Ciudad de Könisberg, Prusia, en XVIII:

1. Ciudad de Könisberg, Prusia, en XVIII:

2. Ciudad de Könisberg, Prusia, en XVIII: ¿Sería posible dar un paseo pasando por cada uno de los siete puentes, sin repetir ninguno, comenzando y terminando en el mismo lugar?

3. Ciudad de Könisberg, Prusia, en XVIII: ¿Sería posible dar un paseo pasando por cada uno de los siete puentes, sin repetir ninguno, comenzando y terminando en el mismo lugar?

4. Ciudad de Könisberg, Prusia, en XVIII: (nombre antiguo de la actual ciudad de Kaliningrado, Rusia.) ¿Sería posible dar un paseo pasando por cada uno de los siete puentes, sin repetir ninguno, comenzando y terminando en el mismo lugar?

5. Ciudad de Könisberg, Prusia, en XVIII: ¿ Sería posible armar un circuito que pase por todas las aristas una sola vez?

6. Euler La solución de Euler: En 1736, el matematico suizo Leonhard Euler dijo q NO

7. Grafos eulerianos • Un circuito C en un grafo G (o multigrafo) es un circuito euleriano si C pasa por todos las aristas de G una única vez. • Un grafo G se dice que es euleriano, cuando posee un circuito euleriano • Un camino euleriano es un camino que recorre todas las artistas de G pasando una única vez por cada una ¿Cuando G es euleriano?

8. Algunos ejemplos • ¿Es único? ¿Importa por dónde empezamos a armar el circuito? b c b c a d a d

9. Algunos ejemplos • ¿Es único? ¿Importa por dónde empezamos a armar el circuito? b c b c a d a d

10. Algunos ejemplos • ¿Es único? ¿Importa por dónde empezamos a armar el circuito? b c b c a d a d

11. Algunos ejemplos • ¿Es único? ¿Importa por dónde empezamos a armar el circuito? b c b c a d a d

12. Algunos ejemplos • ¿Es único? ¿Importa por dónde empezamos a armar el circuito? b c b c a d a d

13. Algunos ejemplos • ¿Es único? ¿Importa por dónde empezamos a armar el circuito? b c b c a d a d

14. Algunos ejemplos • ¿Es único? ¿Importa por dónde empezamos a armar el circuito? b c b c a d a d

15. Algunos ejemplos • ¿Es único? ¿Importa por dónde empezamos a armar el circuito? b c b c a d a d

16. Algunos ejemplos • ¿Es único? ¿Importa por dónde empezamos a armar el circuito? b c b c a d a d

17. Algunos ejemplos • ¿Es único? ¿Importa por dónde empezamos a armar el circuito? b c b c a d a d

18. Algunos ejemplos • ¿Si tenemos un circuito euleriano, qué podemos decir del grado de los vértices?

19. Algunos ejemplos • ¿Si tenemos un circuito euleriano, qué podemos decir del grado de los vértices? V0 .….. V0 …… V0 ….. V0

20. Algunos ejemplos • ¿Si tenemos un circuito euleriano, qué podemos decir del grado de los vértices? • Todos los vértices tienen grado par! Condición necesaria • ¿Es suficiente?

21. Condición necesaria y suficiente Teorema(Euler 1736): Un grafo G (o multigrafo) conexo es euleriano si y sólo si todos sus nodos tienen grado par.

22. Condición necesaria y suficiente Teorema(Euler 1736): Un grafo G (o multigrafo) conexo es euleriano si y sólo si todos sus nodos tienen grado par. Demo: (Ida). Si es euleriano, entonces todos sus vértices tienen grado par. ejercicio!

23. Condición necesaria y suficiente Teorema(Euler 1736): Un grafo G (o multigrafo) conexo es euleriano si y sólo si todos sus nodos tienen grado par. Demo: (vuelta) Si todos sus vértices tienen grado par, entonces es euleriano

24. Condición necesaria y suficiente Teorema (Euler 1736): Un grafo G (o multigrafo) conexo es euleriano si y sólo si todos sus nodos tienen grado par. Construcción parcial del circuito Grafo G’ con las condiciones del Teorema

25. Condición necesaria y suficiente Teorema(Euler 1736): Un grafo G (o multigrafo) conexo es euleriano si y sólo si todos sus nodos tienen grado par. Construcción parcial del circuito Grafo G’ con las condiciones del Teorema

26. Condición necesaria y suficiente Teorema (Euler 1736): Un grafo G (o multigrafo) conexo es euleriano si y sólo si todos sus nodos tienen grado par. Construcción parcial del circuito Grafo G’ con las condiciones del Teorema

27. Condición necesaria y suficiente Teorema (Euler 1736): Un grafo G (o multigrafo) conexo es euleriano si y sólo si todos sus nodos tienen grado par. Construcción parcial del circuito Grafo G’ con las condiciones del Teorema

28. Condición necesaria y suficiente Teorema(Euler 1736): Un grafo G (o multigrafo) conexo es euleriano si y sólo si todos sus nodos tienen grado par. Construcción parcial del circuito Grafo G’ con las condiciones del Teorema

29. Condición necesaria y suficiente Teorema (Euler 1736): Un grafo G (o multigrafo) conexo es euleriano si y sólo si todos sus nodos tienen grado par. C1 C1 Construcción parcial del circuito Grafo G’ con las condiciones del Teorema

30. Condición necesaria y suficiente Teorema (Euler 1736): Un grafo G (o multigrafo) conexo es euleriano si y sólo si todos sus nodos tienen grado par. G’ C1 Construcción parcial del circuito Grafo G’ con las condiciones del Teorema

31. Condición necesaria y suficiente Teorema (Euler 1736): Un grafo G (o multigrafo) conexo es euleriano si y sólo si todos sus nodos tienen grado par. G’ C1 Construcción parcial del circuito Grafo G’ con las condiciones del Teorema

32. Condición necesaria y suficiente Teorema (Euler 1736): Un grafo G (o multigrafo) conexo es euleriano si y sólo si todos sus nodos tienen grado par. G’ Construcción parcial del circuito Grafo G’ con las condiciones del Teorema

33. Condición necesaria y suficiente Teorema (Euler 1736): Un grafo G (o multigrafo) conexo es euleriano si y sólo si todos sus nodos tienen grado par. G’ Construcción parcial del circuito Grafo G’ con las condiciones del Teorema

34. Condición necesaria y suficiente Teorema(Euler 1736): Un grafo G (o multigrafo) conexo es euleriano si y sólo si todos sus nodos tienen grado par. G’ Construcción parcial del circuito Grafo G’ con las condiciones del Teorema

35. Condición necesaria y suficiente Teorema(Euler 1736): Un grafo G (o multigrafo) conexo es euleriano si y sólo si todos sus nodos tienen grado par. G’ C2 C2 Construcción parcial del circuito Grafo G’ con las condiciones del Teorema

36. Condición necesaria y suficiente Teorema (Euler 1736): Un grafo G (o multigrafo) conexo es euleriano si y sólo si todos sus nodos tienen grado par. G’ Construcción parcial del circuito Grafo G’ con las condiciones del Teorema

37. Condición necesaria y suficiente Teorema (Euler 1736): Un grafo G (o multigrafo) conexo es euleriano si y sólo si todos sus nodos tienen grado par. G’ C1 U C2 Construcción parcial del circuito Grafo G’ con las condiciones del Teorema

38. Condición necesaria y suficiente Teorema(Euler 1736): Un grafo G (o multigrafo) conexo es euleriano si y sólo si todos sus nodos tienen grado par. G’ Construcción parcial del circuito Grafo G’ con las condiciones del Teorema

39. Condición necesaria y suficiente Teorema (Euler 1736): Un grafo G (o multigrafo) conexo es euleriano si y sólo si todos sus nodos tienen grado par. G’ Construcción parcial del circuito Grafo G’ con las condiciones del Teorema

40. Condición necesaria y suficiente Teorema (Euler 1736): Un grafo G (o multigrafo) conexo es euleriano si y sólo si todos sus nodos tienen grado par. G’ Construcción parcial del circuito Grafo G’ con las condiciones del Teorema

41. Condición necesaria y suficiente Teorema (Euler 1736): Un grafo G (o multigrafo) conexo es euleriano si y sólo si todos sus nodos tienen grado par. G’ Construcción parcial del circuito Grafo G’ con las condiciones del Teorema

42. Condición necesaria y suficiente Teorema (Euler 1736): Un grafo G (o multigrafo) conexo es euleriano si y sólo si todos sus nodos tienen grado par. G’ Construcción parcial del circuito Grafo G’ con las condiciones del Teorema

43. Condición necesaria y suficiente Teorema(Euler 1736): Un grafo G (o multigrafo) conexo es euleriano si y sólo si todos sus nodos tienen grado par. G’ Construcción parcial del circuito Grafo G’ con las condiciones del Teorema

44. Condición necesaria y suficiente Teorema (Euler 1736-Hierholzer1973): Un grafo G (o multigrafo) conexo es euleriano si y sólo si todos sus nodos tienen grado par. G’ C Construcción parcial del circuito Grafo G’ con las condiciones del Teorema

45. Algoritmo Hierholzer • G= (V,E) conexo, C=Ǿ, G=G’ • C’ := armar un circuito en G’ a partir de v0 • C= C U C’ • G' := (V, E=E- aristas de C) • v0 := un vértice de C tal que d(v0) > 0 en G' • Mientras E no se vacío, volver a 2 • Retornar C C’, ciclo en G’ C C es un circuito euleriano entre las aristas que no están en G’

46. Recordar justificar los invariantes C := armar un circuito a partir de v0 ¿Por qué siempre existe?

47. Recordar justificar los invariantes C := armar un circuito a partir de v0 ¿Por qué siempre existe? Como los grados de los vértices son par y se le está sacando a cada vértice una cantidad par de aristas incidentes en cada iteración, los grados continúan siendo par en cada C.C (invariante) y siempre que puedo llegar al vértice, puedo salir

48. Recordar justificar los invariantes C := armar un circuito a partir de v0 ¿Por qué siempre existe? Como los grados de los vértices son par y se le está sacando a cada vértice una cantidad par de aristas incidentes en cada iteración, los grados continúan siendo par en cada C.C (invariante) y siempre que puedo llegar al vértice, puedo salir C= C U C’ ¿Por qué C es un circuito que no repite aristas, cómo lo recorro?

49. Recordar justificar los invariantes C := armar un circuito a partir de v0 ¿Por qué siempre existe? Como los grados de los vértices son par y se le está sacando a cada vértice una cantidad par de aristas incidentes en cada iteración, los grados continúan siendo par en cada C.C (invariante) y siempre que puedo llegar al vértice, puedo salir C= C U C’ ¿Por qué C es un circuito que no repite aristas, cómo lo recorro? Como C y C’ tienen intersección en un vértice v0, empezamos en v0, recorremos C, que no repite aristas (invariante) y luego recorremos C’,que es un circuito simple con aristas de G’, es decir, aristas que no están en C. Cuando termina, C es un circuito que no repite aristas y contiene TODAS las aristas de G, ie. es euleriano

50. Recordar justificar los invariantes v0 := un vértice de C tal que d(v0) > 0 en G' ¿Por qué siempre existe? • Si hay vértices de G que no están en C, entonces hay un camino de ese vértice a C, porque G es conexo • Si todos los vértices de G son alcanzados por C, y G’ tiene aristas, tomamos un extremo de una arista. Nota: Esto se puede encuadrar en un esquema de inducción en “m”, teniendo en cuenta estos invariantes.