PROGETTO LAUREE SCIENTIFICHE

Liceo “Norberto Rosa” - Indirizzo Scientifico e Scientifico Tecnologico Anno Scolastico 2006-07 PROGETTOLAUREE SCIENTIFICHE Le strutture algebriche e le classi di resto Simonetta Guglielmetto

DEFINIZIONE DI GRUPPO Un insieme G dotato di una operazione binaria interna , è un GRUPPO se sono verificate le seguenti proprietà: G1) – proprietà associativa G2) – esistenza dell'elemento neutro G3) – esistenza del simmetrico Se un gruppo gode anche della proprietà commutativa, si chiama GRUPPO COMMUTATIVO O ABELIANO.

DEFINIZIONE DI ANELLO • Un insieme A dotato di due operazioni binarie • interne , * è un • ANELLO • se vengono rispettate le seguenti condizioni: • A1) – la struttura (A, ) è un gruppo abeliano • A2) – la struttura (A, *) è associativa • A3) – l’operazione * è distributiva rispetto a  • Se * è commutativa, si ha un • ANELLO COMMUTATIVO • Se esiste l’elemento neutro di * , si ha un • ANELLO UNITARIO

DEFINIZIONE DI CORPO E CAMPO Un insieme C dotato di due operazioni binarie , * è un CORPO se vengono rispettate le seguenti condizioni: C1) – la struttura (C, ) è un gruppo abeliano C2) – la struttura (C0, *) è un gruppo C3) – l’operazione * è distributiva rispetto a  Un corpo è detto CAMPO se (C, ,*) e l’operazione * è commutativa

RELAZIONI IN UN INSIEME E LORO PROPRIETA’ Dato un insieme A si chiama relazione definita in A ogni legge che associa elementi di A con elementi di A Esempi : 1) A = insieme degli alunni di una scuola Relazione R: a R b  a e b appartengono alla stessa classe 2) A= insieme dei numeri interi Relazione R: a R b  a < b

Una relazione definita in un insieme A può verificare alcune proprietà : • RIFLESSIVA : • a  A a Ra • ANTIRIFLESSIVA : • a  A a Ra • SIMMETRICA : • a,b  Ase a Rb allora b Ra • ANTISIMMETRICA : a,b  Ase a Rb e b Ra allora a=b • TRANSITIVA : • a,b,c  A , se a Rb e b Rc allora anche a Rc

Una relazione in un insieme si dice RELAZIONE D’ORDINE LARGO se verifica le proprietà RIFLESSIVA, ANTISIMMETRICA E TRANSITIVA ESEMPIO: In Z la relazione R: a R b  a  b Una relazione in un insieme si dice RELAZIONE DI EQUIVALENZA se verifica le proprietà RIFLESSIVA, SIMMETRICA E TRANSITIVA ESEMPIO: A = insieme degli alunni di una scuola a R b  a e b appartengono alla stessa classe

LE CLASSI DI RESTO • DEFINIZIONE: due numeri interi a e b sono CONGRUI MODULO n se differiscono per un multiplo di n e si scrive a  b mod n se a – b = nk • Indicando con nZ l’insieme dei multipli interi di n si può anche dire che a  b mod n se a – b  n Z • Si può dimostrare la seguente proprietà: • a  b mod n solo se i resti della divisione di a e b per n sono uguali • Esempi • 15 mod 425 49 mod 6 • -7 5 mod 3 (perché?) -15 ?? mod 2

Proprietà : Dati due numeri interi a e b, con b≠ 0, esistono sempre e sono unici i due numeri interi q e r tali che: • a = b q + r con la condizione 0  r <|b| • Se a  0 e b > 0 la divisione è quella tra i numeri naturali • Es.15:215 = 2  7 + 1 q=6 r=1 • Se a  0, si esegue la divisione di – a per b, ma considerando il resto negativo e poi si cambia segno sia al quoziente sia al resto • Es. -12 : 5 12=5  3 - 3 • – 12 = 5  (- 3) + 3 • q=-3 r =3

La relazione di congruenza modulo n definita in Z gode delle proprietà • riflessiva : a a mod n • simmetrica : se a b mod n allora b a mod n • transitiva : a b mod n e b c mod n allora anche • a c mod n • Pertanto si possono costruire n classi di equivalenza [0],[1],[2],…, [n-1] dette CLASSI DI RESTO MODULO N e costruire l’insieme quoziente Zn

dove [0]=insieme dei numeri interi il cui resto della divisione per n è 0, [1] =insieme dei numeri interi il cui resto della divisione per n è 1, [2] =insieme dei numeri interi il cui resto della divisione per n è 2, [n-1] =insieme dei numeri interi il cui resto della divisione per n è n-1 Esempi Z2=  [0],[1]  Z4=  [0],[1],[2], [3] Z5=  [0],[1],[2], [3],[4]  Z6= [0],[1],[2], [3],[4],[5] 

OPERAZIONI IN Zn • Definiamo in Zn l’operazione ADDIZIONE [a] + [b] =[a+b] • e l’operazione MOLTIPLICAZIONE [a]  [b] =[a b] Costruiamo le relative tabelle nel caso di n=2,3,4,5,6 Z2

ESERCIZI • Verificare per ogni operazione le proprietà • associativa, • commutativa, • esistenza elemento neutro, • esistenza simmetrico, • distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione in Z4, Z5,Z6

PROPRIETA’ DI ( Zn , + ,  ) • Dalle tabelle precedenti si osserva che • l’operazione ADDIZIONE è sempre • associativa, • commutativa, • esiste l’elemento neutro • esiste il simmetrico di ogni elemento quindi ( Zn , + ) è un gruppo abeliano

Dalle tabelle precedenti si osserva che • l’operazione MOLTIPLICAZIONE è sempre • associativa, • commutativa, • esiste l’elemento neutro • esiste il simmetrico di ogni elemento SOLO in Z3 e Z5 • vale la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione • NON vale la legge di annullamento del prodotto in Z4 e Z6

( Zn , +,  ) è un ANELLO UNITARIO COMMUTATIVO ( Zn , +,  ) è un CAMPO solo se n è primo

Esercizio: Costruire le tabelle relative a Z9 e verificare che si tratta solo di un anello unitario commutativo ; individuare quali elementi non hanno il simmetrico e cercare una legge che li individui in Zn Esercizio: Verificare che la nota prova del nove della moltiplicazione altro non è che un’applicazione delle classi di resto modulo 9

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