Zeros de funções

1. Jones Corso 1o sem / 2014 Zeros de funções DMAT – UDESC - JOINVILLE

2. Definição Um zero de uma função f: [a,b] ----> R é um número real ξ tal que f(ξ)=0. Geometricamente ξ é a abcissa do ponto de interseção do gráfico de f com o eixo Ox. A raiz de uma equação f(x)=0 é um número real ξ tal que f(ξ)=0. Se ξ é uma raiz da equação f(x)=0 então ξ é um zero de f

3. Problema y f(x) a x b ξ2 ξ3 ξ1

4. Zeros de funções • Polinomiais: • 1º grau: equação da reta • 2º grau: fórmula de báskara • 3º e 4º grau: Fórmulas de Cardano • Polinômio de grau n (n>4): Não existem fórmulas • Transcedentais (não-algébricas): • Combinam funções trigonométricas (seno, cosseno,...), exponenciais (ex, 3x2,...) ou logarítmicas (log x, ln x, …) : Raramente conseguimos encontrar um zero por métodos analíticos.

5. Procedimentos • Localizar (isolar) uma raiz de f(x) num intervalo (a,b) • Partindo de um valor inicial, aproximar-se sucessivamente do valor da raiz, até atingir uma precisão ε

6. 1. Isolamento das raízes • Teorema 1 Se f(a)f(b) < 0 então existe pelo menos um ponto x = ξentre a e b que é zero de f(x) f(x) f(x) a a x x ξ b ξ1 ξ2 ξ3 b

7. 1. Isolamento das raízes • Observação Sob as hipóteses do teorema anterior, se f’(x) existir e preservar sinal em (a,b), então este intervalo contém um único zero de f(x) f(x) f(x) a b x x ξ a ξ b

8. 1. Isolamento das raízes Ex. 1) Análise do sinal de f(x): Como f(x) é contínua, existe ao menos um zero de f(x) em cada um dos intervalos I1=[-5,-3], I2=[0,1], I3=[2,3]. Além disso, como f(x) é um polinômio de grau 3, cada intervalo contém um único zero de f(x).

9. 1. Isolamento das raízes Ex. 2) Temos que D(f)= e o sinal de f(x) fica: Logo, f(x) tem ao menos um zero em (1,2). Para saber se este zero é único, devemos analisar o sinal de f’(x): Assim f(x) admite um único zero em (1,2).

10. 1. Isolamento das raízes • Observação: Se f(a)f(b)>0 então podemos ter nenhuma raiz ou um número par de raízes (Teorema de Bolzano) f(x) f(x) f(x) ξ2 ξ1 b b ξ1=ξ2 b a a a x x x

11. 1. Isolamento das raízes Procedimentos por análise gráfica: i) esboçar o gráfico de f(x) e localizar as abcissas dos pontos onde a curva intercepta o eixo x; ou ii) a partir de f(x), desmembrá-la numa equação equivalente g(x) = h(x), esboçar os gráficos de g(x) e h(x) e localizar os pontos onde as curvas se interceptam, pois f(ξ)=0 ↔ g(ξ)=h(ξ)

12. 1. Isolamento das raízes • Ex. 1: (pelo método i) f(x) ξ2 ξ3 ξ1 x

13. 1. Isolamento das raízes • Ex 1: (pelo método ii) Equação equivalente onde ξ2 ξ3 ξ1 x

14. 2. Refinamento da solução • É realizado através de métodos iterativos • Método iterativo: sequência de instruções executadas passo a passo, repetidas em ciclos (iterações), que fornecem uma aproximação para a solução exata f(x) b ε x3 x2 x1 x0 x a

15. 2. Refinamento da solução • Métodos iterativos a serem estudados: • Bissecção • Falsa posição • Ponto fixo (iteração linear) • Newton-Raphson (tangente) • Secante

16. Critério de parada • A execução de um método iterativo é interrompida quando: • Alcançou-se uma precisão desejada para a solução. Neste caso: i) (abordagem pelo eixo-x) ou ii) (abordagem pelo eixo-y)

17. Teste da precisão da solução • Nem sempre é possível satisfazer os critérios (i) e (ii) ao mesmo tempo f(x) f(x) f(x) ξ ξ x ξ x x

18. Outro critério de parada 2. Executou-se um número máximo de iterações estipuladas. f(x) b ε x3 x2 x1 x0 x a x4 x5

19. Método da bissecção • Seja f(x) contínua em (a,b) e tal que f(a)f(b) < 0 • Suponha que o intervalo [a,b] contenha uma única raiz da equação f(x)=0 • Objetivo: reduzir a amplitude do intervalo até que (b-a) < ε, dividindo sucessivamente o intervalo ao meio f(x) a =a0 =a1 x1 =a2 x0 =b1=b2=b3 x2 =a3 x b=b0

20. Método da bissecção Exemplo: f(x)= xln(x)-x tem um zero em [2,3]

21. Método da bissecção • Iterações:

22. Método da bissecção Algoritmo: Bissecção

23. ESTUDO DA CONVERGÊNCIA

24. Método da bissecção • Considerações finais • A vantagem do método é que as iterações não envolvem cálculos laboriosos • A convergência é lenta, pois se b0-a0>>ε e se ε for muito pequeno, o número de iterações tende a ser muito grande • É normalmente utilizado apenas para diminuir o intervalo que contém a raiz

25. Método da falsa posição • Seja f(x) contínua em (a,b). Se f(a) está mais próximo de zero que f(b), então é provável que a raiz esteja mais próxima de a que de b (ao menos se f(x) é linear em (a,b)). O inverso também é verdadeiro (se f(b) está mais próximo de zero então a raiz deve estar mais próxima de b). • Ou seja, podemos usar a idéia do método da bissecção, mas fazendo uma média ponderada de a e b:

26. Método da falsa posição • Aplicação do método: f(x) y a = a0 x0 =a1 =a2 x1 =b2 x x2 b =b0 =b1

27. Método da falsa posição Algoritmo do Método da Posição Falsa Início Se f(a) * f(b) < 0 Então Início x ← ( a * f(b) + b * f(a) ) / ( f(b) – f(a) ) Enquanto ( | f( x ) | > epsilon E | b – a | > epsilon ) Faça Início Se f(a) * f(b) < 0 Então a←x Senão b←x x ← ( a * f(b) + b * f(a) ) / ( f(b) – f(a) ) Fim-Enquanto Escreva(‘A raiz do intervalo dado é ’, x ) Fim-Se Senão Escreva(‘Não há raízes no intervalo dado.’) Fim Variáveis utilizadas no algoritmo: • Reais: x, a, b, epsilon. OBS: a e b são, respectivamente, o ponto inicial e o ponto final do intervalo, f é a função definida e epsilon é a precisão fornecida.

28. Método da Posição Falsa • Ex.1

29. Método do ponto fixo (ou iteração linear) • Construir uma função φ(x) a partir da equação f(x) = 0, tal que: x = φ(x) (Obs: este passo consiste em aplicar o método gráfico (ii), visto anteriormente, com g(x) = x e h(x) = φ(x) ) 2. A partir de uma aproximação inicial x0, gerar a sequência {xk}, a partir da relação: xk+1=φ(xk) 3. A raiz ξ de f(x)=0 corresponde a um ponto fixo da relação anterior, isto é, f(x)=0 ↔ φ(ξ) = ξ {x0, x1=φ(x0), x2=φ(x1), x3=φ(x2),..., xk=φ(xk-1), xk=φ(xk)= ξ} 4. A funçãoφ(x) que satisfaz as condições acima é dita uma função de iteração para f(x)=0

30. Método do ponto fixo • Geometricamente g(x) = x f(x) y h(x) = φ(x) x

31. Método do ponto fixo • Geometricamente g(x) = x y h(x) = φ(x) x2 x1 x0 x

32. Método do ponto fixo • Geometricamente g(x) = x y h(x) = φ(x) x0 x1 x3 x2 x

33. Método do ponto fixo • Teorema 2 Seja ξ uma raiz da equação f(x)=0, isolada num intervalo I centrado em ξ. Seja φ(x) uma função de iteração para f(x)=0. Se i) ii) iii) Então a sequência {xk} gerada pelo processo iterativo xk+1=φ(xk) converge para ξ.

34. Método do ponto fixo • Geometricamente g(x) = x y h(x) = φ(x) x2 x1 x0 x

35. Método do ponto fixo • Geometricamente g(x) = x y h(x) = φ(x) x0 x1 x3 x2 x

36. Método do ponto fixo • Análise da primeira derivada de φ(x): -1 < φ’(x) < 0 : convergência oscilante φ’(x) < -1 : divergência oscilante 0 < φ’(x) < 1 : convergência monotônica φ’(x) > 1 : divergência monotônica

37. Método do ponto fixo • Ex: Possíveis funções de iteração: Sabendo que existe uma raiz ξ1 num intervalo centrado em -3 e outra raiz ξ2 num intervalo centrado em 2, podemos estudar a convergência das funções de iteração para o intervalo centrado em 2, utilizando o Teorema 2: (i) (ii) Portanto, não existe um intervalo centrado em 2 que satisfaça a condição (ii) do Teorema 2. Logo, φ1(x) gerará uma seqüência divergente.

38. Método do ponto fixo • Para (i) (ii) Portanto, é possível obter um intervalo centrado em 2 tal que as condições (i), (ii) e (iii) do Teorema 2 são satisfeitas. Logo, φ2(x) gera uma seqüência convergente.

39. Método do ponto fixo • Para (i) (ii) É possível obter um intervalo centrado em -3 tal que as condições (i), (ii) e (iii) do Teorema 2 são satisfeitas. Logo, φ3(x) gera uma seqüência convergente para x0=-2,5, no intervalo I = [-3,5, -2,5], por exemplo.

40. Método do ponto fixo Algoritmo: Ponto fixo Entrada: x0 (aproximação inicial), ε (precisão) Saída: xn (raiz aproximada)

41. Método do ponto fixo • Exercício:

42. Estudo da convergência

43. Estudo da convergência

44. Ordem de convergência do MPF

45. Método de Newton-Raphson (ou das tangentes) • Seja f(x) contínua em (a,b) e f’(x) ≠ 0, então: y f(x) f(x0) a α ξ x1 x2 x0 =b x

46. Método de Newton-Raphson • Condições de Newton-Raphson-Fourier • O método converge para a raiz contida no intervalo (a,b) se e somente se: f(a)f(b) < 0 (extremos com sinais contrários) f’(a)f’(b) > 0 (função apenas crescente ou decrescente) f’’(a)f’’(b)>0 (concavidade não muda no intervalo)

47. Método de Newton-Raphson • Condições de Newton-Raphson-Fourier y f(x) x0 ξ x’0 x1 x’1 x

48. Método de Newton-Raphson Algoritmo: Newton-Raphson Entrada: x0 (aproximação inicial), ε (precisão) Saída: xn (raiz aproximada)

49. Método da secante • Utiliza a mesma forma da função φde iteração do método de Newton, mas aproximando o valor da derivada de f(x) pelo quociente das diferenças: onde xn e xn-1 são aproximações para a raiz. Assim, a função de iteração fica:

50. Método da secante • Geometricamente, o ponto xn+1=φ(xn) é a absissa do ponto de intersecção do eixo x e da reta secante que passa por (xn-1,f(xn-1)) e (xn,f(xn)) f(x) x3 x0 x1 ξ x2 x