Rekenen? Algebra? "Lees Euler!"

Rekenen? Algebra? "Lees Euler!" Euler (1707−1783)

plaatsen waar Euler actief was 1727-1741 1766-1783 1741-1766 1707-1727

Programma Twee blokken (rekenen; algebra) afgewisseld met een overzicht van Eulers leven en werk • 1707-1727 Basel Rekenen (hier het delen van gehele getallen) • 1727-1741 St Petersburg: Einleitung zur Rechenkunst (1738) • 1741-1766 Berlijn: Introductio in analysin infinitorum (1748), Euler begint zijn Algebra Algebra • 1766-1783 St Petersburg

1707-1727, Basel LEVEN • zoon van dominee Paul en domineesdochter Margaretha, 15 april 1707 • leerling van Johann Bernoulli samen met diens zoon Daniel; lessen op zaterdag (excellentie-trajecten zijn van alle tijden) • toen Basel te klein werd, door Daniel Bernoulli naar St Petersburg ‘gehaald’ (1727)

DanielBernoulli(Groningen 1700—Basel 1782)

1727-1741, Petersburg • LEVEN • de reis, 5 april tot 24 mei 1727 • banen, vrouw (Katharina, 1734) en kinderen (zonen, 1734, 1740) • Euler wordt blind aan zijn rechteroog (1738), vooral door het inspannende werk aan de kaart van Rusland. • Einleitung zur Rechen-Kunst (1738)

Deling in de Rechen-Kunst (1738) Het boek behandelt het rekenen vanaf de basisbegrippen , namen en notaties via de vier bewerkingen met gehele getallen tot en met de vier bewerkingen in breuken. Steeds abstract èn “in dem gemeinen Leben”

Deling (1): definitie p3.1. In de deling wordt onderwezen hoe men een getal vinden zal, dat aangeeft hoe vaak een gegeven getal in een ander gegeven getal bevat is. (...) Als men dus vraagt, hoeveel maal 18 in 72 voorkomt; dan kan men dat vinden als men 18 net zo veel maal van 72 wegneemt tot niets meer overblijft, omdat dan 18 zo veel maal in 72 bevat is als het aantal keren dat men 18 van 72 heeft kunnen aftrekken of wegnemen.

Deling (2): herhaald wegnemen p.3Dus kan dit voorbeeld[nl. 72:18] door aftrekking gevonden worden op de manier zoals hiernaast:

Deling (2): herhaald wegnemen p.3Dus kan dit voorbeeld [nl. 72:18] door aftrekking gevonden worden op de manier zoals hiernaast:

Deling (2): herhaald wegnemen p.3Dus kan dit voorbeeld [nl. 72:18] door aftrekking gevonden worden op de manier zoals hiernaast: Bij Euler altijd ook nog een keer in woorden: Want als men 18 van 72 eenmaal aftrekt, dan blijft 54 over. Etc.

Deling (3): grotere getallen

1741-1766, Berlijn • LEVEN • onderweg, van 17 juni tot 25 juli: de Zweedse vloot met getallen verslagen • top-leerboeken, vooral de Introductio in analysin infinitorum (1748); calculus, variatierekening • problemen met de stijl van Frederik de Grote • in 1665 begin hij zijn algebra-boek (problemen verraden de datum)

Datering van de Algebra (p. 18) Twee passages in de Vollständige Anleitung zur Algebra wijzen erop dat Euler al in 1765 aan het boek werkte: § 243: Dus in het getal 1765 staat op de eerste positie van rechts het cijfer 5, dat ook werkelijk 5 betekent, op de tweede plaats staat 6 die echter niet 6 maar 10 6 aangeeft. (...) en dus wordt dit getal uitgesproken als Eén duizend, zeven honderd, zestig en vijf. In § 421 berekent Euler 1+2+3+ ... + 1766

Inleiding tot de algebra (1773) p.8 Euler begint in § 1 bij de basis, met het definiëren van wat een grootheid is, namelijk al dat geen, ‘t welk voor eene vermeerdering of vermindering vatbaar is, of waar iets bijgevoegd of van afgenomen kan worden. Derhalven is een som gelds eene grootte, dewijl daar iets bij gedaan of van ontnomen kan worden. Insgelijks is het gewicht eene grootheid en dergelijken meer.

We lezen verder p.9 Je kunt een grootheid meten als je een eenheid invoert . Voorbeelden: eenzeker stuk gelds (...) gelijk een Gulden, Roebel, Daaler, of een Dukaat en dergelijken of een zeker gewicht, b.v. een pond, (...) , een vast bekende lengte, die b.v. een voet genaamd wordt, (...)Zo’n vaste, bekende grootheid wordt in § 4 de maat of eenheid genoemd. In § 5 concludeert Euler: Hieruit is het klaar, dat alle Grootheden door getallen zich laaten uitdrukken. (...) Dit hoofddeel der Wiskunde wordt Analysisof Algebragenaamd.

Mooi, nietwaar? Is dat niet fraai: niet meteen in een zee van letters duiken, maar eerst zeggen waarover je het gaat hebben, en waarom dat belangrijk is. Die letters komen er wel. Nadat Euler in § 8 een Verklaaring van de tekens + plus en – minus heeft gegeven, met voorbeelden als 5+3 en vervolgens met meer dan twee getallen, uitmondend in 8+5+13+11+1+3+10, welke 51 belooptzegt hij:

De schrijfletters (p. 11, § 10) Euler: men moet nog in aanmerking neemen, dat in ‘t algemeen de getalen door schrijfletters, gelijk a, b, c, d enz. worden uitgedrukt, wanneer men dus a+b schrijft, toont het de som der beide getalen aan, welke door a en b uitgedrukt worden, dezelve mogen zo groot of klein zijn als zij willen. Eveneens betekent f+m+b+k de som der getalen, welke door die schrijfletters uitgedrukt worden. Er volgen nu series rekenregels over plus en min.

Laatste voorbeeld: -a b en-a -b Euler vermenigvuldigt in § 32 (p. 16) eerst -a met +3. Hij zegt: -a is een schuld, en als een schuld drie maal wordt genomen, dan is hij drie maal zo groot als eerst. Dus -a 3 = -3a . [Hier een tikfout in het boek: -a voor -3a ] In § 33 ‘bewijst’ hij -a -b = ab. Leuk om te lezen en om over na te denken. Zit hier iets in? Zouden leerlingen hier iets aan hebben?

Deel 2 van de Algebra (vanaf p. 19) • In deel 2 ‘doet’ Euler de theorie van verhoudingen, en daarna het oplossen van vergelijkingen. • Steeds begint hij met het aangeven van de praktische relevantie, en daarna wisselt hij voortdurend tussen theorie en praktijk. • Verhoudingen zijn nodig, zegt Euler, omdat de prijs van een goed evenredig is met de hoeveel-heid die je koopt; ook bij twee muntsoorten is er een vaste verhouding (de koers; § 477).

Mooi voorbeeld (§ 479, p. 20) • Hier in St. Petersburg is de waarde van een dukaat veranderlijk. Deze berust op de wissel-koers waardoor de waarde van een roebel in Hollandse stuivers bepaald wordt. Eén ducaat is 105 stuivers. • Stel de koers van de roebel is 45 stuivers. Dus 1R : 1D = 45 : 105 = 3 : 7 . Ofwel 3 ducaten = 7 roebel. Ook andere koersen rekent Euler door.

Hoofdbestanddeel: vergelijkingen Oplossen van vergelijkingen • eerstegraads in één onbekende • stelsels eerstegraads • kwadratisch in één onbekende • stelsels eerstegraads en kwadratisch • graad 3, 4 en hoger. Voor 3 en 4 de formule van Cardano en de methode van Bombelli om graad 4 tot graad 3 te herleiden • tot slot Diophantische vergelijkingen.

Hoe start Euler? (p. 23) • Eerst zijn er bij de eerstegraads vergelijkingen een aantal algemene opmerkingen. De eerste vergelijking komt in § 5: • 20 personen, mannen en vrouwen, nemen in een café een consumptie: een man verteert voor 8 Groschen, maar een vrouw voor 7 Gr. en de totale rekening komt op 6 Rijksdaalders [=144 Gr.]. Nu is de vraag hoeveel mannen en vrouwen er waren. • Oplossing via de substitutie:

En waar eindigt hij? • Diophantische vergelijkingen (vergelijkingen met gehele coëfficiënten, en rationale oplossingen) besluiten het boek. • Euler bepaalt Euler alle gehele oplossingen van de vergelijking , de Pythagorese drietallen zoals (3,4,5), (5,12,13) etc. • en hij bewijst de laatste stelling van Fermat voor n=4: voor n=4 heeft de vergelijking geen geheeltallige oplossingen.

1766-1783, Petersburg • Euler wordt ook links blind (1766). • Hij dicteert, soms twee mensen tegelijk. Steun van zoon Johann Albrecht. Na 1766 400 publicaties waaronder de Algebra (1770) • Katharine Gsell overlijdt (1773); Euler trouwt haar zus. • april, juni 1783: eerste luchtballon (Montgolfier) • 18 september 1783, Euler overlijdt.

Conclusies • Bij Euler gaan rekenen en algebra ergens over. • Euler laat de leerling/student vaak oefenen zonder context, maar past de opgedane ervaring ook toe in de wereld van de groot-heden (geld, gewicht, etc.). • Symbolische notatie gaat altijd samen met taal. • Zijn praktische oriëntatie belet Euler niet om ook diepe theoretische vragen te behandelen. • De Vollständige Anleitung werd tot in de vorige eeuw als leerboek gebruikt (drukken: 1920, 1959).

hoe is het zo gekomen? • De basis lag in Groningen

Rekenen? Algebra? "Lees Euler!"