Triangles rectangles I. Médiatrice d’un triangle et cercle circonscrit a) Médiatrice d’un segment

1. Triangles rectanglesI.Médiatrice d’un triangle et cercle circonscrita)Médiatrice d’un segment Définition La médiatrice d’un segment est constituée de tous les points équidistants des extrémités de ce segment

2. Propriété La médiatrice d’un segment est une droite, c’est la droite qui passe par le milieu du segment et qui lui est perpendiculaire

3. b.Médiatrices d’un triangle Définition Une médiatrice dans un triangle est la médiatrice d’un côté. Propriété Il y a 3 médiatrices dans un triangle. • Propriété • Les trois médiatrices d’un triangle sont concourantes en même point.

4. c.Cercle circonscrit Propriété Il existe un cercle passant par les trois sommets d’un triangle, son centre est le point d’intersection des 3 médiatrices Définition Le cercle passant par les trois sommets d’un triangle est appelé cercle circonscrit au triangle. Le point d’intersection des trois médiatrices est appelé centre du cercle circonscrit au triangle. Pour tracer le cercle circonscrit à un triangle, il suffit de tracer 2 médiatrices pour déterminer le centre du cercle.

5. II.Triangle rectangle et cercle circonscrit Propriété Si un triangle est rectangle Alors • Le milieu de l’hypoténuse est le centre du cercle circonscrit • L’hypoténuseestun diamètre du cercle circonscrit • La longueur de la médiane issue de l’angle droit vaut la moitié de la longueur de l’hypoténuse

6. Propriété Si un triangle est inscrit dans un cercle dont le diamètre est l’un des côtés Alors le triangle est rectangle et son hypoténuse est le diamètre Propriété Si dans un triangle, la longueur de la médiane issue d’un sommet vaut la moitié de la longueur du côté opposé Alors le triangle est rectangle

7. IIIApplications • a.Montrer qu’un point est sur un cercle ABC triangle tel que BC = 4 cm I milieu de [BC]. Prouver que le cercle de diamètre [BC] passe par le point A. Calculer IA. Données: Propriété Or la somme des angles d’un triangle vaut 180° Conclusion Donc ABC rectangle en A

8. Données ABC triangle rectangle en A Propriété Si un triangle est rectangle Alors l’hypoténuse est un diamètre du cercle circonscrit Conclusion Donc le cercle circonscrit à ABC est de diamètre [BC] donc A est sur ce cercle

9. Données ABC triangle rectangle en A (IA) médiane issue de A Propriété Or si un triangle est rectangle Alors la longueur de la médiane issue de l’angle droit vaut la moitié de la longueur de l’hypoténuse Conclusion donc IA = BC/2 = 2cm

10. b.Démontrer que 2 droites sont perpendiculaires. ABC triangle, C cercle de diamètre [AB] coupe (BC) en H Démontrer que (AH) (BC) Données C cercle circonscrit à ABH de diamètre [AB] Propriété Si un triangle est inscrit dans un cercle dont le diamètre est l’un des côtés Alors le triangle est rectangle et son hypoténuse est le diamètre Conclusion Donc ABH triangle rectangle en H et (AH) (BC)

11. IV.Tangente à un cercle Un cercle coupe une droite en 0, 1 ou 2 points. OH est la distance du centre du cercle à la droite R est le rayon du cercle OH>R OH=R OH<R 1 point d’intersection La droite est tangente au cercle 2 points d’intersection Aucun point d’intersection