CHAPTER

1. 8 CHAPTER 模糊化與去模糊化

2. 8.1 模糊化 • 模糊化 (fuzzifier) 被定義為從一個真實數值點 映射到在U上的模糊集合A’的函數。 • 單點模糊化：單點模糊化 (singleton fuzzifier) 映射一個真實數值點 到在U上的模糊單點A’，而其歸屬值在x*上為1以及在U上的所有其它點為0；也就是 (8.1)

3. 8.1 模糊化 • 高斯模糊化：高斯模糊化 (Gaussian fuzzifier) 映射 到在U上的模糊集合A’。它有下列的高斯歸屬函數： (8.2) 其中ai為正的參數並且t-基準★通常是選取代數乘積或min。

4. 8.1 模糊化 • 三角形模糊化：三角形模糊化 (triangular fuzzifier) 映射 到在U上的模糊集合A’，它有下列的三角形歸屬函數： (8.3) 其中bi為正的參數並且t-基準★通常是選取代數乘積或min。

5. 引理 8.1 • 假設在 (7.1) 式的型式模糊規則庫是由M個規則所組成並且 (8.4) 其中 與 為常數參數，i=1,2, …,n以及l=1,2, …,m。如果我們使用高斯模糊化 (8.2)，則： • (a)如果我們對 (8.2) 式中的t-基準★還用代數乘積，乘 積推論引擎 (7.23) 式可簡化為 (8.5) 其中 (8.6)

6. 引理 8.1 • (b)如果我們對 (8.2) 式中的t-基準★選用min， 最小推論引擎 (7.24) 式可簡化為 (8.7) 其中 (8.8)

7. 引理 8.1 • 證 明 (8.9) (8.10) (8.11) (8.12)

8. 8.1 模糊化 (8.13) (8.14)

9. 8.1 模糊化 關於三種模糊化我們有下列的說明： • 單點模糊化大大地簡化了包含在模糊推論引擎的計算，對任何型式的歸屬函數模糊若—則規則能夠採用。 • 高斯或三角形模糊化也簡化在模糊推論引擎的計算，如果在模糊若—則規則的歸屬函數分別是高斯或三角形。 • 高斯和三角形模糊化能夠抑制在輸入上的雜訊，但單點模糊化則不能。

10. 8.2 去模糊化 在選擇去模糊化架構時，下列必須被考慮： • 合理性：點y*從直覺的觀點必須代表B’；例如，它可能落在近似於B’底集的中點或在B’有很高的歸屬程度。 • 計算的簡化：準則對模糊控制特別地重要，因為模糊控制是即時操作。 • 連續性：在B’的小變化不能產生在y*的大變化。

11. 8.2 去模糊化 • 8.2.1　重心去模糊化法 • 重心去模糊化法 (center of gravity defuzzifier) 藉由B’的歸屬函數指定y*為涵蓋面積的中心，也就是 (8.15) 其中 是古典積分。圖8.1以圖示顯示這個運算。

12. 8.1　重心去模糊化法的圖形表示 8.2 去模糊化

13. 8.2 去模糊化 • 如果μB’(y)我們視為一個隨機變數的機率密度函數，則重心去模糊化法給予了隨機變數的平均值。有時它想要去估算 ，它的歸屬值在B’是太小；這個結果是指標重心去模糊化法，而其給予了 (8.16) 其中Vα被定義為 (8.17) 以及α是一個常數。

14. 8.2 去模糊化 • 8.2.2　中心平均值去模糊化法 • 因為模糊集合B’是M個模糊集合的聯集或交集，(8.15) 式的一個好的近似是M個模糊集合中心的加權平均，以加權值等於相對應模糊集合的高度。特別地，令 是第l個模糊集合的中心而且wl是它的高度，中心平均去模糊化法 (center average defuzzifier) 決定y*為 (8.18) 圖8.2對具有M=2的簡單範例圖解說明這個運算圖示。

15. 範例 8.1 假設模糊集合B’是如圖8.2所示的2個模糊集合的聯集，具有 與 ，則中心平均值去模糊化法給予了 (8.19) 我們現在從重心去模糊化法計算y*的結果。首先，我們注意二個模糊集合在 的交集，因此， (8.20)

16. 8.2　中心平均值去模糊化法的圖解表示 範例 8.1

17. 範例 8.1 從圖8.2，我們得到 (8.21) 以 (8.21) 除以 (8.20) 我們得到重心去模糊化法的y*。表8.1顯示對確定的w1與w2值使用這二個去模糊化法的y*值。我們看到重心去模糊化法的計算比中心平均值去模糊化法直接。

18. 8.1對範例8.1的重心與中心平均值去模糊化法的比較8.1對範例8.1的重心與中心平均值去模糊化法的比較 範例 8.1

19. 8.2 去模糊化 • 概念上地，最大值去模糊化選取y*為在V上的點，使得μB’(y)達到它的最大值。定義集合 (8.22) 也就是hgt(B’)是在V上所有點的集合，而其μB’(y)達到它的最大值。最大值去模糊化 (maximum defuzzifier) 定義y*為在hgt(B’)的一個任意元素，也就是 (8.23)

20. 8.2 去模糊化 • 如果hgt(B’)包含一個單一點，則y*唯一被定義。如果hgt(B’)包含一個以上的點，則我們仍舊可用 (8.23) 或用最大值的最小、最大值的最大，或是最大值去模糊化的平均值。特別地，最大值去模糊化的最小 (smallest of maxima defuzzifier) 給予了 (8.24) 最大值去模糊化的最大 (largest of maxima defuzzifier) 給予了 (8.25)

21. 8.2 去模糊化 • 最大值去模糊化的平均值 (mean of maxima defuzzifier) 被定義於 (8.26) 其中 是對hgt(B’)的連續部分常用積分並且對hgt(B’)的不連續部分用合計。我們覺得最大值去模糊化的平均值可能給予最大歸屬值直覺矛盾的結果。例如，由最大值去模糊化的平均值y*在B’可能有非常小的歸屬值；參閱圖8.3作為範例。這個問題是來自於歸屬函數μB’(y)的非凸特性。

22. 8.3　最大值去模糊化法的圖形表示。在這個範例中，最大值8.3　最大值去模糊化法的圖形表示。在這個範例中，最大值 去模糊化法的平均對最大歸屬直覺給予了矛盾的結果。 8.2 去模糊化

23. 8.4最大值去模糊化的範例其中在B’上的小變化8.4最大值去模糊化的範例其中在B’上的小變化 在y*上產生大的變化 8.2 去模糊化

24. 8.2　重心法、中心平均值與最大值去模糊化相對於合理性，8.2　重心法、中心平均值與最大值去模糊化相對於合理性， 計算的簡單與連續性的比較。 8.2 去模糊化

25. 範例 8.2 考慮一個2輸入1輸出的模糊系統，而其架構於下列二個規則： (8.27) (8.28) 其中A1與A2是在R上的模糊集合，且具有歸屬函數為 (8.29) (8.30)

26. 範例 8.2 假設輸入到模糊系統是(x*1,x*2)=(0.3,0.6)並且我們使用單點去模糊化。依下列情況決定模糊系統y*的輸出：(a) 乘積推論引擎 (7.23) 與中心平均值去模糊化 (8.18)；(b) 乘積推論引擎 (7.23) 與重心去模糊化法 (8.15)；(c) Lakasiewicz推論引擎 (7.30) 與最大值去模糊化的平均值 (8.26)；與 (d) Lakasiewicz推論引擎 (7.30) 與中心平均值去模糊化 (8.18)。

27. 範例 8.2 (a) 因為我們使用單點模糊化，從引理7.3 (7.28) 與 (8.29)～(8.30) 我們得到 (8.31) 而其顯示於圖8.2具有 與 w2=0.12。因此，從 (8.19) 我們得到中心平 均值去模糊化 (8.32)

28. 範例 8.2 (b) 延續 (a) 與 (8.30)～(8.31)，我們得到 (8.33) (8.34) 因此，在這個狀況中的y*為 (8.35)

29. 範例 8.2 (c) 如果我們使用Lukasiewicz推論引擎，則從 引理7.4 (7.33) 我們得到 (8.36) 而其描繪於圖8.5，從圖8.5我們看到 在區間[0.3,0.4]被達成，所以最大值去模糊 化的平均值給予 (8.37)

30. 範例 8.2 (d) 從圖8.5我們看到在這個情況下 與w2=1。所以中心平均值去模糊化 (8.18) 給予 (8.38)

31. 8.5(8.36) 式歸屬函數μB’(y)的圖形表示 範例 8.2

32. 8.3 總結與更多的閱讀 • 單點、高斯與三角形模糊化以及重心、中心平均值與最大值去模糊化的定義與直覺意義。 • 對於特定範例的模糊化、去模糊化以及模糊推論引擎的不同合成，計算其模糊系統的輸出。