第 14 章 常微分方程的 MATLAB 求解

1. 第14章 常微分方程的MATLAB求解 编者

2. Outline • 14.1 微分方程的基本概念 • 14.2 几种常用微分方程类型 • 14.3 高阶线性微分方程 • 14.4 一阶微分方程初值问题的数值解 • 14.5 一阶微分方程组和高阶微分方程的数值解 • 14.6 边值问题的数值解

3. 14.1 微分方程的基本概念 微分方程：一般的，凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，叫做微分方程，有时也简称方程。 微分方程的阶：微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，叫做微分方程的阶 微分方程的解：找出这样的函数，把这函数代入微分方程能使该方程成为恒等式。这个函数就叫做微分方程的解。 微分方程的通解：如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解。 初始条件：设微分方程中的未知函数为，如果微分方程是一阶的，通常用来确定任意常数的条件是时，或写成 其中都是给定的值；如果微分方程是二阶的，通常用来确定任意常数的条件是 其中和都是给定的值，上述这种条件叫做初始条件。 确定了通解中的任意常数以后，就得到微分方程的特解。求微分方程满足初始条件的特解是这样一个问题，叫做一阶微分方程的初值问题，记作 微分方程的解的图形是一条曲线，叫做微分方程的积分曲线。

4. 14.2 几种常用微分方程类型 1.可分离变量的微分方程一般的，如果一个一阶微分方程能写成 的形式，就是说，能把微分方程写成一端只含的函数和，另一端只含的函数和，那么原方程就称为可分离变量的微分方程。 2.齐次方程如果一阶微分方程可化成的形式，那么就称这方程为齐次方程。 3.一阶线性微分方程线性方程：方程叫做一阶线性微分方程因为 它对于未知函数y 及其导数是一次方程。如果，则上述方程称为齐次的；如果 ，则上述方程称为非齐次的。为了求出非齐次线性方程的解，我们先把换成 零而写出方程该方程叫做对应于非齐次线性方程的齐次线性方程。齐次线性方 程的通解为 非齐次线性方程的通解为 伯努利方程：方程叫做伯努利（Bernoulli）方程。当 时，该方程是线性微分方程，当时，该方程不是线性的，但是通过变量的替换，便可把它化为线性的

5. 4.可降阶的高阶微分方程 型的微分方程：微分方程的右端仅含有自变量 x ，容易看出，只要把作为新的未知函数，那么微分方程即化为新未知函数的一 阶微分方程，两边积分，就得到一个阶的微分方程 同理可得 依此法继续进行，接连积分 n次，便得到方程的含有 n 个任意常数的通解。 型的微分方程:方程的右端不显含未知函数 y。如果我们设，那么 因此，方程就成为，这是一个关于变量的一阶微分方程 ，设其通解为，又因此又得到一个一阶微分方程 对它进行积分，便得到方程的通解为 型的微分方程：方程中不显含自变量x ，为了求出它的解，我们令，并利用复合函数求导法则把化为对的导数，即 这样，方程就成为这是一个关于变量的一阶微分方程，设它的通解为分离变量并积分，便得方程的通解为

6. 14.3 高阶线性微分方程 1.线性微分方程解的结构在 n 阶微分方程中，若是的一次有理整式，则称此方程为 n 阶线性微分方程。一般形式可写成： 线性微分方程解的结构定理： 如果是方程 的n个线性无关的解，则该方程的通解为 其中是任意常数。 设是方程的一个特解， 是对应的齐次线性方程的通解，则 是上述方程的通解。 若和分别是方程 与 的特解，则 是方程 的特解 2.常系数线性微分方程的MATLAB符号求解 MATLAB中提供了dsolve函数求解微分方程（组）。该函数允许用字符串的形式描述微分方程及初值、边值条件，最终将给出微分方程的解析解。

7. 14.4 一阶微分方程初值问题的数值解 1.欧拉法及其MATLAB实现 对于一阶微分方程的初值问题，若要求其数值解，我们可以采用 离散化方法。在求解区间上取一组节点： 称为步长。为简单起见，仅考虑等距步长，即 将方程的两端在区间上积分，得到 即 应用左矩形公式：，则有 略去上式中的，得考虑到，设已求得， 的1个近似值，则由上式可得由 可依次求出。称上式即为求解初值问题的Euler公式。

8. 2. Runge-Kutta法及其MATLAB实现 考虑微分方程，由Lagrange微分中值定理，存在，使得 于是，由得 记，则称为区间上的平均斜率。这样，只要给 出了的一种算法，就可以得到求解微分方程初值问题的一种计算公式。显然，显式Euler公式就是以作为平均斜率的近似。 经典四阶Runge-Kutta方法的迭代公式：

9. 14.5 一阶微分方程组和高阶微分方程的数值解 1. 一阶微分方程组 前面研究的是求解单微分方程的数值解法，对于微分方程组，只需将y 理解成向量，理解成向量函数，那么对前面研究过的各种计算公式即可用到一阶微分方程组上来。 2. 高阶微分方程 对于高阶微分方程组的数值求解，首先应将其变换成一阶显式常微分方程组。其具体转换方法如下：（1）将微分方程的最高阶变量移到等式的左边，其他移到右边，并按阶次从低到高排列，（这里以两个高阶微分方程的转换为例）假设两个高阶微分方程最后能够显式的表达成下述形式： （2）为每一阶微分式选择状态变量，最高阶除外 （3）根据（2）中选用的状态变量，写出所有状态变量的一阶微分的表达式 最后，对初值进行相应的变换，就可以得到所期盼的一阶微分方程组了。 3.微分方程组的MATLAB求解函数 MATLAB提供了一系列的函数来求解微分方程组，包括ode系列函数，另外还提供了几类特殊的微分方程的求解函数，例如ode15s，ode15i等。

10. 14.6 边值问题的数值解 1.打靶法打靶法也称为试射法，其基本思想是把边值问题作初值问题来求解，从满足左端边界条件的解曲线中寻找也满足右端边界条件的解。 线性方程边值问题的打靶法： 考虑如下给出的二阶线性边值问题 该边值问题的打靶法求解过程可以由如下步骤完成：（1）计算下面齐次微分方程在区间上的数值解， ，初值条件： ；（2）计算下面齐 次微分方程在区间上的数值解， ，初值条件： ；（3）计算下面初值问题在区间上的数值解， ，初值条件 ： ；（4）若，则 计算；（5）计算下面初值问题的数值解，则即为原边值问 题的数值解，初值条件：

11. 非线性方程边值问题的打靶法： 考虑二阶常微分方程的边值问题，边界条件为。假定 该问题可以转换为下面的初值问题 则问题转化为求解，这是一个复杂的超越方程，可以考虑引入牛顿迭代法求 解参数 m。具体的迭代公式为： 式中 通过这些关系可以建立方程 具体计算中可以指定一个m 值，然后求解上面的初值问题，将结果代入上面的迭代公式中迭代一步，并将结果代入上式中重新计算，直至两次计算出来的 m值的误差在允许的范围内为止，最后将 m值代入初值问题即可求解原始问题。

12. 2.边值问题的MATLAB函数求解 MATLAB能求解的边值问题的一般形式如下其中y 为状态变量向量 为方程中其他未知参数向量。该方程已知的边界值为 MATLAB提供了专门求解边值问题的bvp解算器bvpslover。要想求解一个常微分方程的边值问题，一般应该遵循以下几个步骤： （1）参数初始化 （2）微分方程和边值问题的MATLAB函数描述 （3）边值问题的求解

13. 谢谢大家！