第 7 讲 MATLAB 符号计算二

西南科技大学网络教育系列课程 数学软件第7讲 MATLAB符号计算二数学软件主讲教师: 鲜大权副教授西南科技大学理学院数学系

7.1 级数 7.2 代数方程的符号求解 7.3 常微分方程的符号求解

7.1.1 级数的符号求和 • 级数符号求和函数symsum，调用格式为： • symsum(a,n,n0,nn) • 例7.1求级数之和。 • 命令如下： • n=sym('n'); • s1=symsum(1/n^2,n,1,inf) %求s1 • s2=symsum((-1)^(n+1)/n,1,inf) %求s2。未指定求和变量，缺省为n • s3=symsum(n*x^n,n,1,inf) %求s3。此处的求和变量n不能省略。 • s4=symsum(n^2,1,100) %求s4。计算有限级数的和

7.1.2 函数的泰勒级数 • MATLAB中提供了将函数展开为幂级数的函数taylor，其调用格式为： • taylor(f,v,n,a) • 例7.2求函数在指定点的泰勒展开式。 • 命令如下： • x=sym('x'); • f1=(1+x+x^2)/(1-x+x^2); • f2=sqrt(1-2*x+x^3)-(1-3*x+x^2)^(1/3); • taylor(f1,x,5) %求(1)。展开到x的4次幂时应选择n=5 • taylor(f2,6) %求(2)。

例7.3将多项式表示成x+1的幂的多项式。 • 命令如下： • x=sym('x'); • p=1+3*x+5*x^2-2*x^3; • f=taylor(p,x,-1,4) • 例7.4应用泰勒公式近似计算。 • 命令如下： • x=sym('x'); • f=(1-x)^(1/12); %定义函数，4000^(1/12)=2f(96/2^12) • g=taylor(f,4) %求f的泰勒展开式g，有4000^(1/12)≈2g(96/2^12) • b=96/2^12; • a=1-b/12-11/288*b^2-253/10368*b^3 %计算g(b) • 2*a %求4000^(1/12)的结果 • 4000^(1/12) %用MATLAB的乘方运算直接计算

7.1.3 函数的傅立叶级数 • MATLAB 5.x版中，尚未提供求函数傅立叶级数的内部函数。下面我们自己设计一个简化的求任意函数的傅立叶级数的函数文件。 • function mfourier=mfourier(f,n) • syms x a b c; • mfourier=int(f,-pi,pi)/2; %计算a0 • for i=1:n • a(i)=int(f*cos(i*x),-pi,pi); • b(i)=int(f*sin(i*x),-pi,pi); • mfourier=mfourier+a(i)*cos(i*x)+b(i)*sin(i*x); • end • return • 调用该函数时，需给出被展开的符号函数f和展开项数n，不可缺省。

例7.4在[-π，π]区间展开函数为傅立叶级数。 • 命令如下： • x=sym('x');a=sym('a'); • f=x; • mfourier(f,5) %求f(x)=x的傅立叶级数的前5项 • f=abs(x); • mfourier(f,5) %求f(x)=|x|的傅立叶级数的前5项 • syms a; • f=cos(a*x); • mfourier(f,6) %求f(x)=cos(ax)的傅立叶级数的前6项 • f=sin(a*x); • mfourier(f,4) %求f(x)=sin(ax)的傅立叶级数的前4项

7.2代数方程的符号求解 • 7.2.1线性方程组的符号求解 • MATLAB中提供了一个求解线性代数方程组的函数linsolve，其调用格式为： • linsolve(A,b)

例7.5求线性方程组AX=b的解。 • 解方程组(1)的命令如下： • A=[34,8,4;3,34,3;3,6,8]; • b=[4;6;2]; • X=linsolve(A,b) %调用linsolve函数求(1)的解 • A\b %用另一种方法求(1)的解 • 解方程组(2)的命令如下： • syms a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 b1 b2 b3; • A=[a11,a12,a13;a21,a22,a23;a31,a32,a33]; • b=[b1;b2;b3]; • X=linsolve(A,b) %调用linsolve函数求(2)的解 • XX=A\b %用左除运算求(2)的解

7.2.2 非线性方程组的符号求解 • 求解非线性方程组的函数是solve，调用格式为： • solve('eqn1','eqn2',…,'eqnN','var1,var2,…,varN') • 例7.6 解方程。 • 命令如下： • x=solve('1/(x+2)+4*x/(x^2-4)=1+2/(x-2)','x') %解方程(1) • f=sym('x-(x^3-4*x-7)^(1/3)=1'); • x=solve(f) %解方程(2) • x=solve('2*sin(3*x-pi/4)=1') %解方程(3) • x=solve('x+x*exp(x)-10','x') %解方程(4)。仅标出方程的左端

例7.7 求方程组的解。 • 命令如下： • [x y]=solve('1/x^3+1/y^3=28','1/x+1/y=4','x,y') %解方程组(1) • [x y]=solve('x+y-98','x^(1/3)+y^(1/3)-2','x,y') %解方程组(2) • Warning: Explicit solution could not be found. • > In C:\MATLABR11\toolbox\symbolic\solve.m at line 136 • x = • [ empty sym ] • y = • [] • 对方程组(2)MATLAB给出了无解的结论，显然错误，请看完全与其同构的方程组(3)。输入命令如下： • [u,v]=solve('u^3+v^3-98','u+v-2','u,v') %解方程组(3) • [x v]=solve('x^2+y^2-5','2*x^2-3*x*y-2*y^2') %解方程组(4)

7.3常微分方程的符号求解 • MATLAB的符号运算工具箱中提供了功能强大的求解常微分方程的函数dsolve。该函数的调用格式为： • dsolve('eqn1','condition','var') • 该函数求解微分方程eqn1在初值条件condition下的特解。参数var描述方程中的自变量符号，省略时按缺省原则处理，若没有给出初值条件condition，则求方程的通解。 • dsolve在求微分方程组时的调用格式为： • dsolve('eqn1','eqn2',…,'eqnN','condition1',…,'conditionN','var1',…,'varN') • 函数求解微分方程组eqn1、…、eqnN在初值条件conditoion1、…、conditionN下的解，若不给出初值条件，则求方程组的通解，var1、…、varN给出求解变量。

例7.8 求微分方程的通解。 • 命令如下： • y=dsolve('Dy-(x^2+y^2)/x^2/2','x') %解(1)。方程的右端为0时可以不写 • y=dsolve('Dy*x^2+2*x*y-exp(x)','x') %解(2) • y=dsolve('Dy-x/y/sqrt(1-x^2)','x') %解(3)

例7.9 求微分方程的特解。 • 命令如下： • y=dsolve('Dy=2*x*y^2','y(0)=1','x') %解(1) • y=dsolve('Dy-x^2/(1+y^2)','y(2)=1','x') %解(2)

例7.10 用微分方程的数值解法和符号解法解方程，并对结果进行比较。 • 在MATLAB命令窗口，输入命令： • y=dsolve('Dy+2*y/x-4*x','y(1)=2','x') %用符号方法得到方程的解析解 • 为了求方程的数值解，需要按要求建立一个函数文件fxyy.m： • function f=fxyy(x,y) • f=(4*x^2-2*y)/x; %只能是y'=f(x,y)的形式，当不是这种形式时，要变形。 • return • 输入命令： • [t,w]=ode45('fxyy',[1,2],2); %得到区间[1，2]中的数值解，以向量t、w存储。 • 为了对两种结果进行比较，在同一个坐标系中作出两种结果的图形。输入命令： • x=linspace(1,2,100); • y=x.^2+1./x.^2; %为作图把符号解的结果离散化 • plot(x,y,'b.',t,w,'r-');

7.4 常微分方程组求解 • 例7.11 求微分方程组的解。 • 命令如下： • [x,y]=dsolve('Dx=4*x-2*y','Dy=2*x-y','t') %解方程组(1) • [x,y]=dsolve('D2x-y','D2y+x','t') %解方程组(2)

第 7 讲 MATLAB 符号计算二