Transformação de Imagens

1. Transformação de Imagens Paulo Sérgio Rodrigues PEL205

2. Introdução a Transformada de Fourier

3. Chama-se série trigonométrica, uma série da forma: Séries de Fourier

4. Séries de Fourier As constantes a0, ak e bk(1,2,...) são os coeficientes da série trigonométrica Se essa série trigonométrica convergir, a sua soma é uma função periódica f(x) de período 2π, dado que sen(kx) e cos(kx) são funções periódicas de período 2π. De modo que: f(x) = f(x + 2π)

5. f(x) • Problema: • para uma função periódica f(x) de período 2π, quais as • condições impostas a f(x) de modo que exista uma série • trigonométrica convergente para f(x)? Séries de Fourier

6. Séries de Fourier A série acima pode ser então integrável de –π a π.

7. 0 Séries de Fourier

8. Séries de Fourier Agora só falta de determinar ak e bk!!

9. Séries de Fourier Multipliquemos os dois membros da equação acima por cos(nx)

10. Integrando de –πa π termo a termo ambos os membros da equação acima No entanto, sabemos que: Séries de Fourier

11. 0 0 Lembrando que: Séries de Fourier

12. que se junta a: Séries de Fourier De maneira análoga, multiplicando a equação acima por sen(nx) ao invés de cos(nx), chegamos a:

13. Séries de Fourier

14. f(t) 0 t T Série de Fourier Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) Paper de 1807 para o Institut de France: Joseph Louis Lagrange (1736-1813), and Pierre Simon de Laplace (1749-1827).

15. Coeficientes da Série f(t) t 0 T

16. Série de Fourier com números complexos

17. Transformada de Fourier

18. Transformada de Fourier (outra notação)

19. Introdução a Transformada de Fourier

20. Introdução a Transformada de Fourier

21. Introdução a Transformada de Fourier

22. Introdução a Transformada de Fourier

23. Transformada Discreta de Fourier

24. Transformada Discreta de Fourier

25. Resultados daTransformada de Fourier

26. Exemplo 1: Função caixa (box) f(x) a x b

27. F(w)  ab sinc(bw) 3/b -3/b -2/b -1/b 1/b 2/b 0 Transformada da função box f(x) a x b w

28. Distribuição normal: Gaussiana

29. Exemplo 2: Gaussiana || F(w) || f(x) w x

30. f(x) f(x0 +3dx) f(x0 + 2dx) 4 4 f(x0 + dx) 3 3 f(x0) 2 2 x 0.5 0.75 1.0 1.25 Exemplos Considere a função mostrada abaixo: f(x)=f(x + dx) 0.5 0.75 1.0 1.25 x

31. Exemplos f(x) = [2, 3, 4, 4]

32. Exemplos f(x) = [2, 3, 4, 4]

33. Exemplos f(x) = [2, 3, 4, 4]

34. Exemplos F(u) = [3.25, -0.5+j0.25, -0.25, -0.5-0.25j]

35. Ainda há muita Teoria pra falar sobre a Transformada de Fourier!Mas já dá para brincar com imagens utilizando o com o MatLab!