1 / 89

Del 2 Grafisk databehandling forts.

Del 2 Grafisk databehandling forts. y. d x. x. x ´. ( x, y ). P = , P ´ = , T =. y. y ´. d y. d y. ( x ´ , y ´). d x. x. 2D Transformasjoner (s. 51 i VTK boken) Translasjon. x ´ = x + d x , y ´ = y + d y. På matriseform:. P ´ = P + T. y. s x. 0. S =.

eaton-hebert
Download Presentation

Del 2 Grafisk databehandling forts.

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Del 2Grafisk databehandling forts.

  2. y dx x x´ (x, y) P = , P´= , T = y y´ dy dy (x´, y´) dx x 2D Transformasjoner (s. 51 i VTK boken)Translasjon x´ = x + dx , y´ = y + dy På matriseform: P´= P + T IN229 / V03 / Dag 6

  3. y sx 0 S = sy 0 x Skalering x´ = sx · x, y´ = sy ·y På matriseform: P´= S · P IN229 / V03 / Dag 6

  4. y  x Rotasjon x´ = x ·cos – y ·sin, y´ = x ·sin + y ·cos På matriseform: cos –sin R = sin cos P´= R · P IN229 / V03 / Dag 6

  5. Problem Translasjon: P´= T + P Addisjon! Skalering: P´= S · P Rotasjon: P´= R · P • Ønsker å behandle alle transformasjoner som matrisemultiplikasjon • Løsning: Innfør homogene koordinater! IN229 / V03 / Dag 6

  6. Homogene koordinater • Legg til en tredje koordinat: (x, y, w) • Regel 1: To punkter er like hvis de er et multippel av hverandre (punktet (10, 4, 2) er det samme som (5, 2, 1)). • Regel 2: Punktet (0, 0, 0) er ikke tillatt. • Regel 3: Hvis w 0 kan vi dividere med w og få ut punktets “kartesiske koordinater” x/w og y/w (dvs. de som tegnes på skjermen!) Homogene koordinater er også nyttige for 3D2D projeksjoner (gjennomgås senere). IN229 / V03 / Dag 6

  7. 1 0 dx y T(dx, dy) = 0 1 dy 0 0 1 (x, y) x´ = x + dx dy y´ = y + dy (x´, y´) dx x Translasjon x´ 1 0 dx x y´ y = · 0 1 dy 1 0 0 1 1 w P´= T(dx, dy) · P IN229 / V03 / Dag 6

  8. y x Skalering sx 0 0 x´ = sx · x sy S(sx,sy) = 0 0 y´ = sy · y 0 0 1 sx x´ x 0 0 sy y´ y 0 0 = · 1 1 0 0 1 P´= S(sx,sy) · P IN229 / V03 / Dag 6

  9. y  x Rotasjon cos –sin 0 x´ = x ·cos – y ·sin R() = sin cos 0 y´ = x ·sin + y ·cos 0 0 1 cos –sin 0 x´ x sin cos 0 y´ y = · 1 1 0 0 1 P´= R() · P IN229 / V03 / Dag 6

  10. Påfølgende transformasjoner av samme typeTranslasjon y P´ = T(dx1,dy1)· P P´´= T(dx2,dy2)· P´ P´´= T(dx2,dy2)· (T(dx1,dy1)· P) = (T(dx2,dy2)· T(dx1,dy1))· P = T(dx1+ dx2, dy1+ dy2)· P P P´´ 1 0 dx2 1 0 dx1 1 0 dx1 + dx2 P´ · = 0 1 dy2 0 1 dy1 0 1 dy1 + dy2 0 0 1 0 0 1 0 0 1 x Translasjon er kommutativt - rekkefølgen likegyldig! IN229 / V03 / Dag 6

  11. Skalering P´ = S(sx1,sy1)· P P´´= S(sx2,sy2)· P´ P´´= S(sx2,sy2)· (S(sx1,sy1)· P) = (S(sx2,sy2)· S(sx1,sy1))· P = S(sx1· sx2, sy1· sy2)· P sx2 0 0 sx1 0 0 sx1· sx2 0 0 · = 0 sy2 0 0 sy1 0 0 sy1· sy2 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 Skalering er også kommutativt! IN229 / V03 / Dag 6

  12. Rotasjon Oppgave! IN229 / V03 / Dag 6

  13. cos –sin 0 0 sin cos 0 0 1 Påfølgende transformasjoner av ulik type • R() roterer et punkt P om origo. • Hvordan kan vi rotere P om et vilkårlig punkt P1? • Løsning: Translater P1 til origo, rotér og translater tilbake! y y y y P1 P1  x x x x x1 –x1 1 0 1 0 y1 –y1 · · T(x1, y1) · R() · T(–x1, –y1) = 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 cos –sin x1(1 – cos) + y1sin y1(1 – cos) + x1sin = sin cos 0 0 1 IN229 / V03 / Dag 6

  14. x1 1 0 0 sx 0 y1 0 1 0 0 sy 0 0 1 0 0 1 Eksempel 2 - skalering om et vilkårlig punkt y y y y P1 P1 x x x x –x1 1 0 –y1 T(x1, y1) · S(sx, sy) · T(–x1, –y1) = · · 0 1 0 0 1 sx 0 x1(1 – sx) sy y1(1 – sy) = 0 0 0 1 IN229 / V03 / Dag 6

  15. M1 M2 Translasjon Translasjon Skalering Skalering Rotasjon Rotasjon Uniform skalering (sx = sy) Rotasjon Kommutativitet - oppsummering • La M1 og M2 representere hver sin basale transformasjon. • M1 og M2kommuterer (M1 · M2= M2 · M1) i følgende tilfeller: IN229 / V03 / Dag 6

  16. Inverse transformasjoner • T(dx, dy)–1 = T(–dx, –dy) • S(sx, sy)–1 = S(1/sx, 1/sy) • R()–1 = R(–) IN229 / V03 / Dag 6

  17. Påfølgende translasjoner og rotasjonerbevarer lengde! P2 P1´ R · T · T · R · T · R ·R · ... · T P2´ P1 P1P2 = P1´P2´ IN229 / V03 / Dag 6

  18. 3D Transformasjoner • Generalisering av 2D transformasjoner! (Samme regler for påfølgende transformasjoner, inverser etc.) IN229 / V03 / Dag 6

  19. 1 0 0 dx 0 1 0 dy 0 0 1 dz 0 0 0 1 Translasjon T(dx, dy , dz) = T(dx, dy, dz)· [x, y, z, 1]T = [x + dx, y + dy, z + dz, 1]T IN229 / V03 / Dag 6

  20. Skalering sx 0 0 0 sy 0 0 0 S(sx, sy , sz) = sz 0 0 0 0 0 0 1 S(sx, sy, sz)· [x, y, z, 1]T = [sx·x, sy·y, sz·z, 1]T IN229 / V03 / Dag 6

  21. Rotasjonsretning og høyrehåndskoordinater Rotasjonsakse z y (vekk fra publikum!) z Positiv rotasjon y z x y x x IN229 / V03 / Dag 6

  22. 0 –1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 Rotasjon om z aksen 2D rotasjonen som vi har sett på tidligere, R(),er egentlig en 3D rotasjon om z aksen! cos –sin 0 0 z sin cos 0 0 Rz() = y 0 0 1 0 0 0 0 1  x Kontroll: Rotér[1, 0, 0, 1]T90°: · = IN229 / V03 / Dag 6

  23. 0 0 0 1 Rx() = cos –sin 0 0 sin cos 0 0 0 0 0 1 cos sin 0 0 0 1 0 0 Ry() = –sin cos 0 0 0 0 0 1 Rotasjon om x og y aksen IN229 / V03 / Dag 6

  24. y y P3 x x z z P2 P3 P1 P1 P2 Eksempel • Steg 1: Translater P1 til origo • Steg 2: Rotér om y aksen slik at P1P2 ligger i yz planet. • Steg 3: Rotér om x aksen slik at P1P2 ligger på z aksen. • Steg 4: Rotér om z aksen slik at P1P3 ligger i yz planet. IN229 / V03 / Dag 6

  25. 1 0 0 –x1 0 1 0 –y1 T(–x1, –y1, –z1) = 0 0 1 –z1 y 0 0 0 1 x z P3´ Steg 1: Translater P1 til origo. P2´ P1 P1´ 0 0 P1´ = T(–x1, –y1, –z1)· P1 = 0 1 x2 – x1 x3 – x1 y2 – y1 y3 – y1 P2´ = T(–x1, –y1, –z1)· P2 = P3´ = T(–x1, –y1, –z1)· P3 = z2 – z1 z3 – z1 1 1 IN229 / V03 / Dag 6

  26. x2´ z2´ z2 – z1 cos(– 90) = sin = = D1 D1 D1 x2 – x1 sin(– 90) = – cos = – = – D1 Rotasjonsvinkelen er –(90 – ) = – 90. y Videre har vi at Steg 2: Rotér om y aksen slik at P1P2 ligger i yz planet. P2´´ P2´(x2´, y2´, z2´) x D1  der z (x2´, 0, z2´) D1 = (z2´)2 + (x2´)2 = (z2 – z1)2 + (x2 – x1)2 Ved å substituere disse verdiene inn i Ry( – 90) får vi som forventet P2´´ = Ry( – 90) ·P2´ = [0 y2 – y1 D1 1]T IN229 / V03 / Dag 6

  27. y2´´ z2´´ D2 D2 Rotasjonsvinkelen er , og y cos = , sin = y2´´ der Steg 3: Rotér om x aksen slik at P1P2 ligger på z aksen. P2´´ D2 D2 =P1´´P2´´ = P1P2  x P2´´´ z2´´ z = (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2 + (z2 – z1)2 Resultatet blir igjen som forventet P2´´´ = Rx()·P2´´ = Rx()·Ry( – 90) ·P2´ = Rx()·Ry( – 90) ·T(–x1, –y1, –z1) ·P2 = [0 0 P1P21]T IN229 / V03 / Dag 6

  28. y3´´´ x3´´´ D3 D3 Rotasjonsvinkelen er , og y cos  = , sin  = y3´´´ P3´´´  der Steg 4: Rotér om z aksen slik at P1P3 ligger i yz planet. D3 D3 = (x3´´´)2 + (y3´´´)2 x3´´´ x z Den totale transformasjonen blir: Rz()·Rx()·Ry( – 90) ·T(–x1, –y1, –z1) IN229 / V03 / Dag 6

  29. y x z y z x Projeksjon • Å avbilde noe ned på færre antall dimensjoner • 3D2D projeksjon i grafisk databehandling • Avbilde objekter i objektrommet ned på bildeplanet i bilderommet IN229 / V03 / Dag 6

  30. Parallellprojeksjon • Bevarer parallelle linjer • Fjerne og nære objekter ser like store ut IN229 / V03 / Dag 6

  31. Perspektivprojeksjon • Bevarer ikke nødvendigvis parallelle linjer • Fjerne objekter ser mindre ut enn nære IN229 / V03 / Dag 6

  32. z y x Spesifikasjon av 3D syn(s. 46 i VTK-boka) Opp-vektor (VUP) y Syns-koordinat System Verdens-koordinat System (xmax, ymax) Fokuspunkt Kamera Posisjon x z (xmin, ymin) Synsutsnitt (Viewport) Bildeplan-normal / Projeksjonsretning IN229 / V03 / Dag 6

  33. Antar zk > 0 og zk > z ! Antar fokuspunkt i z = 0 ! zk 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 –1/zk 1 Transformasjonmatrisen Mper for perspektivprojeksjon x P (x, y, z) y xp P (x, y, z) z Pp(xp, yp, zp= 0) –z y P (x, y, z) yp x Pk (xk= 0, yk = 0, zk) z z zk –z xp zk x x x xp = = , = zk – z 1 – (z / zk) zk zk – z Mper = yp zk y y y yp = = , = zk – z 1 – (z / zk) zk zk – z IN229 / V03 / Dag 6

  34. zk x lim lim lim = x = 0 = 1 0 0 0 z0 zk– z zk0 zk0 0 1 0 0 0 0 0 0 x x x 0 0 –1/zk 1 1 – (z/zk) 1 – (z/zk) 1 – (z/zk) x x y y = Pp = Mper·P= z 0 w 1 1 – (z/zk) Ok! Kartesiske koordinater (som plottes på skjerm): (x/w, y/w, z/w) = (x/(1 – (z/zk)), y/(1 – (z/zk)), 0) Kontroll: x lim = x z ( parallell projeksjon!) zk IN229 / V03 / Dag 6

  35. Basisalgoritme, uten klipping, for 3D2D transformasjon med perspektivprojeksjon Steg 1: Multipliser punktene i det grafiske primitivet GP med syns-orienteringsmatrisenMorient definert som følger: 1.1: Translater origo i synskoordinat-systemet til origo i verdenskoordinat-systemet: T(dx, dy, dz) 1.2: Rotér synskoordinat-systemet slik at aksene sammenfaller med verdenskoordinat-systemet: R() ·R() ·R() Morient = R() ·R() ·R() ·T(dx, dy, dz) GP´ = Morient ·GP verdenskoordinater  synskoordinater! Steg 2: Multipliser punktene i GP´ med transformasjonsmatrisen Mper for perspektivprojeksjon. GP´´ = Mper·GP´ = Mper·Morient ·GP synskoordinater  bildeplan! IN229 / V03 / Dag 6

  36. x x = xmax z Problem 1 Projiserte x- og y-koordinater for store når opprinnelige x- og y-koordinater er store. IN229 / V03 / Dag 6

  37. lim =  zzk x 1 – (z/zk) Problem 2 Projiserte x- og y-koordinater for store når z nærmer seg zk: x z Eksempel: z = zk z IN229 / V03 / Dag 6

  38. Klipping Fjerning av de delene av et grafisk primitiv som faller utenfor et område. IN229 / V03 / Dag 6

  39. Antar zk > 0 og zk > zf og zf > zb ! Synsvolum y z y Front klippeplan x Bakre klippeplan x zb zf Pk (xk, yk, zk) z IN229 / V03 / Dag 6

  40. z = zf z = zk z 3D2D transformasjon med klipping Steg 1: Transformer GP fra 3D verdenskoordinater til 3D synskoordinater vha. Morient. Steg 2: Klipp GP mot synsvolumet. Steg 3: Transformer GP fra 3D synskoordinater til 2D synskoordinater (dvs. bildeplanet) vha. Mper. • Problem 1 løses automatisk! • Problem 2 løses ved å definere en minimumsavstand mellom kameraet og front-klippeplanet! Eksempel: IN229 / V03 / Dag 6

  41. Antar fra nå av at de grafiske primitivene er polygoner Skjulte flater(s. 61 i VTK-boka) y Ok! x z IN229 / V03 / Dag 6

  42. “Painter’s algorithm” - enkel variant Steg 1: Sorter polygonene i henhold til punktet med lavest (fjernest) z-verdi. Steg 2: Tegn (rasteriser) polygonene “back to front” rekkefølge, dvs. først det med lavest z-verdi, så det med nest-lavest z-verdi osv. Problem: Polygoner som overlapper i z-retning: IN229 / V03 / Dag 6

  43. “Painter’s algorithm” - utvidelse Steg 0: Splitt opp polygoner som overlapper i z-retning! Problem: Tar ekstra tid og plass! IN229 / V03 / Dag 6

  44. Z-buffer algoritmen • Behandler alle polygonene i synsvolumet (etter at de er klippet mot dette). • Bak-klippeplanet gis z-verdi 0. • Front-klippeplanet gis z-verdi zmax. • Polygonene gis z-verdier relativt til 0 og zmax. • I hvert pixel lagres z-verdien 0. • Hvert pixel farges med bakgrunnsfargen. IN229 / V03 / Dag 6

  45. Algoritmisk: for <hvert polygon> do for <hvert pixel i polygonets projeksjon> do z = <avstanden fra bildeplanet til polygonet gjennom pixelet> if <z >= pixelets z-verdi> then <pixelets nye z-verdi = z> <pixelets nye farge = polygonets farge (i dette pixelet)> fi od od IN229 / V03 / Dag 6

  46. 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 5 5 5 5 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 5 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 5 5 5 5 5 5 0 5 5 5 5 5 5 0 0 3 5 5 5 5 5 0 0 0 4 3 5 5 5 5 5 0 0 0 0 5 4 3 6 5 3 5 5 5 0 0 0 0 0 6 5 4 3 7 6 5 4 3 5 5 0 0 0 0 0 0 7 6 5 4 3 8 7 6 5 4 3 5 0 0 0 0 0 0 0 8 7 6 5 4 3 0 0 0 0 0 0 0 0 a) = + b) = + IN229 / V03 / Dag 6

  47. 0 Vurdering av z-buffer algoritmen • Hovedfordel: Enkel og rask (ingen forhåndssortering nødvendig etc.). • Ulempe 1: Krever ekstra minne. • Ulempe 2: Kan fungere dårlig hvis avstanden mellom front- og bak-klippeplanet er for stort: Samme z-buffer verdi! FKP BKP z zmax zi+1 zi 1 • Løsning: • Øk oppløsningen på z-bufferet (antall bit pr pixel) (avveining mellom ulempe 1 og 2), og/eller • Reduser avstanden mellom front- og bak-klippeplanene. IN229 / V03 / Dag 6

  48. Hvordan finne z-verdien i et pixel for et polygon? z-verdi = ? IN229 / V03 / Dag 6

  49.  Finn et uttrykk for projeksjonslinjen gjennom pixelet.  Finn et utrykk for planet som polygonet ligger i.  Finn z-verdien ved å skjære  og !  Uttrykk for projeksjonslinjen gjennom pixelet. y Parametrisk: Pp(xp, yp, 0) Pk + t (Pp – Pk) , t 0 x = t xp y = t yp z = (1 – t) zk , t 0 x z Pk (0, 0, zk) IN229 / V03 / Dag 6

  50.  Uttrykk for planet som polygonet ligger i. Tre punkter i polygonet som ikke ligger langs samme linje Kryssprodukt Punkt i polygon Normal Prikkprodukt  = 90° Ligning for planet IN229 / V03 / Dag 6

More Related