E & M

1. Numere complexe E & M

2. “Matematica, esteceeaceîncepe, ca şiNilulîn modestieşi se terminăîn magnific” 1 6 9 Numere complexe 4 2

3. E & M

4. Cuprins Mulţimeanumerelorcomplexe Numere complexe în formă algebrică Reprezentarea în plan Modulul unui număr complex Conjugatul unui număr complex Interpretarea geometrică a conjugatului Proprietăţile numerelor complexe conjugate Operaţii cu numere complexe Puterile lui “i” Ecuaţii de gradul al II-lea cu numere complexe Numere complexe în formă trigonometrică Utilizareanumerelorcomplexe in realitate Teste de verificare

5. Mulţimea numerelor complexe N – mulţimea numerelor naturale Z – mulţimea numerelor întregi Q – mulţimea numerelor raţionale I – mulţimea numerelor iraţionale R – mulţimea numerelor reale C – mulţimea numerelor complexe ℂ= { z=a+bi /a,b ∊R,i*i=-1}

6. Numerecomplexe în formă algebrică Se numesc numere complexe numerele de forma z=a+bi unde a,b ∊ R,iar i²=1. ∗a- partea reală ∗a = Rez ∗bi- partea imaginară ∗bi = Imz → b= coeficientul părţii imaginare → i= unitate imaginară

7. Reprezentareaîn plan z= a+bi ∊ ℂ A (a,b) Afixulpunctului “a” ? Punctul din plan corespumzător numărului complex

8. Exemplu y 3 x Z= 3-4i —› A(3,-4) -4 A

9. Modululunuinumar complex Definiţie: z= a+bi ∊ ℂ atunci Observaţie: Modululunui număr complex reprezintădistanţa de la punctul plan corespunzător numărului complexpână la origineaaxelor.

10. Interpetarea geometrică a unui număr complex Z=a+bi—›(a,b) y ∆OAB T. M(B)=90 ˚ Pitagora : OA²=OB²+AB² OA²=a²+b² } b A B =»OA=IzI 0 a x

11. Proprietăţile modulului unui număr complex IzI∊ R (modululoricărui număr complex este număr real) IzI ≥ 0, z∊ℂ IzI=0; z=0 (a=0, b=0) Iz1*z2I = Iz1I * Iz2I, z1,z2∊ℂ Iz1/z2I = Iz1I/ Iz2I

12. E & M

13. Conjugatulunui număr complex Definiţie: Dându-se numărul complex z=a+bi, a,b∊ R, i²=-1, princonjugatullui z înţelegem un alt număr complex z care se află cu formula z=a-bi.

14. Exemplu Z1= 2+6i => Z1=2-6i Z2= -1-5i => Z2= -1+5i Z3= 8i => Z3=-8i Z4= 5 => Z4=5

15. Interpretarea geometrică a conjugatului y Z=a+bi -> A(a,b) Z=a-bi -> A(a,-b) b A x a -b B

16. 1.|z|=|z| |z|=√a²+b² |z|= √a²+(-b)²= √a²+b² 2. z+z'= z+ z‘ z-z‘= z - z‘ z*z‘= z * z‘ z/z‘= z / z‘ ; z‘ ≠ 0 3.Dacă z ∊ ℂ atunci z ∊ R ⇔ z=z 4. z*z=|z|² Proprietăţilenumerelor complexe conjugate

17. Operaţii cu numere complexe Fie z=-2+5i şi z’=4-3i 1.Adunarea z+z’=-2+5i+4-3i=2+2i 2.Scăderea z-z’=-2+5i-(4-3i)=-2+5i-4+3i z-z’=-6+8i 1 2 4 3 i

18. 3.Înmulţirea a) 3*z=3(-2+5i)=-6+15i b) -2z+4z’=-2(-2+5i)+4(4-3i)= =4-10i+16-12i= =20-22i c) z*z’=(-2+5i)(4-3i)= =-8+6i+20i-15i²= = 7+26i

19.  4.Împărţirea  z/z’= (-2+5i)/(4-3i ) se amplifică cu conjugatul în cazul nostru 4+3i =(4+3i)(-2+5i)/(4-3i)=(-8+20i-6i-15)/(16+9)= =14i-23/25= (-23/25)+(14i/25)  z’/z= (4-3i ) / (-2+5i) -se amplifică cu conjugatul în cazul nostru -2-5i z’/z=(4-3i)(-2-5i)=(-8-20i+6i+15i²)/29 =(-23-14i)/29= =(-23/29)-(14i/29) 

20. 5.Ridicarea la putere z²=? Se utilizeazăformulele: (a+b)²=a²+2ab+b²; (a-b)²=a²-2ab+b²; (a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³ (a-b)³=a³-3a²b+3ab²-b³ z’ ³=(4-3i)³ =4³-3 *4² * 3i+3*4*9i ² -3³i³ =64-144i-108-27i ³=-44-144i-27(-i) =-44-144i+27i= -44-114i z²=(-2+5i) ²=(5i-2) ² =25i²-20i+4=20i-21

21. 3 1 6 z Puterileluii iª= 1, dacă a=4*p; iª= i, dacă a=4*p+1; iª=-1, dacă a=4*p+2; iª=-i, dacă a=4*p+3; 4i 2 10 8

22. Ecuaţii de gradul al II-lea cu numerecomplexe Fie ax²+bx+c=0; a,b∊R,a≠0; Se calculează ∆=b²-4ac; Daca ∆<0=>x=x’∊ ℂ, conjugate x,x’=(-b+i√-∆)/2a;

23. Descompunereatrinomului de gradul al II-lea în produs de factori de gradul I F(x)=ax²+bx+c Se calculează rădăcinilex’,x’’ =>f(x)= ax²+bx+c=a(x-x’)(x-x’’) Scriereaecuaţiei de gradul al II-lea cunoscându-i rădăcinile Se daux’,x’’ ∊ ℂ Se cereecuaţia de gradul al II-lea Calculăm s=x’+x’’ p=x’*x’’ => Ecuatia x² -sx+p=0

24. E & M

25. Numerecomplexeîn formă trigonometrică y Dacă z=a+bi; a,b∊R, i²=-1 Z →A(a,b) r=|z|=√a²+b²; r≥0 t= (Ox,^OA); t= argumentulredus al numărului complex; t= arctg b/a+kπ; k=0 dacăt ∊ C1 k=1 dacă t ∊ C2 sau C3 k=2 dacă t ∊ C4 =>z=r(cos t + i sin t) Forma trigonometrică A b r x 0 a Obs: r=|z| r≥0 t=arg.z∊[0,2π) -r şi t se numesccoordonatepolare ale punctului “A”; r = raza polară; t=unghisau argument polar

26. Exemple Z=-1→A(-1,0) r=√a²+b²=√1=1; t=arctg 0/-1+kπ; k=1=>t=0+π= π z=r(cos t + isint ); z=cosπ + isinπ. y t x 0 A

27. Operaţii cu numerecomplexe în formă trigonometrică Înmultirea z’=r’(cost’+isin t’); r’≥0; t’∊[0,2π) z’’=r’’(cost’’+isin t’’); r’’≥0; t’’∊[0,2π) z’*z’’=r’*r’’[cos(t’+t’’)+isin(t’+t’’)]; r’*r’’≥0, t’+t’’∊[0,2π) 2. Ridicarea la putere Dacă z=r(cos t + isin t); r≥0, t ∊[0,2 π), a ∊ N* => => zª=rª(cos at + isin at); rª≥0, at ∊[0,2 π)

28. 3. Formula luiMoivre -este un caz particular al ridicării la puterepentrusituaţia când r=1=> z=cos t +i sin t (cost+i sin t)ª=cos at +i sin at; 4. Împărţirea z’=r’(cost’+isin t’); r’≥0; t’∊[0,2 π) z’’=r’’(cost’’+isin t’’); r’’≥0; t’’∊[0,2 π) z’/z’’=r’/r’’[cos(t’-t’’)+i sin(t’-t’’)]

29. Utilizareanumerelor complexeîn realitate Numerelecomplexe se utilizeazăîn circuiteleelectrice de curentalternativ.

30. Teste de verificare Văpropunemniştetestepentruverificareacunoştiinţelor: 1.Testul Nr.13.Fişa de lucru Nr.1 2.Testul Nr.24. Fişa de lucru Nr.2

31. Realizat de: Magdalena Apetrii Elena Ciocan • E & M