PAR FRAKTĀLO DIMENSIJU

1. PAR FRAKTĀLO DIMENSIJU Inese Bula Latvijas Universitāte un Latvijas universitātes Matemātikas un informātikas institūts LMB 2010, Valmiera

2. Fraktāļa jēdziens • Fraktālis ir neregulāra vai sadrumstalota forma, kuru var sadalīt mazākās daļās tā, ka jauniegūtā daļas ir sākotnējās formas samazināta izmēra kopijas, t.i., objekts, kuram piemīt pašlīdzība. • Fraktālis ir punktu kopa, kuras fraktālā dimensija ir lielāka par tās topoloģisko dimensiju.

5. Topoloģiskā dimensija • Definīcija. Saka, ka kopai A ir topoloģiskā dimensija 0, ja jebkuram kopas A punktam eksistē tāda apkārtne, kuras robeža nešķeļas ar kopu A.Saka, ka kopai A ir topoloģiskā dimensija k > 0, ja jebkuram kopas A punktam eksistē tāda apkārtne, kuras robežas šķēlums ar kopu A ir kopa ar topoloģisko dimensiju k-1 un k ir mazākais pozitīvais veselais skaitlis, kuram šī īpašība izpildās.

6. Fraktālā dimensija Jēdziens par fraktālo dimensiju pirmo reizi parādījies jau 1919.gadā F.Hausdorfa darbā, tomēr tikai B.Mandelbrots apvienoja šīs idejas un uzsāka sistemātisku fraktāļu pētīšanu. Jēdzienu par fraktālo dimensiju Mandelbrots izveidoja 1977.gadā.

7. N - kopiju skaits r - skaitlis, kas rāda, cik reizes samazināta figūra

8. D( vidējās trešdaļas Kantora kopa ) = D( vidējās simtdaļas Kantora kopa ) = D( Koha līkne ) = D( Serpinska trīsstūris ) =

9. Definīcija • Definīcija. Pieņemsim, ka A ir metriskas telpas (X; d) netukša kompakta apakškopa. Pieņemsim, ka katram ε>0 ar N(A;ε) tiek apzīmēts mazākais skaits slēgto ložu ar rādiusu ε>0, kurš nepieciešams, lai pārklātu kopu A. Ja robeža eksistē, tad iegūto robežskaitli D sauc par kopas A fraktālo dimensiju.

10. Teorēma Kastīšu skaitīšanas TEORĒMA (The Box Counting Theorem). Pieņemsim, ka A ir netukša kompakta apakškopa ar Eiklīda metriku. Pārklāsim ar slēgtiem kvadrātiem ar malas garumu . Apzīmēsim ar Nn(A) kvadrātu skaitu ar malas garumu , kuri pārklāj kopu A. Ja robeža eksistē, tad D ir kopas A fraktālā dimensija.

11. Ja Dekarta koordinātu sistēmā atliek uz x ass ln vērtības un uz y ass lnN(A,ε) vērtības, tad lineāras regresijas taisnes virziena koeficients ir uztverams kā dotās kopas A kastīšu dimensijas tuvinājums.

12. Dimensijas definīcijās tiek ietverta ideja par mēru mērogā ε. Visiem εtiek mērīta kopa un tiek ignorētas neregularitātes, kuras ir mazākas par ε, mērīšana tiek atkārtota, aizvien mazākam ε (t.i., ε→0). Līknei F plaknē tiek definēta lineāla dimensija s. Lielbritānijas krasta līnijas fraktālā dimensija ir apmēram 1,25, bet Norvēģijas - apmēram 1,52.

13. Brokoļu fraktālā dimensija ir 2,66, bet cilvēka smadzeņu virsmas fraktālā dimensija ir 2,79

14. G.Šmidleres datorzinātņu bakalaura darbs, “Fraktāļa Īpašības un fraktāļa dimensijas noteikšana”, 2005 Kastīšu dimensija - 1,512 Gaujai un 1,596 Lielupei “Riņķu” dimensija – 1,868 Gaujai un 1,795 Lielupei

15. Upes baseins dimensionāli ir lielāks par pašu upi. Korelācijas (riņķu) dimensija dažos gadījumos pārsniedz 2, tā tam nevajadzētu būt. Rezultāts atkarīgs no upes attēla mēroga.

16. H.Takayasu, M.Takayasu, M.P.Okazaki, K.Marumo, T.Shimizu, Fractal Properties in Economics, RePec, 2000, 15 lpp Valūtas maiņas tarifa svārstībās novērojama pašlīdzība – izmainot mērogu, ieraugāms līdzīgs attēls.

17. I.Thomas, C.Tannier, P.Frankhauser, Is there a link between fractal dimensions and other indicators of the built-up environment at a regional level?, Cybergeo: European Journal of Geography, V.413, 2008 Fractal measures unequivocally characterise the spatial organisation of urban patterns. ... To our first question “do fractal dimensions allow a synthetic description of the built environment of each commune?” we can definitively give a positive answer. The analysis performed at a regional level completes and confirms former micro-level analyses on cities. The second hypothesis was that “fractal dimensions can be used to evaluate the quality of the built environment of each commune”. It was shown in this paper that people tend to appreciate morphological (fractal) diversity, defined as the existence of empty areas of different sizes.

18. R.F.Sultan, The fractal structure of Liesegang and other precipitate patterns, Proc. of the 10th Intern. Conference on Dynamical Systems - Theory and Applications, Lodz, Poland, 2009 Liesegang nogulšņu joslu šabloni ir raksturojami kā fraktāli objekti. To fraktālās dimensijas raksturo objektu ķīmiskās īpašības (elektrolītu koncentrācijas lielumu).

19. Literatūra • M.F.Barnsley, Fractals everywhere, sec.ed., Morgan Kaufman, Academic Press, San Diego, USA,1993. • 2. H.O.Peitgen, H.Juergens, D.Saupe, Chaos and Fractals. New Frontiers of Science, sec.ed., Springer-Verlag, New-York, 2004. • 3. R.F.Sultan, The fractal structure of Liesegang and other precipitate patterns, Proc. of the 10th Intern. Conference on Dynamical Systems - Theory and Applications, Lodz, Poland, Vol.2., J.Awrejcewicz (Ed.), Left Grupa, Lodz,2009, P.987 – 994. • 4. H.Takayasu, M.Takayasu, M.P.Okazaki, K.Marumo, T.Shimizu, Fractal Properties in Economics, http://econpapers.repec.org/paper/arxpapers/cond-mat_2f0008057.htm, RePec, 2000, 15 p. • 5. I.Thomas, C.Tannier, P.Frankhauser, Is there a link between fractal dimensions and other indicators of the built-up environment at a regional level?, Cybergeo: European Journal of Geography, V.413, 24 p, 2008

20. Paldies par uzmanību!