Progetto lauree scientifiche

1. Progetto lauree scientifiche Unità 2 Costruzione con riga e compasso di poligoni iscritti in una circonferenza A cura di Maurizio Dini e Paola GarioDipartimento di Matematica“F. Enriques”Università degli Studi di Milano

2. Sarà vero anche per il problema inverso? Il problema ha sempre soluzione! Poligoni regolari e circonferenze • 1° problema: dato un n-gono regolare costruire con riga e compasso la circonferenza ad esso inscritta (o circoscritta)

3. Cosa sentono le mie orecchie! Ci sono poligoni regolari che non si possono costruire con R & C ! Ad esempio il 7-gono! Carl F. Gauss 1777-1855 Poligoni regolari e circonferenze • 2° problema: data una circonferenza costruire con riga e compasso un n-gono regolare ad essa inscritto (o circoscritto)

4. Ne riparleremo la prossima volta. Per ora fidatevi di Gauss. Poligoni regolari e circonferenze • RIEPILOGANDO: • 1° problema: dato un n-gono regolare costruire con riga e compasso la circonferenza ad esso inscritta (o circoscritta) • 2° problema: data una circonferenza costruire con riga e compasso un n-gono regolare ad essa inscritto (o circoscritto) • Il 1° problema ammette sempre soluzione. • Il 2° problema no.

5. Provate voi! Prime costruzioni • Partiamo da una circonferenza e costruiamo il 6-gono (esagono regolare) con R & C.

6. Basta dimezzare! Prime costruzioni Ora, partendo dal 6-gono, sapreste costruire un 12-gono, un 24-gono, un 48-gono, ... ?

7. Prime costruzioni • Abbiamo ottenuto così la Proprietà 1: • Se il k-gono regolare è costruibile con R & C allora lo sono anche tutti i 2nk-goni per ogni n>0.

8. Prime costruzioni • Non è difficile ricavare anche una seconda proprietà: • Se l’ n-gono regolare è costruibile allora lo sono anche tutti i k-goni con k > 2 divisore di n. Ad esempio il 30-gono: 30 ha 3, 5, 6, 10 e 15 come fattori. Unendo i suoi vertici uno ogni 2 otteniamo un 15-gono 3 otteniamo un 10-gono 10 otteniamo un 3-gono 5 otteniamo un 6-gono 6 otteniamo un 5-gono

9. Ve la farò nella prossima lezione! Oddio... Euclideee! Il pentadecagono • Il triangolo equilatero (3-gono regolare) e il pentagono regolare sono costruibili con R & C. • Una costruzione è presentata da Euclide nei suoi Elementi. Quella del 5-gono fingiamo di conoscerla già... La costruzione del 3-gono la sappiamo fare!

10. Provate voi! Il pentadecagono • In una stessa circonferenza supponiamo di aver inscritto il 3-gono regolare ACF e il 5-gono regolare ABDEG. Questo ci permetterà di costruire il 15-gono regolare. come?

11. Il pentadecagono • “Sia AC il lato di un triangolo equilatero iscritto nel cerchio e sia AB il lato di un pentagono equilatero pure iscritto nel cerchio; perciò, dei quindici archi uguali di cui consta la circonferenza del cerchio ABCD, l’arco ABC, che è un terzo della circonferenza, verrà a constare di cinque (archi) mentre l’arco AB, essendo un quinto della circonferenza, verrà a constare di tre. Quindi l’arco BC che rimane consterà di due di quei quindici archi. Si divida l’arco BC per metà in M. Ciascuno dei due archi BM ed MC è perciò 1/15 della circonferenza.” Dagli Elementi di Euclide - Libro IV

12. Il pentadecagono • Poiché 1/5 = 3/15 , 1/3 = 5/15 e 5/15 - 3/15 = 2/15 , l’arco BM si ricava bisecando l’arco BC ottenuto dalla differenza tra l’arco AC e l’arco AB.

13. Il pentadecagono • Il ragionamento di Euclide consiste nel determinare una combinazione lineare a coefficienti interi di 1/5 e 1/3 che dia proprio 1/15 come risultato: ovvero si tratta di determinare una soluzione intera dell’equazione: Poiché la coppia (2, -1) è una soluzione, l’arco cercato può essere ottenuto come differenza tra l’arco che sottende due lati del pentagono e l’arco che sottende il lato del triangolo.

14. Il 51-gono regolare • Il “metodo” usato per costruire il (3x5)-gono regolare, può essere applicato anche ad altri casi. Provate a costruire il (3x17)-gono regolare! Ehi… ma il 17-gono chi me lo dà?

15. Approfondimento Tanti (x) archi da 1/m x/m sottratti a tanti (y) archi da 1/n y/n devono dare un arco da 1/mn 1/mn Tradotto in equazione: • Il “metodo” generale usato consiste in questo. • Si parte da una circonferenza divisa in n parti e in m parti. dove x e y dovranno essere interi opportuni di segno opposto.

16. Anche quelle del mio ultimo teorema! Anche quella delle mie terne pitagoriche! E’ un’equazionediofantea! Pitagora 571-496 aC P. de Fermat 1601-1665 Approfondimento • L’equazione si riscrive:(*) Attenzione: cerchiamo le soluzioni intere!

17. Perché non può essere che... Approfondimento • Attenzione: non sempre una equazione come la (*) ammette una soluzione intera. Ad esempio: non ha soluzioni intere. Perché? ovvero con x e y interi!

18. Non è difficile spiegarlo ma ora non ho tempo.Andate a leggere il mio libro VII. Approfondimento • In generale: se i numeri m ed n hanno dei fattori in comune allora l’equazione non ammette una soluzione intera. E’ vero anche il viceversa!

19. Approfondimento • Riassumendo abbiamo individuato una ulteriore proprietà: Proprietà 3 Se un m-gono e un n-gono regolari possono essere costruiti con R & C e se MCD(m, n) = 1 allora anche il nm-gono regolare è costruibile con R & C.