1 beliebige Variablen zu einem Assignment für diese i-1 Variablen plus eine weitere Variable erweitert werden kann: • Arc consistency stellt sich, dass dies für Paar von Variablen gilt • Path consistency stellt sicher, dass dies für beliebige Gruppen von 3 Variablen gilt • i-consistency stellt sicher, dass jede konsistente Instantiierung von i-1 Variablen zu einer konsistenten Instantiierung für jede beliebige i-te Variable erweitert werden kann • Falls ein Netzwerk für alle i i-consistent ist, dann ist es global konsistent. Constraint Processing, INTA, FH Gelsenkrichen, W. Conen

  38. Constraint-Propagation [Zur Erinnerung] • Definition Partial Solution: Gegeben ist ein Constraint-Netz R. • Ein Assignment â = {h x1,a1i,..., h xj,aji} von Werten an eine Teilmenge der Variablen, S = {x1,...,xj} ist konsistent relativ zu R, dann und nur dann, wenn es jeden Constraint RSi mit Siµ S erfüllt. • Das Assignment â wird auch partielle Lösung von R genannt. (nicht ganz schön, denn es ist nur Teil einer möglichen Lösung, aber nun gut). • Die Menge aller partiellen Lösungen zu einer Teilmenge der Variablen S bezeichnen wir mit S oder (S) Constraint Processing, INTA, FH Gelsenkrichen, W. Conen

  39. Constraint-Propagation Variablen x,y, Domains Dx = {1,2,3}, Dy = {2,3}, Cxy: x > y • Lösen können wir ein Constraint-Netz z.B. wie folgt: • Wir weisen den Variablen in einer bestimmten Reihenfolge Werte zu – und zwar so, dass wir jeweils partielle Lösungen erhalten. • Wenn das auf einer Stufe i nicht geht (wir also die bisherige partielle Lösung nicht erweitern können), dann müssen wir zurück und frühere Wertzuweisungen ändern (backtracking) • Wenn wir das systematisch tun, dann tun wir dies solange, bis wir entweder eine Lösung gefunden haben oder wir bewíesen haben (durch aufzählendes Ausprobieren), dass es keine Lösung gibt x/ ,y/ x 3 1 2 x/3,y/ y 2 3 2 3 2 3 ... x/1 ,y/2 x/3,y/2 x/3,y/3 Constraint Processing, INTA, FH Gelsenkrichen, W. Conen

  40. Constraint-Propagation Variablen x,y, Domains Dx = {1,2,3}, Dy = {2,3}, Cxy: x > y • Statt unnötig Wertzuweisungen auszuprobieren, können wir auch erst die Domains verkleinern... • Wir entfernen alle Werte aus BEIDEN Domains, die wir nicht zu einer konsistenten Lösung ergänzen können • Um das tun zu können, müssen wir natürlich die gleichen Überlegungen anstellen, wie eben... • ...interessant wir das aber, wenn wir noch z1,z2,... zwischen x und y mit Werten versorgen würden... • Dann probieren wir mir verkleinerten Domains möglicherweise viel weniger aus, als mit den „ungeprüften“ Domains! Dy Dx 3 3 2 2 1 Das ist ein (binäres) Matching-Diagramm, in dem alle Werte der Domains miteinander verbunden werden, die eine partielle Lösung bilden Constraint Processing, INTA, FH Gelsenkrichen, W. Conen

  41. Constraint-Propagation • Definition Arc-Consistency:Sei R = (X,D,C) ein Constraint-Netz mit Rij2 C. • Eine Variable xi ist genau dann arc-consistent zu einer Variable xj, wenn zu jedem Wert ai2 Di ein Wert aj2 Dj existiert mit (ai,aj) 2 Rij. • Das Teilnetz (hier: der Pfeil), das durch {xi,xj} aufgespannt wird, ist genau dann arc-consistent, wenn xi arc-consistent zu xj und xj arc-consistent zu xi ist. • Rist arc-consistent genau dann, wenn alle in ihm enthaltenen Pfeile arc-consistent sind. Constraint Processing, INTA, FH Gelsenkrichen, W. Conen

  42. Constraint-Propagation • Schöner: Dià DiÅi (RijBC Dj) • Komplexität: O(k2), hier ist k die Größe des größten Domains Constraint Processing, INTA, FH Gelsenkrichen, W. Conen

  43. Constraint-Propagation: Arc Consistency x,y und y,z sind arc-consistent, aber nicht x,z • Das Ausgangsnetzwerk ist nicht arc-consistent • Das resultierende, äquivalente Netzwerk ist arc-consistent x y z Constraint Processing, INTA, FH Gelsenkrichen, W. Conen

  44. Constraint-Propagation: Arc Consistency • Brute-Force-Algo, • Komplexität O(enk3), n = Anzahl Variablen, k = maximale Domaingröße, e = Anzahl Constraints • Wenn ein leerer Domain auftritt, dann war R nicht konsistent lösbar. Constraint Processing, INTA, FH Gelsenkrichen, W. Conen

  45. Constraint-Propagation: Arc Consistency • Komplexität O(ek3), Beispiel s. Mitschrieb, optimal? Constraint Processing, INTA, FH Gelsenkrichen, W. Conen

  46. Constraint-Propagation: Arc Consistency Constraint Processing, INTA, FH Gelsenkrichen, W. Conen

  47. Constraint-Propagation: Arc Consistency • AC-4 hat eine Worst-Case-Complexität von O(ek2), besser geht es nicht! (Warum?) • Wir können die Komplexität auch mit einem Tightness-Parameter t ausdrücken, der die maximale Anzahl von Tupeln, die in den einzelnen binären Constraints auftreten können: • Komplexität AC-1:O(n*k*e*t), AC-3:O(e*k*t), AC-4:O(e*t) • Ist AC-4 wirklich so gut? Nicht im Best-Case: • Wenn das Netz bereits arc-consistent ist, dann kosten AC-1 und AC-3 e*k Schritte. • Aber AC-4 benötigt weiterhin e*k2 Schritte • Ist arc-consistency bereits alles, was wir brauchen? Nein... Constraint Processing, INTA, FH Gelsenkrichen, W. Conen

  48. Constraint-Propagation: Arc Consistency • Das Ausgangsnetzwerk ist arc-consistent • ...aber es hat keine Lösung! x y z Constraint Processing, INTA, FH Gelsenkrichen, W. Conen

  49. Constraint-Propagation: Path Consistency • Definition Path Consistency:Sei R = (X,D,C) ein Constraint-Netz mit Rij2 C. • Eine Menge {xi,xj} aus 2 Variablen ist genau dann path-consistent zu einer dritten Variable xk, wenn es zu jedem konsistenten Assignment (h xi,aii, h xj,aji) einen Wert ak2 Dk gibt, so dass (h xi,aii, h xk,aki) und (h xk,aki, h xj,aji) konsistent sind. • Alternativ: Der Constraint Rij ist genau dann path-konsistent zu xk, wenn es zu jedem Paar (ai,aj) 2 Rij ein ak2 Dk gibt mit (ai,ak) 2 Rik und (ak,aj) 2 Rkj. • Das Teilnetz, das von xi,xj,xk aufgespannt wird, ist genau dann path-consistent, wenn alle Mengen zweier Variablen path-consistent zu der jeweiligen dritten Variable ist, also {xi,xj} zu xk, {xi,xk} zu xj, {xj,xk} zu xi. • Rist path-consistent genau dann, wenn jedes Rij (einschließlich der universellen Relationen zwischen „unconstrainten“ Variablen) path-konsistent zu jedem xk für k  i, k  j ist. Constraint Processing, INTA, FH Gelsenkrichen, W. Conen

  50. Constraint-Propagation: Path Consistency • Für path-consistency muß sich jedes verbundene Paar von Constraintinstanzen zu einem Dreieck ergänzen lassen • Im Bild oben würde der Versuch, Wertpaare aus den Constraints zu löschen, um path-consistenty herbeizuführen, zur Feststellung der Inkonsistenz des Netzwerks führen. • [Weiteres Beispiel: Schliessen des =-Constraints auf Folie 13] Constraint Processing, INTA, FH Gelsenkrichen, W. Conen

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