PERMUTACE

1. PERMUTACE Mgr. Hana Križanová Střední škola, Havířov-Šumbark, Sýkorova 1/613, příspěvková organizace Tento výukový materiál byl zpracován v rámci akce EU peníze středním školám - OP VK 1.5. Výuková sada – MATEMATIKA, DUM č. 13

2. PERMUTACE Zvláštní případ VARIACE Vk(n), kdy k = n. P(n) – permutace z n prvků je uspořádaná n-tice, sestavená z těchto prvků tak, že každý se v ní vyskytuje právě jednou (variace n-té třídy z n prvků). n∈N P(n) = n! n! n – FAKTORIÁL n! =n·(n−1)·(n−2)·(n−3)·…·2·1 ! ZÁLEŽÍ NA POŘADÍ PRVKŮ !

3. Kolika způsoby lze postavit vedle sebe šest svíček různých barev? • Tvoříme permutaci ze šesti prvků. P(6) = 6! = 6·5·4·3·2·1= 720 • Kolik pěticiferných čísel lze sestavit v dekadickém zápisu z cifer 1, 3, 5, 7, 9, kde jsou každé dvě cifry různé ? • Tvoříme permutaci z pěti prvků. P(5) = 5! = 5·4·3·2·1= 120

4. Kolika způsoby lze postavit do řady na poličku: a) 8 románů a 4 detektivky, b) 8 románů a 4 detektivky tak, že nejprve budou romány a vedle nich detektivky? a) P(12) = 12! = 479001600 b) P(8) · P(4) = 8!·4! = 40320·24 = 967680 • Tanečního vystoupení se účastní pět děvčat a čtyři chlapci. Kolika způsoby je lze postavit: a) do řady vedle sebe, b) do řady vedle sebe tak, že chlapci budou vlevo? a) P(9) = 9! = 362880 b) P(4) · P(5) = 4!·5! = 24·120 = 2880

5. Samostatná práce: • V pěti vázách je pět různých květin. Růže, tulipán, narcis, karafiát a gerbera. Kolika způsoby je lze postavit: a) vedle sebe, b) vedle sebe tak, aby růže byla uprostřed, c) tak, aby tulipán a gerbera byly vedle sebe, d) tak, aby narcis a karafiát stály na určeném kraji? řešení: a) - - - - - P(5) = 5! = 120 b) - - R - - P(4) = 4! = 24 c) růže a tulipán tvoří pevnou dvojici RT - - - nebo TR - - - 2· P(4) = 2·4! = 2·24 = 48 d) N - - - K P(3) = 3! = 6 ,

6. Domácí úkol: • Děti ve školce mají za úkol nakreslit duhu. Dostanou 7 pastelek, každá má jinou barvu. Kolik různých duh může takto vzniknout za použití všech barev? • Prodavačka ukládá do regálu šest druhů čokolád. Oříškové, mandlové, mléčné, hořké, karamelové a nugátové. Kolika způsoby lze uložit jednotlivé druhy tak, aby mandlová a oříšková byly vedle sebe? • Kolik šesticiferných čísel lze sestavit v dekadickém zápisu z cifer 0, 2, 4, 7, 8, 9, kde jsou každé dvě cifry různé? • Zvětší-li se počet prvků o dva, zvětší se počet permutací 42×. Jaký byl původní počet prvků?

7. Řešení DÚ: • P(7) = 7! = 5040 • Oříšková a mandlová čokoláda tvoří pevnou dvojici OM - - - - nebo MO - - - - 2· P(5) = 2·5! = 2·120 = 240 3) - - - - - - P(6) = 6! = 720 0 - - - - - P(5) = 5! = 120 P(6) - P(5) = 6! - 5! = 720 - 120 = 600

8. P(n + 2) = 42·P(n) (n + 2)·(n + 1)·n! = 42·n! n2+ 3n + 2 = 42 n2+ 3n − 40 = 0 n1 = 5 n2 = −8 N Zk. L: P(5 + 2) = 7! = 5040 P: 42·P(5) = 42·5! = 5040

9. POUŽITÁ LITERATURA • Obrázky: www.google.cz