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第二章 LP 的对偶理论

例. 产品. 1 2 加工能力 ( 小时 / 天 ) A 2 2 12 B 1 2 8 C 4 0 16 D 0 4 12 2 3. 设备. 销售收入. 第二章 LP 的对偶理论. 1 对偶问题.

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第二章 LP 的对偶理论

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  1. 例 产品 1 2 加工能力(小时/天) A 2 2 12 B 1 2 8 C 4 0 16 D 0 4 12 2 3 设备 销售收入 第二章 LP的对偶理论 1对偶问题

  2. 2 2 12 1 2 X1 8 4 0 X2 16 0 4 12 2X1 +2X2 12 X1 +2X2 8 4X1 16 4X2 12 X1 X20  X1 X2 maxZ= 2X1 +3X2 (2 3) 设X1 ，X2 为产品1，2的产量

  3. y1 y2 y3 y4 2y1 +y2 +4y3  2 2y1 +2y2 +44  3 y1 … y40 2 1 4 0 2 2 0 4 2 3  设 y1 ,y2 ,y3 ,y4分别为A, B, C, D设备的单价

  4. 2 2 1 2 4 0 0 4 (y1 y2 y3 y4)  (2,3) minW=12y1+8y2 +16y3+12y4 y1 … y4 “影子价格”

  5. 原问题 对偶问题 minW=bTy ATyCT y0 maxZ=CX AXb X0 minW=yb yAC y0 A矩阵 y,C 行向量 b 列向量 A矩阵 X,b 列向量 C 行向量 A矩阵 y,b 列向量 C 行向量 定义： “对称型”

  6. maxZ=CX AX= b X0 (2)、 的对偶问题是 minW=yb yA C y为自由 对偶问题的性质： (1)、对偶问题的对偶问题是原问题。

  7. maxZ= 5X1 +6X2 3X1 -2X2 =7 4X1 +X2 9 X1 , X20 例1、写出下面问题的对偶规划

  8. 3X1 -2X2 7 3X1 -2X2 7 4X1 +X2 9 maxZ= 5X1 +6X2 3X1 -2X2  7 -3X1 +2X2 -7 4X1 +X2 9 X1 , X20 y1' y1 " y2 解：

  9. minW=7y1'-7y1 "+9y2 3y1'-3y1 "+4y2 5 -2y1'+2y1 "+y2 6 y1', y1 ", y2 0 minW=7y1 +9y2 3y1+4y2 5 -2y1 +y2 6 y1自由, y2 0 对偶问题 令y1 =y1'-y1 "

  10. (3)、原问题第k个约束为等式，对偶问题第k个变量是自由变量。(3)、原问题第k个约束为等式，对偶问题第k个变量是自由变量。 原问题第k个变量是自由变量，则对偶问题第k个约束为等式约束。

  11. 对偶关系对应表 原问题 对偶问题 目标函数类型 max min 目标函数系数 目标函数系数 右边项系数 与右边项的对应关系 右边项系数 目标函数系数 变量数与约束数 变量数n 约束数 n 的对应关系 约束数m 变量数m 原问题变量类型与 0  对偶问题约束类型 变量0 约束 的对应关系 无限制 ＝ 原问题约束类型与 0 对偶问题变量类型 约束变量0 的对应关系 ＝ 无限制

  12. 例2、写对偶规划 minZ= 4X1 +2X2 -3X3 -X1+2X2 6 2X1 +3X3 9 X1 +5X2 -2X3 =4 X2 , X3 0

  13. maxW= 6y1 +9y2 +4y3 -y1+2y2 + y3 =4 2y1 +5y3  2 3y2 -2y3 -3 y1  0 , y2 0 , y3自由

  14. 或将原问题变形为 minZ= 4X1 +2X2 -3X3 X1 -2X2 -6 2X1 +3X3 9 X1 +5X2 -2X3 =4 X2 , X3 0

  15. 对偶规划 maxW= -6y1 +9y2 +4y3 y1+2y2 + y3 =4 -2y1 +5y3  2 3y2 -2y3 -3 y1 , y2 0 , y3自由

  16. maxZ= 5X1 +6X2 3X1 +X2  48 3X1 +4X2 120 X1 , X20 3X1 +X2 +X3=48 3X1 +4X2 +X4=120 X1 … X40 机器台时 劳动工时 产品A，B产量X1，X2，Z为利润 例1、

  17. 5 6 0 0 X1 X2 X3 X4 XB 0 5 6 0 0 0 X3 48 3 1 1 0 0 X4 120 3 (4) 0 1 180 1/2 0 0 -3/2 0 X3 18 (9/4) 0 1 -1/4 6 X2 30 3/4 1 0 1/4 184 0 0 -2/9 -13/9 5 X1 81 0 4/9 -1/9 6 X2 24 0 1 -1/3 1/3 X=(8,24)T Z =184

  18. minW=48y1+120y2 minW=48y1+120y2 +My5 +My6 3y1+3y2 5 y1 +4y26 3y1+3y2 -y3+y5 =5 y1 +4y2 -y4+y6=6

  19. 48 120 0 0 MM y1 y2 y3 y4 y5 y6 yB 11M 48-4M 120-7M MM 0 0 My5 5 3 3 -1 0 1 0 My6 6 1 4 0 -1 0 1 yB 180+1/2M 18-9/4M 0 M 30-3/4M 0 -30+7/4M M y5 1/2 9/4 0 -1 3/4 1 -3/4 120y2 3/21/4 1 0 -1/4 0 1/4 yB 184 0 0 8 24 M-8 M-24 48 y1 2/9 1 0 -4/9 1/3 4/9 -1/3 120 y2 13/9 0 1 1/9 -1/3 -1/9 1/3 y=(2/9,13/9), Z=184

  20. 观察结论: ① 一对对偶问题都有最优解，且目标函数值相等。 ② 最优表中有两个问题的最优解。

  21. maxZ=CX AX≤ b X0 (P) minW=yb yA C y  0 (D) 对偶问题解的性质

  22. X  b X  C y X X X yb y y y y X yA yA yA ， 分别为(P), (D)的可行解，则有C  b 证明：由A  b, 0 有 由A  C, 0 有 X 所以 CX  X  定理1、(弱对偶定理)

  23. X最优 y X X y X y 定理2、 , 分别为(P), (D)的可行解，且 C = b , 则它们是(P), (D)的最优解。 证明：对任X，有CX b =C  推论1、(P), (D)都有可行解，则必都有最优解。 推论2、(P)有可行解, 但无有限最优解，则(D)无可行解。

  24. 定理3、B为(P)的最优基，则 yA  C y  0 y= CB B-1 是(D)的最优解。 y y <称B为对偶最优基， 为对偶最优解> 证明：由 CB B-1 B C- CB B-1 A - CB B-1 B-1 b B-1 A B-1 有C- CB B-1 A 0 - CB B-1  0 即 所以 是(D)的可行解。

  25. 其目标函数值为 yb= CB B-1 b X X= CB B-1 b y 设(P)的最优解为 ，其目标函数值为 C 所以 是(D)的最优解。

  26. 推论： 分别为(P), (D)可行解，又是最优解，则有 , X= yb  X y y yb X yb ( 最优解) y X = X C = b 证明： 对应基为B，则y= CB B-1是(D)的可行解。 有 C 又由定理1，有 C

  27. 若 x , y分别为(P) , (D)的可行解，则 x , y为最优解 xj  ym+j =0且xn+i  yi =0 ( j =1……n ) ( i =1……m ) maxZ=cx Ax+xs =b x ,xs  0 x1 xn xn+1 xn+m … x= … xs= 定理4 (松紧定理) 互补松弛性 原问题

  28. min = yb yA-ys =c y ,ys  0 y = ( y1 … ym ) ys =( ym+1 … ym+n ) 对偶问题

  29. 证明：( ) ∵yAc ∴yAxc x ∵Ax b ∴yAx  y b ∵cx≡yb ∴ cx≡yAx≡ yb ( yA-c )x≡ 0 yA-c= ys  0 x  0

  30. ∴ ym+j xj = 0 ( j=1 … n ) 由 y(Ax-b)≡ 0 同理可得 yxs≡ 0 xn+i yi = 0 ( i=1 … m ) x1 xn ( ym+1 … ym+n ) ≡ 0 …

  31. ( ) ∵xj ym+j =0 ( j =1 … n ) n ∴ ym+j xj =0 j=1 ys x =0 ∵ ys = yA - c ∴ ( yA-c)x=0yAx=cx 同理，yAx = yb ∴cx=yb

  32. xj ym+j ( j =1 … n ) yi xn+i ( i =1 … m ) (P)的xj 的检验数是 ym+j (P)的xn+i 的检验数是 yi

  33. 3y1+ y2  9 y1+ y2  5 y1+8y2  8 y1 ,y2  0 maxZ=9x1+5x2 +8x3 3x1+x2+ x3  5 x1+x2+8x3  1 x1 ,x2 ,x3  0 (P) (D) 例： min = 5y1+y2

  34. 9 5 8 0 0 x1 x2 x3 x4 x5 CB xB 0 9 5 8 0 0 0x4 5 3 1 1 1 0 0x5 1 1 1 8 0 1 CB xB 9 0 -4 -64 0 -9 0x4 2 0 -2 -23 1 -3 9x1 1 1 1 8 0 1 (P)最优解(0, 9, 0, 4, 64), = 9

  35. xj  ym+j =0 ( j =1……n ) n = 3 xj y2+j m = 2 ( j =1……3 ) xn+i  yi =0 ( i =1……m ) x3+i yi ( i =1 ,2 ) x1 y3 x2 y4 x3 y5 x4 y1 x5 y2

  36. 例： min = 2x1+3x2+5x3+2x4+3x5 x1+x2+2x3+x4+3x5  4 2x1 -x2+3x3+x4+x5  3 xi  0 ( i =1 … 5 ) (P) 其对偶解 y1﹡ =4/5 y2﹡ =3/5 Z﹡ =5 用对偶理论求(P)的最优解

  37. maxZ=4y1+3y2 y1+2y2  2 ① y1 - y2  3 ② 2y1+3y2  5 ③ y1+y2  2 ④ 3y1+y2  3 ⑤ y1 ,y2  0 解：(D)为

  38. 由y1﹡ ，y2﹡﹥0知原约束为等式 x1+3x5 =4 2x1+x5 =3 将y1﹡ ，y2﹡ 代入，知②, ③, ④为严格不等式 ∴ x2 = x3 = x4 = 0 ∴ x= (1, 0, 0, 0, 1)T Z=5

  39. (1)、Z= CBB-1b +(CN - CBB-1 N)XN (*) Z= Z(b) b为资源 对(*)求偏导：  Z = CBB-1 = y  b 对偶解y：b 的单位改变量所引起的目标函数改变量。 对偶解的经济意义

  40. W=yb=(y1 … ym ) = b1 y1 + b2 y2 + … + bm ym bi ：第 i 种资源的数量 yi ：对偶解 bi增加 bi ,其它资源数量不变时,目标函数的增量 b1 bm … Z= bi yi yi ：反映bi 的边际效益(边际成本) 经济解释： 例1中y1 =2/9, 当机器台时数增加1个单位时，工厂可增加利润2/9个单位。

  41. (3)、应用 情况① 某资源对偶解>0，该资源有利可图，可增加此种资源量；某资源对偶解为0，则不增加此种资源量。 情况② 直接用影子价格与市场价格相比较，进行决策，是否买入该资源。

  42. 迭代 保持B-1b0，使C-CBB-1 A 0，即CBB-1 A C 对偶单纯形法（略） 思路：(max型) 单纯形法：找基B，满足B-1b0，但C- CBB-1 A不全 0，（即检验数）。

  43. 迭代 保持C-CBB-1 A 0，使B-1b0 对偶单纯形法：找基B，满足C- CBB-1 A 0，但B-1b不全0

  44. Max Z =2X1 +X2 X1+ X2 + X3 =5 2X2 + X3  5 4X2 +6X3 9 X1 , X2 , X3 0 例1：

  45. maxZ=2X1 +X2 X1+ X2 + X3 =5 2X2 + X3 +X4 = 5 -4X2 -6X3 +X5 =-9 X1 … X50 B=(P3 P4 P1 P2) 1 1 2 1 -4 -2 CN - CBB-1 N=(1,0)-(2,0,0) =(-1,-2)

  46. 2 1 0 0 0 X1 X2 X3 X4 X5 CB XB 10 0 -1 -2 0 0 2 X1 5 1 1 1 0 0 0 X4 5 0 2 1 1 0 0 X5 -9 0 (-4) -6 0 1 XB 31/4 0 0 -1/2 0 -1/4 X1 11/4 1 0 -1/2 0 1/4 X4 1/2 0 0 -2 1 1/2 X2 9/4 0 1 3/2 0 -1/4

  47. (2)、判定： B-1 b全0，停。否则，取 max{ B-1 b }=(B-1 b)l B-1 b<0 令第 l 行的Xj l为换出变量. 对偶单纯形法基本步骤 max型(min型) (1)、作初始表，要求全部λj 0 (0)

  48. ② 若Xi l行的alj 有alj <0 , λj λk 则求 θ=min{ }= alj alk alj <0 λk Xk为换入变量 alk (3)、确定换入变量 ① 若Xi l行的alj 全0 ，停，原问题无可行解。 (4)、以alk 为主元，换基迭代

  49.  关于①的解释：第 l 个方程 (B-1 b)l= xil +alj xj j N xil = (B-1 b)l - alj xj 即  > 0 0 0 < 某xj 从0↗，xil不能变>0 ②为保持λj 0 ，即对偶解可行性

  50. minZ=2X1 +3X2 +4X3 minZ=2X1 +3X2 +4X3 X1+2X2 + X3 3 2X1 - X2 +3X3  4 X1 , X2 , X3 0 -X1 -2X2 - X3 +X4 =-3 -2X1+ X2 -3X3 +X5 =-4 X1 … X50 例2

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