ANÁLISE DE SÉRIES TEMPORAIS ECONÔMICAS

1. ANÁLISE DE SÉRIES TEMPORAIS ECONÔMICAS Prof. Henrique Dantas Neder – Universidade Federal de Uberlândia

2. Processos Estocásticos Definição: Seja T um conjunto arbitrário. Um processo estocástico é uma família tal que, para cada é uma variável aleatória. Um processo estocástico é uma família de variáveis aleatórias.

3. O processo estocástico Está completamente especificado se conhecermos as funções de distribuição para todo

4. Processos estocásticos estacionários é Um processo estocástico estritamente estacionáriose todas as funções de distribuições permanecem as mesmas no decorrer do tempo, ou seja, para quaisquer t1,...,tn,

5. Processo estocástico estacionário Todas as distribuições univariadas são invariantes no tempo: µ(t)=µ,V(t)=σ2 paratodo Podemos também supor que µ=0 ou, de forma alternativa, considerar o processo {Z(t)-µ} Como

6. Processo estocástico estacionário Logo, em um processo estritamente estacionário, é uma função de um único argumento, ou seja, o valor da covariância depende apenas da defasagem temporal.

7. Processo estocástico fracamente estacionário Processo estacionário de 2a. ordem (ou em sentido amplo): 1) E{Z(t)}=µ(t)=µ, constante, para todo t Є T; 2) E{Z2(t)} < ∞; para todo t Є T; 3) é uma função de ׀t1 –t2׀

8. Autocorrelação É o coeficiente de correlação entre observações defasadas no tempo:

9. Autocorrelação onde as médias amostrais são: e

10. Autocorrelação Costuma-se simplificar a expressão anterior da seguinte forma: Já que e assumindo variância constante.

11. Autocorrelação A expressão anterior pode ser generalizada para k períodos de tempo (defasagem):

12. Séries aleatórias Se x1,x2,...,xn são i.i.d (independentes e identicamente distribuídas) então o coeficiente de autocorrelação amostral rk é assintoticamente normalmente distribuído com média e variância dados por:

13. Processo ruído branco - Stata * simulação de um processo ruído branco e um passeio aleatório drawnorm ruido, n(500) seed(500) gene tempo = _n tsset tempo twoway (tsline ruido) wntestq ruido

14. Simulação de um processo ruído branco – todas as variáveis Xt tem distribuição normal com média µ=0 e σ=1

15. Processo Passeio Aleatório - Stata set obs 500 gen int t = _n gen sumz = sum(invnorm(uniform())) tset t twoway (tsline sumz) O passeio aleatório é não estacionário. A sua especificação econométrica é: Yt=Yt-1+at, at~N(0,σ2)

16. Simulação de um processo passeio aleatório (“random walk”)

17. Processo Passeio Aleatório - Stata Ou um passeio aleatório com tendência: Yt=β0+Yt-1+at, at~N(0,σ2) Se β0, então em média, Yt aumenta. A melhor previsão da série para t+1 é Yt+β0. No modelo anterior, passeio aleatório sem tendência, a melhor previsão da série t+1 é Yt.

18. Processo Passeio Aleatório O modelo de passeio aleatório é uma caso especial do modelo AR(1) – auto-regressivo de primeira ordem: Yt=β1Yt-1+at, at~N(0,σ2) quando β1=1, o modelo AR é não estacionário e sua variância aumenta ao longo do tempo. Na equação Yt=Yt-1+at, at~N(0,σ2) Var(Yt) = Var(Yt-1)+Var(at) Para que Yt seja estacionário Var(Yt) = Var(Yt-1), mas para isto Var(at) = 0

19. Processo Passeio Aleatório Y0=0 , Y1=a1, Y2=a1+a2,Yt=a1+a2+...+at Var(Yt)=t.σ2 :a variância aumenta a medida que t aumenta. No caso de um modelo auto-regressivo de ordem p (AR(p)): Yt=β1Yt-1+β2Yt-2+...+βpYt-p+at, at~N(0,σ2) Para ser estacionário todas as raízes do polinômio 1-β1z-β1z2-...βpzp devem ser maiores do que 1 em valor absoluto.

20. Testes de raiz unitária – Dickey-Fuller Consideremos o modelo AR(1): Zt = θ1Zt-1+at , at~N(0,σ2) ΔZt = θ’1Zt-1+at θ’1 =θ1-1 H0 {θ’1 = 0 HÁ {θ’1 < 0

21. Testes de raiz unitária – Dickey-Fuller aumentado • O número de defasagens p pode ser obtido utilizando os critérios AIC (Akaike) ou Schwarz que veremos adiante. • A estatística ADF não tem distribuição normal, mesmo para amostras grandes.

22. Testes de raiz unitária – Dickey-Fuller aumentado use http://www.stata-press.com/data/r8/lutkepohl.dta tsset qtr twoway (tsline investment) dfuller investiment dfuller D.investment dfuller D.investment, lags(4) fitstat dfuller D.investment, lags(3) fitstat dfuller D.investment, lags(2) fitstat

23. Evolução temporal da série investimento – antiga Alemanha Ocidental

28. Testes de raiz unitária – Dickey-Fuller aumentado Com a seguinte seqüência de comandos Stata, verifique a estacionariedade de um passeio aleatório: set obs 500 gen int t = _n gen sumz = sum(invnorm(uniform())) tset t dfuller sumz dfuller D.sumz twoway (tsline D.sumz)

30. Evolução temporal da diferença de um passeio aleatório

31. Existem alguns problemas adicionais com relação a testes de • raiz unitária: • Eles tem baixo poder para discriminar entre uma raiz unitária • e um processo próximo de raiz unitária. • 2) Eles podem usar um conjunto inapropriado de regressores • determinísticos. • 3) Para os testes deve ser considerada a possibilidade de • quebra estrutural.

32. Os testes ADF devem considerar o seguinte conjunto de equações:

33. Operadores para séries temporais Operador translação para o passado BZt=Zt-1 BmZt=Zt-m Operador diferença ΔZt=Zt-Zt-1=(1-B)Zt Δ= 1 – B Operador soma SZt=

34. Modelos ARMA (Box-Jenkins) • ARMA(p,q)

35. Modelos ARMA (Box-Jenkins) • Filtro linear Ψ(B) Filtro linear at zt Zt=μ+at+ψ1at-1+ ψ2at-2+...=μ+ ψ(B) at Onde ψ(B)=1+ψ1B+ ψ2B2+...

36. Modelo ARMA(1,1) • Zt=0,8Zt-1+at-0,3at-1 • Simulação no Stata: • drawnorm a, n(50) seed(500) • gene tempo = _n • tsset tempo • set matsize 800 • gene z = 0 • mkmat a z,matrix(Z) • forvalues i = 2(1)50 { • matrix Z[`i',2]=.8*Z[`i'-1,2]+Z[`i',1]-.3*Z[`i'-1,1] • } • svmat Z, name(serie) • twoway (tsline serie2)

37. Função de autocorrelação parcial Seja um modelo autorregressivo AR(k): Temos assim as equações de Yule-Walker:

38. Equações de Yule-Walker

39. Função de autocorrelação parcial Resolvendo para k =1,2,3... Onde Pké a matriz de autocorrelações e Pk* é a matriz Pk com a última coluna substituída pelo vetor de autocorrelações(ver Morettin, 2004).

40. Modelos ARMA • Um processo AR(p) tem fac que decai de acordo com exponenciais e/ou senoides amortecidas, infinita em extensão; • Um processo MA(q) tem fac finita, com um corte após o lag q; • Um processo ARMA(p,q) tem fac infinita em extensão, que decai de acordo com exponenciais e/ou senoides amortecidas após o lag q-p

41. Modelos ARMA • Um processo AR(p) tem facp Økk≠0, para k≤p e Økk=0, para k >p; • Um processo MA(q) tem facp que se comporta de maneira similar à fac de um processo AR(p); • Um processo ARMA(p,q) tem facp que se comporta como a facp de um processo MA puro (ver Morettin, 2004)

42. Modelos ARMA Vamos simular no Stata diversos processos ARMA e verificar a sua fac e fapc. Para isto baixe o arquivo do-file: http://www.ecn26.ie.ufu.br/TEXTOS_ESTATISTICA/SIMULACAO%20ARMA.do

43. Modelos ARMA

44. Correlograma processo AR(1)

45. Correlograma processo MA(1)

46. Correlograma processo ARMA(1,1)

47. Identificação de modelos ARMA

48. Outras alternativas de identificação de modelos ARMA • Critério de informação de Akaike: onde: é a estimativa de máxima verossimilhança da variância dos resíduos do modelo ARMA(k,l) ajustado às N observações da série.

49. Outras alternativas de identificação de modelos ARMA • Critério de informação Bayesiano onde: é a estimativa de máxima verossimilhança da variância dos resíduos do modelo ARMA(k,l) ajustado às N observações da série.

50. Aplicação dos critérios AIC e BIC através do Stata- aplicados a série gdp diferenciada(produto interno bruto) dos EUA – Exemplo Gujarati