I have nothing to offer but blood , toil, tears , and sweat.

LHC: la macchina e il timing E. Scapparone Apr. 28, 2010 Scopo di questa lezione e’ cercare di farvi capire qualcosa ( non tutto ) su come Funziona LHC. Alla fine ( spero ) le frasi qui sotto non saranno piu’ un incubo….. e* b used ad ATLAS IP We have a kicker problem Strong focusing for LHC Double bacth injection @ PSB Scrubbing run “Two in one” dipole Avoid magnet quench I have nothing to offer but blood, toil, tears, and sweat. (W. Churchill - May 13, 1940)  Capire come funziona LHC non e’ semplicissimo, ma proviamoci

I NUMERI DELLA MACCHINA: • 2808 bunch costituiti da 1.15 *1011 protoni ciascuno; • 370 MJ per fascio (vedremo poi cosa significa); • 1232 dipoli da 8.3 T; • oltre 400 quadrupoli; • 0.58 A per fascio ( una corrente mostruosa  1 A = 1C/s ~ 1019 e-/s); • luminosita’ fino a 1034 cm-2 s-1; • energia nel centro di massa 14 TeV; • Luminosita’ 1034 cm-2 s-1; Perche’ non 15 TeV ? Perche non 1012 ppb, perche’ non 1035 cm-2s-1 ? Durante questa lezione, piu’ che elencare i numeri, cerchiamo di capire Quali siano i “constraint” che fissano questi numeri.

Energia & luminosita’ Parametro fondamentale della macchina: e’ quel numero che moltiplicato per la sezione d’urto dà il rate. Dipende dalla macchina e non dal tipo di processo studiato. E’ dato da una formula, ma va misurato ( prendo un processo ben calcolabile a livello teorico, misuro il rate e ottengo la luminosita’). Verra’ trattato in dettaglio nelle lezioni del Prof. Villa. Numero di bunch Frequenza di rivoluzione dei fasci L = (k * f * Nb1 * Nb2* F) / (eN * b*/gb) Numero di particelle Per bunch nel fascio 1(2) Comunemente si dice/scrive che al denominatore ci sono “le dimensioni trasverse dei fasci” E’ vero ma poi quando sono scritte in termini di emittanza e ampiezza di focheggiamento ? Quale e’ il significato intuitivo ? Ma perche’ Van der Meer ha preso un nobel per “raffreddare” gli antiprotoni e poi nella luminosita’ questo termine non compare ?

Senza raffreddamento stocastico  niente Zo all’ SppS. Se al denominatore ci sono le dimensioni trasverse del fascio (e solo quelle), dove compare il fatto che il fascio e’ freddo o caldo ? Ma cosa vuol dire che il fascio e’ freddo o caldo ? Centro di massa solidale al bunch Bunch dalla mia sedia in counting room 3/2 K T = ½ m <v2> I protoni hanno momenti non identici e quindi esiste una dispersione intorno al momento medio  analogia con la termodinamica. Un fascio e’ tanto piu’ freddo quanto piu’ le particelle che lo compongono hanno momento identico  QUESTA INFORMAZIONE DA QUALCHE PARTE DEVE COMPARIRE IN L

A Spostamento di A Rispetto a B B Differenza… MA ALLORA COSA E’ QUEL b*e al denominatore ??????? Cominciamo dall’inizio ( altrimenti non si capisce niente…..). Non e’ un corso di fisica degli acceleratori, ma non siamo neanche su “La Gaia scienza” di La7.. Le particelle in un acceleratore devono viaggiare su un’orbita chiusa. Per curvarle uso dei magneti detti “dipoli” ( F = q v X B). Problema: cosa succede se due protoni hanno stesso momento iniziale, stessa posizione iniziale, ma un angolo iniziale leggermente diverso ? start • Oscillazione di betatrone. E’ la base di tutte le oscillazioni trasverse in un acceleratore

E’ ovvio che devo focheggiare queste particelle…  QUADRUPOLI BX = - g*y; BY = -g*x , Bs = 0. Focheggio in una dimensione (x) e sfocheggio nell’altra (y)

verticale orizzontale longitudinale y s x Sistema di riferimento

Dobbiamo impostare le equazioni differenziali. r = p/qB Traiettoria stabile (Xd) 1) 2) 3) Mi sposto di un po’ d2x/dt2 = d(x’vs)/dt = ds/dt*d(x’vs)/ds = vs*x’’*vs = vs2*x’’ Xd Sottraggo 3) – 1) e divido per vs o

( ) 1 B’ + B0 Borr Quindi K(s) = = 1/r2 +B’/B0r K(x) = B’/B0r = g/B0r K(y) = 1/r2 +B’/B0r = 1/r2 -g/B0r EQUAZIONI DI HILLS Particella carica deflessa da un dipolo e focheggiata su x,y.

Funzione o ampiezza di betatrone b F(s) = ∫ ds/b(s) a= -b’/2 g=(1+a2)/b Soluzione dell’equazione e’ x = e* b(s) cos (f(s) +f0) x’= -ae/ b(s) cos (f(s) +f0) + e/ b(s) sin (f(s) +f0) Fase di betatrone Se adesso andate a plottare x verso x’ ( ma si puo’ fare anche matematicamente sostituendo ……) g=(1+a2)/b cos (f(s) +f0) = x/ e* b (s) x’= - ae/ b(s) *x/e* b(s) + e/ b (s) *sin(…..) x’+ ae/ b (s) *x/e* b (s) = e/ b (s) *sin(…..) x’2 + a2x2/b2 +2x’xa/b= eb(1-cos2(……))=e/b(1-x2/eb)= e/b-x2/b2 x’2+ x2(a2/b2+1/b2) + 2x’xa/b=e/b bx’2+ x2g2 + 2x’xa = e Equazione ellisse (conica), Con e costante b(s) x’(s)2 + 2x’(s)x(s) a(s) + x2(s)g(s)= e

ATTENZIONE: E’ NEL PIANO x, x’ = dx/ds. L’area di questo ellisse e’ pe e si misura in (m * rad) e nella realta’ in ( mm*mrad).

e/b(s) e *b(s) Muovendoci lungo l’orbita la forma dell’ellisse varia, sotto l’azione dei quadrupoli, ma la sua area resta costante ( teorema di Liouville). x’ x’ e*b(s) e/ b(s) x x ATTENZIONE: se sostituisco in x’’+K(s)x=0 le e,g, trovo che dato K(s), b(s) e’ determinato. b(s) rivela le caratteristiche significative delle traiettorie delle particelle del fascio. Le funzioni b sono due bx(s) e by(s)

Definizioni e e’ l’emittanza del fascio OK, ma cosa e’ eN ? Durante l’accelerazione il momento trasverso delle particelle non e’ modificato, la divergenza invece si x’ = p’/p (diminuisce). Allora definisco emittanza normalizzata la quantita’ eN = gbe, che e’ invariante durante l’accelerazione.

verticale orizzontale longitudinale y s x STABILITA’ DEI FASCI Supponiamo che la nostra particella si allontani dall’orbita stabilita nel piano orizzontale R Su x = R la forza e’ gmv2/R – q/cvBy Per “riportarla all’ordine” serve un campo B non uniforme, dotato di un gradiente tale che a una distanza r = R + x = R(1 + x/R)  By = BoY + (dBy/dx) x= Boy(1 + R/Boy* dBy/dx*x/R). Definisco n =-R/Boy (dBy/dx) e posso scrivere la forza come Fx = gmv2/r -qvBoy(1 - nx/R). Siccome 1/r ~ 1/(R(1+x/R)) ~ (1 –x/R)/R Fx = gmv2/R *(1-x/R) -qvBoy(1 - nx/R) = gmv2/R - gmv2/R*x/R –qvBoy + qvBoynx/R = = - gmv2x/R2 (1-n) = gmv2/R Se deve essere Fx < 0 allora deve essere 1-n<0  n<1

Supponiamo adesso che la particelle si allontani lungo l’orbita verticale verticale orizzontale longitudinale y s x Ci vuole una forza Fy=q/cvBx rot B =0, quindi dBx/dy = dBy/dx Bx = ∫ dBx/dy dy = ∫ dBy/dx dy = ∫ -nB0y/R dy = -n (Boy/R) y, Quindi Fy = - q/cv (Boy/R) y * n. Deve essere negativa, quindi n>0 Quindi 1 < n < 0  condizione di focheggiamento debole Si puo’ fare a LHC ? NO. Perche’ I magneti diventerebbero enormi. Col focheggiamento debole non si va oltre i sqrt(s) = 10 GeV. E ALLORA ? Cosmotron(3.3 GeV) http://www.bnl.gov/bnlweb/history/focusing.asp Cosmotron raggiunge il limite del focheggiamento debole. Una macchina a 33 GeV (fattore 10) peserebbe 100,000 ton. AGS (33 GeV)

COSMOTRON (3.3 GeV, 1950-1966)

Courant, Livingston and Snyder inventano il focheggiamento forte: Alternando magneti focheggianti e defocheggianti l’effetto netto e’ un focheggiamento globale. Equivalenza con l’ottica LHC 1 arco e’ costituito da 23 FODO cells. sestupolo ottupolo 23 x 110 x 8 = = 20240  85 % del ring di LHC

cos like x(s=0) ≠0 x’(s=0)=0 Ci sono infinite curve possibili, ma tutte sono dentro un “envelope” di dimensione sqrt(eb). Se mi metto a un certo azimuth e Aspetto, primo o poi vedo la Particelle passare per sqrt(eb) sin like x(0) = 0 x’(0)≠0 Molti giri dopo Dunque una parte importante del lavoro dei progettisti di un acceleratore e’ trovare Una configurazione dei magneti che dia un b(s) soddisfacente. In particolare dobbiamo Fare in modo di avere un “focheggiamento forte” ( = piccoli b).

envelope Se voglio alta luminosita’  piccole dimensioni trasverse  basso b

Purtroppo un collider con b basso ovunque, porta instabilita’ ( risonanze). L’idea di Robinson-Voss e’ stata quella di ritenere possibile la presenza nell’acceleratore di punti a basso b….nelle vicinanze del punto di interazione, lasciando il resto dell’acceleratore a b piu’ alti  LOW b INSERT.

Immaginate di “rompere” il lattice di un acceleratore e di mettere nell’inserto alcuni Magneti tali che la matrice di trasporto del fascio renda le (x,x’) all’ingresso = (x,x’) all’uscita. Stessa cosa per (y,y’). Un inserto del genere non altera il resto del fascio. Quindi serve un inserto con un forte “constraint”. Riprendiamo la soluzione delle equazioni di Hill. b(s) x’(s)2 + 2x’(s)x(s) a(s) + x2(s)g(s) = e Pongo b = z e suppongo e = e , z’’= -K(s)z +1/z3 X = z(s) e cos(F(s)+F0) X’ = z’ e cos ( ) – z e sin( ) F’ X’’ = z’’e cos( ) – z’ e sin()F’ – z’e sin() F’ – z ecos() F’2 – z e sin() F’’ Dall’equazione di Hill z’’e cos( ) – z’ e sin()F’ – z’e sin() F’ – z e cos() F’2 – z e sin() F’’ +K(s) z e cos()=0 z’’ –2 z’ tg ( )F’ – zF’2 – z tg( )F’’ +Kz =0 z’’ –2 z’ tg ( )/z2 – z/z4– ztg( )*-1/z4 +Kz =0 z’’ – 1/z3 +Kz = 0 E’ una identita’….

z’’ – 1/z3 +Kz = 0 b = z z’ = 1/2 * b-1/2b’ z’’ = ¼ * b-3/2b’2 + 1/2 b-1/2b’’ – ¼ * b-3/2b’2 + 1/2 b-1/2b’’–– 1/b3/2 +K b = 0 -1/4 b’2 + 1/2bb’’ +Kb2 = 1 • Se sono in un inserto con K(s) = 0 una soluzione e’ • = b0(1 + (s-s0)2/b02) (dimostrazione banale) Il minimo di b sta a s=s0 e vale b=b0. Notate che b va come s2/b02 tanto piu’ piccolo e’ b02, tanto piu’ velocemente Cresce b allontanandoci dal minimo. Il problema e’ che se chiediamo s grande perche’ dobbiamo mettere un esperimento (grosso) dove b e’ piccolo ( quindi non vogliamo magneti tra i piedi, quindi K(s) = 0, allora b immediatamente al di fuori del minimo diventa enorme.

~ 50 cm B enorme e’ un problema perche’ l’envelope del fascio diventa grande e quindi serve un quadrupolo grande dopo il punto di interazione. Non basta: se c’e’ un disturbo sull’orbita, questa si puo’ correggere (disturbed closed orbit). Il displacement dell’orbita e’ proporzionale a b

LHC in a nutshell

LHC lay-out C = 26658.90 m Arc = 2452.23 m DS = 2 x 170 m INS = 2 x 269 m Free space for detectors:  23 m

Si puo’ accelerare un protone da 0 a 7 TeV usando un unico anello ? • NO, e’ competamente inefficiente. Richiedere un’alta luminosita’ significa • chiedere alta brillanza e questo, come abbiamo visto e’ un problema a • basse energie. • Due step: • Il PSB inietta nel PS con due cicli anziche’ uno ( meta’ carica); • Il PSB inietta nel PS a 1.4 GeV, anziche’ 1 GeV. L’iniezione da un acceleratore ad un altro e’ una fase delicata. Si rischia Di “sporcare” l’emittanza del fascio. Si usano dei magneti con un ramp Estremamente veloce, chiamati in gergo “kicker”.

LHC acceleration system (RF) RF

gap Ripasso: In linea di principio si puo’ utilizzare una ddp per accelerare particelle. Ma Non si puo’ andare oltre una certa HV ( scariche, ). Wideröe (1928): applicare, al posto di un campo elettrico statico un campo oscillante con frequenza opportuna tale che la fase cambidurante il tempo di volo fra due gap successive Nessun dubbio sul fatto che E in un acceleratore circolare debba essere oscillante Altrimenti ho accelerazione nella gap, ma decelero dopo. V GND  problema: forte irraggiamento.

CAVITA’ A RADIOFREQUENZA la struttura accelerante consiste in una cavità risonante in cui viene accumulata l’energia di campi elettromagnetici RF. Come nei tubi a drift il campo elettrico deve essere sincronizzato con il fascio.

Structure 1: • Travelling wave structure: particles keep in phase with the accelerating waveform. • Phase velocity in the waveguide is greater than c and needs to be reduced to the particle velocity with a series of irises inside the tube whose polarity changes with time. • In order to match the phase of the particles with the polarity of the irises, the distance between the irises increases farther down the structure where the particle is moving faster. But note that electrons at 3 MeV are already at 0.99c. Structure 2: • A series of drift tubes alternately connected to high frequency oscillator. • Particles accelerated in gaps, drift inside tubes . • For constant frequency generator, drift tubes increase in length as velocity increases. • Beam has pulsed structure.

Set the oscillation frequency so that the period is exactly equal to one revolution period of the particle Con E piccola rispetta alla particella ideale)

C A p > p0 B p0 STABILITA’ DI FASE r O Abbiamo bisogno di un campo longitudinale. Quando una particella ha energia troppo alta viene curvata poco dai dipoli, quindi compie un’orbita piu’ lunga  arriva in ritardo rispetto alla particella ideale : By t Arriva con ddp minore  accelerata meno  E diminuisce In realta’ le cose funzionano in modo diverso a seconda del pezzo della sinusoide in cui lavoriamo……. ATTENTI ALLE TRANSIZIONI Una particelle con p>p0 sta su un path piu’ lungo ma e’ piu’ veloce, viceversa una con p<p0 a path piu’ corto ma e’ piu’ lenta…Come si Raggiunge stabilita’ in questo condizione ?

Motion in longitudinal plane What happens when particle momentum increases? But Change in orbit length Change in velocity Momentum compaction factor Therefore: particles follow longer orbit (fixed B field)  particles travel faster (initially) • How does the revolution frequency change with the momentum ? Rende Steerenberg, 30-Jan-2008 AXEL - 2008 35

The frequency - momentum relation The relativity theory says  But varies with momentum (E = E0) fixed by the quadrupoles Rende Steerenberg, 30-Jan-2008 AXEL - 2008 36

Transition Low momentum ( << 1,   1) • Lets look at the behaviour of a particle in a constant magnetic field. • The revolution frequency increases as momentum increases • High momentum (  1,  >> 1) • The revolution frequency decreases as momentum increases • For one particular momentum or energy we have: • This particular energy is called the Transition energy Rende Steerenberg, 30-Jan-2008 AXEL - 2008 37

The frequency slip factor   = positive Below transition  = zero Transition  = negative Above transition • We found • Transition is very important in proton machines. • A little later we will see why…. • In the PS machine :tr  6 GeV/c • Transition does not exist in leptons machines,Why? Rende Steerenberg, 30-Jan-2008 AXEL - 2008 38

Lets see what happens after many turns V A time B 1st revolution period Rende Steerenberg, 30-Jan-2008 AXEL - 2008 39

Synchrotron Oscillations Particle B has made 1 full oscillation around particle A. The amplitude depends on the initial phase. We call this oscillation: V A time B 900st revolution period Exactly like the pendulum Synchrotron Oscillation Rende Steerenberg, 30-Jan-2008 AXEL - 2008 48

Longitudinal Phase Space In order to be able to visualize the motion in the longitudinal plane we define the longitudinal phase space (like we did for the transverse phase space) E t (or ) Rende Steerenberg, 30-Jan-2008 AXEL - 2008 49

Phase Space motion (1) Particle B oscillates around particle A This is synchrotron oscillation When we plot this motion in our longitudinal phase space we get: E t (or ) higher energy early arrival late arrival lower energy Rende Steerenberg, 30-Jan-2008 AXEL - 2008 50

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