Seções Cônicas

1. Seções Cônicas Cônicas não degeneradas

2. Estudaremos as (seções) cônicas, curvas planas que são obtidas da intersecção de um cone circular com um plano.

4. Vamos estudar a elipse, a hipérbole e a parábola, que são chamadas de cônicas não degeneradas.

7. No Gráfico:

8. Vamos definí-las como conjunto de pontos que satisfazem certas propriedades e determinar as equações na forma mais simples.

9. Cônicas nãodegeneradas

10. Elipse

11. Elipse Definição:A elipse é a curva que se obtém seccionando-se um cone com um plano que não passa pelo vértice, não paralelo a uma reta geratriz (reta que gira em torno do eixo do cone de forma a gerá-lo) e que corta apenas uma das folhas da superfície.

12. Elipse Elipse Elipse obtida seccionando-se um cone com um plano

13. Elipse Elipse Definição:Uma elipse é o conjunto dos pontos P = (x, y) do plano tais que a soma das distâncias de P a dois pontos fixos F1 e F2 (focos) é constante, ou seja, se dist(F1, F2) = 2c, então a elipse é o conjunto dos pontos P = (x, y) tais que dist(P, F1) + dist(P, F2) = 2a, em que a > c.

14. Elipse Elipse Elipse que o conjunto dos pontos P = (x; y) tais que dist(P; F1) + dist(P; F2) = 2a

15. Elipse Elipse Elipse que o conjunto dos pontos P = (x; y) tais que dist(P; F1) + dist(P; F2) = 2a

16. Elipse Hipérbole Elementos da Elipse: F1, F2:focos. A distância entre os Focos F1 e F2, igual a 2c, denomina-se distância focal. O: centro da elipse; é o ponto médio do segmento F1, F2. A1, A2, B1, B2: vértices da elipse. Eixo maior: é o segmento A1A2 e cujo comprimento é 2a. Eixo menor:é o segmento B1B2 e cujo comprimento é 2b. Do triângulo retângulo B2OF2 hachurado na figura, obtemos a relação notável:

17. Elipse Elipse Proposição 1.(a) A equação de uma elipse cujos focos são F1 = ( - c, 0) e F2 = (c, 0) é

18. Elipse Elipse Figura 1.1: Elipse com focos nos pontos F1 = ( - c, 0) e F2 = (c, 0)

19. Elipse Elipse Proposição 1.(b) A equação de uma elipse cujos focos são F1 = (0, - c) e F2 = (0, c) é

20. Elipse Elipse Figura 1.2: Elipse com focos nos pontos F1 = (0, - c) e F2 = (0, c)

21. Elipse Elipse Nas Figuras 1.1 e 1.2, os pontos A1 e A2são chamados vértices da elipse. Os segmentos A1A2 e B1B2 são chamados eixos da elipse.

22. Elipse Parábola • Aplicações práticas da Elipse: • (a) A trajetória ao redor do Sol não é circular e sim elíptica (não considerando o deslocamento do sistema solar). Foi Kepler (1571-1630) quem desenvolveu esta teoria. No caso da Terra os semi-eixos são a = 153.493.000km e b = 153.454.000 km. Donde podemos obter a excentricidade da órbita da Terra: • (quase uma circunferência) • O eixo maior apresenta dois pontos: o periélio (janeiro) e o afélio (julho), que correspondem às distâncias mínimas e máxima da Terra ao Sol, respectivamente. • Ademais, no globo terrestre (geóide) o equador tem aproximadamente a forma de uma circunferência e o meridiano de uma elipse. • (b) Arcos em forma de semi-elipse são muito empregados na construção de pontes de concreto e de pedras (desde os antigos romanos) • (c) Engenharia Civil: em Resistência dos Materiais é muito empregada a elipse de inércia. • Engenharia Elétrica: conjuntos de elipses homofocais (elipses de mesmo foco) são utilizadas na teoria de correntes elétricas estacionárias. • Engenharia Mecânica: são usadas engrenagens elípticas (excêntricos). • (d) Sob uma abóboda elíptica os sons emitidos em um foco têm melhor audibilidade nos pontos próximos ao outro foco, não obstante serem praticamente inaudíveis na região intermediária aos dois focos. • (e) O mais portentoso monumento arquitetônico da Roma antiga foi o Coliseu. A planta baixa possuía a forma elíptica, cujo eixo maior tinha 188m e o menos 156m. Começou a ser construído em 72 por Vespasiano e foi concluído em 82 por Tito. A cobertura móvel, à altura de 85m, era sustentada por um sistema inédito de tirantes, adicionada em caso de chuva para proteger seus 40.000 espectadores. Diante da tribuna imperial, os garbosos gladiadores romanos desfilavam antes da luta e proferiam em alto e bom som: “Ave, César, morituri te salutant” (Salve, César, os que vão morrer te saúdam).

23. Parábola

24. Parábola Definição:A parábola (do grego παραβολή) é uma seção cônica gerada pela intersecção de uma superfície cônica de segundo grau e um plano paralelo a uma linha geradora de cone (chamada geratriz.

25. Parábola Parábola Parábola obtida seccionando-se um cone com um plano

26. Parábola Parábola Algebricamente: Uma parábola é o conjunto dos pontos P = (x, y) do plano equidistantes de uma reta r (diretriz) e de um ponto F (foco), não pertencente a r, ou seja, a parábola é o conjunto dos pontos P = (x, y) chamados de vértices da parábola, tais quedist(P, F) = dist(P, r)

27. Parábola Parábola Parábola que o conjunto dos pontosP = (x, y)tais quedist(P, F) = dist(P, r)

28. Parábola Parábola Parábola que o conjunto dos pontosP = (x, y)tais quedist(P, F) = dist(P, r)

29. Parábola Parábola Elementos da Parábola: F: foco D: diretriz V: vértice p: parâmetro, que representa a distância do foco à diretriz reta VF: eixo de simetria da parábola. LATUS RECTUM: é a corda AA’ que passa pelo foco e é perpendicular ao eixo de simetria. Também chamada de corda focal mínima.

30. Parábola Parábola Proposição 1.(a)A equação de uma parábola com foco F = (p, 0) e reta diretriz r : x = -p é

31. Parábola Parábola Parábola com foco no ponto F = (p, 0) e p > 0 Parábola com foco no ponto F = (p, 0) e p < 0

32. Parábola Parábola Proposição 1.(b)A equação de uma parábola com foco F = (0, p) e reta diretriz r : y = -p é

33. Parábola Parábola Parábola com foco no ponto F = (0, p) e p < 0 Parábola com foco no ponto F = (0, p) e p > 0

34. Parábola Parábola • Aplicações práticas de Parábola • (a) A secção de um farol de automóvel tem o formato de uma parábola (a superfície espelhada é um parabolóide). A lâmpada situada no foco, quando acesa, emite raios luminosos que após incidirem sobre a parábola serão refletidos numa mesma direção segundo retas paralelas ao eixo da parábola. • (b) Se um esplho parabólico é apontado para o Sol, os raios da luz (paralelos ao eixo da parábola) serão refletidos para o mesmo ponto (foco). Pela grande quantidade de calor produzido nesta fonte, procede o nome foco (em latim focus significa fogo). • Aplica-se o mesmo princípio na construção de espelhos para telescópios, antenas de radar e antenas parabólicas (as onda paralelas ao eixo da parábola, se refletem na antena e conluem para o retransmissor). • (c) O cabo principal de uma ponte pênsil assumiria a forma de uma parábola (desde que o cabo fosse perfeitamente flexível), se negligenciasse a sua massa e se o peso da ponte estivesse uniformemente distribuídos ao longo de seu comprimento. • Na prática, sabemos que tais condições não se verificam. Na verdade os cabos assumem a forma de uma forma de uma curva muito próxima de uma parábola. Tal curva sujeita apenas ao próprio peso se chama CATENÁRIA. • (d) Em Resistência dos Materiais, o diagrama do Momento Fletor de uma viga submetida a uma carga uniforme é uma parábola. • (e) Em balística, quando se lança um projétil sobre o qual atua somente a força da gravidade, a trajetória é uma parábola. • (f) Seja um recipiente cilíndrico parcialmente cheio de um certo líquido. Aplicando-se o movimento de rotação no eixo do cilindo, a secção (ou seção) da superfície é uma parábola.

35. Hipérbole

36. Hipérbole • Definição:A hipérbole é a curva que se obtém seccionando-se um cone com um plano que não passa pelo vértice, não é paralelo a uma reta geratriz e que corta as duas folhas da superfície.

37. Hipérbole Hipérbole Hipérbole obtida seccionando-se um cone com um plano

38. Hipérbole Hipérbole Algebricamente:Uma hipérbole é o conjunto dos pontos P = (x, y) do plano, tais que o módulo da diferença entre as distâncias de Pa dois pontos fixos F1 e F2 (focos) é constante, ou seja, se dist(F1, F2) = 2c, então a hipérbole é o conjunto dos pontos P = (x, y) tais que |dist(P,F1 – P, F2)| = 2a, em que a < c.

39. Hipérbole Hipérbole Hipérbole que o conjunto dos pontos P = (x; y) tais que |dist(P,F1 – P, F2)| = 2a

40. Hipérbole Hipérbole Elementos da Hipérbole: F1, F2: focos. A distância entre os focos F1, F2, igual a 2c, denomina-se distância focal. O: centro da Hipérbole; é o ponto médio do segmento F1, F2. A1, A2: vérices da Hipérbole. Eixo real ou transversal:é o segmento A1, A2 e cujo comprimento é 2a. Eixo imaginário ou conjugado: é o segmento B1B2 e cujo comprimento é 2b. Do triângulo B2OA2, hachurado na figura, obtemos a relação notável:

41. Hipérbole Hipérbole Proposição 1.(a) A equação de uma Hipérbole cujos focos são F1 = ( - c, 0) e F2 = (c, 0) é e das assíntotas (retas para onde a curva se aproxima, quando ) são

42. Hipérbole Hipérbole Figura 1.3: Hipérbole com focos nos pontos F1 = ( - c; 0) e F2 = (c; 0)

43. Hipérbole Hipérbole Proposição 1.(b) A equação de uma hipérbole cujos focos são F1 = (0, - c) e F2 = (0, c) é e das assíntotas são

44. Hipérbole Hipérbole Figura 1.4:Hipérbole com focos nos pontos F1 = (0; - c) e F2 = (0; c)

45. Hipérbole Hipérbole Nas Figuras 1.4 e 1.5, os pontos A1 e A2 são chamados vértices da hipérbole.

46. Hipérbole Parábola • Aplicações práticas de Hipérbole: • (a) Mecânica Celeste: dependendo de sua velocidade, um cometa tem uma órbita elíptica, parabólica ou hiperbólica (o foco coincide com o Sol). • (b) Em Mecânica dos Fluidos e em alguns problemas referentes ao fluxo estacionário de eletricidade são utilizadas hipérboles homofocais (de mesmo foco). • (c) O sistema LORAN (long range navigation) e o sistema DECCA de navegação aérea usam a hipérbole. Daq Terraz, concomitantemente são transmitidos sinais de rádio de dois pontos fixos F1 e F2 que são captados pelo aeroplano em P, ao longo de t1 e t2 segundos, respectivamente. A diferença entre t1 e t2 determina 2ª e assim obtêm a característica da hipérbole na qual está P. • Igualmente na navegação marítima utilizam-se sistemas hiperbólicos: O sistema RADUX (de baixíssima freqüência) e o sistema LORAC (de ondas contínuas para observações de grande precisão).

47. Caracterização das Cônicas

48. Caracterização das Cônicas Hipérbole Definição: Todas as cônicas não degeneradas, com exceção da circunferência, podem ser descritas de uma mesma maneira.

49. Caracterização das Cônicas Hipérbole Proposição 1.Seja suma reta fixa (diretriz) e Fum ponto fixo (foco) não pertencente a s. O conjunto dos pontos do plano P = (x, y)tais que dist(P, F) = e dist(P, s) em que e > 0 é uma constante fixa, é uma cônica. (a) Se e = 1, então a cônica é uma parábola. (b) Se 0 < e < 1, então a cônica é uma elipse. (c) Se e > 1, então a cônica é uma hipérbole. Reciprocamente, toda cônica que não seja uma circunferência pode ser descrita por uma equação da forma.

50. Caracterização das Cônicas Hipérbole A excentricidade da elipse é o número . Como c < a, a excentricidade de uma elipse é um número real não negativo menor que 1. Observe que se F1 = F2, então a elipse reduz-se ao círculo de raio a. Além disso, como c = 0, então e = 0. Assim, um círculo é uma elipse de excentricidade nula.