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Computer Vision & Pattern Recognition Lab. 김 태 철 2004. 10. 4 ( 월 )

An Introduction to Wavelets (Amara Graps). Computer Vision & Pattern Recognition Lab. 김 태 철 2004. 10. 4 ( 월 ). Overview . 1. Wavelets Overview 2. Historical Perspective 3. Fourier Analysis 4. Wavelet Transforms versus Fourier Transforms 5. What do some wavelets look like?

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Computer Vision & Pattern Recognition Lab. 김 태 철 2004. 10. 4 ( 월 )

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Presentation Transcript

  1. An Introduction to Wavelets (Amara Graps) Computer Vision & Pattern Recognition Lab. 김 태 철 2004. 10. 4 (월) Computer Vision & Pattern Recognition Lab.

  2. Overview • 1. Wavelets Overview • 2. Historical Perspective • 3. Fourier Analysis • 4. Wavelet Transforms versus Fourier Transforms • 5. What do some wavelets look like? • 6. Wavelet Analysis • 7. Wavelet Applications Computer Vision & Pattern Recognition Lab.

  3. Wavelets Overview • 1980년대 초 이론으로 정립되기 시작 • 순수수학, 양자물리학, 전자공학 등 여러 분야에서 독립적으로 형성 • 지난 10년 동안 과학자, 공학자들간의 상호교류를 통해 ‘Wavelet’이라는 이름으로 통일 • 여러 분야에서의 응용성이 확대 √ 수학–조화 함수론 √양자 물리학- coherent state, renormalization group 이론 √신호 영상처리- subband coding 알고리즘 √컴퓨터 비젼- stationary subdivision 알고리즘 • 각 분야에서 새로운 첨단 기술 창조 Computer Vision & Pattern Recognition Lab.

  4. 2. Historical Perspective • Pre-1930 √ 1807: J.Fourier, Fourier Series 주파수 분석 (Fourier Transform) √ 1909: Haar, Orthonormal Function System 다중 해상도 방법과 웨이블릿의 긴밀한 변환 관계를 쉽게 설명 척도(scale) 분석 (Harr System) • The 1930S scale-varying basis Function : Haar basis function √ Brownian motion - Paul Levy wavelet을 이해하기 위한 key √ Another researcher: energy function David Marr : Effective Algorithm for numerical image processing Computer Vision & Pattern Recognition Lab.

  5. What are Basis functions? • f(x)가 음악적 톤. 즉, 규칙적인 옥타브 A라고 상상해보자. • 그러면, A는 주파수와 진폭의 결합을 이용하여 sin과 cos의 합으로 나타낼 수 있다. • 여기서 sin 과 cos을 Basis Function이라고 한다. • What are Scale-varying Basis Functions? 0과 1사이의 신호가 있다면 그걸 0에서 1/2과 1/2에서 1로 나눌수 있다. 이렇게 계속해서 정규화된 사이즈로 나뉘어 질수 있는 함수 Computer Vision & Pattern Recognition Lab.

  6. 2. Historical Perspective (Continue) • 1960-1980 1980: A.Grossman & J.Morlet √ 시간-주파수 분석 (Continuous Wavelet Transform) • POST-1980 1985(9): S.Mallat, Multiresolution Analysis √QMF(Quandrature Mirror Filter), 피라미드 알고리즘, 직교 웨이브렛의 공통적인 특징 발견 √ 다중해상도분석 개념 소개, 고속 웨이브렛 변환 알고리즘 개발 √ 디지털 신호처리 분야 연구를 통한 Wavelet 연구가 활발 1987: I.Daubechies, Daubechies’ Orthonormal Wavelets √ Mallat의 다중해상도분석을 이용하여 직교 웨이브렛의 존재성과 구축법 확립 √ 이산형 정규 직교 웨이브렛을 무한 구간으로 확장 √ 오늘날 웨이브렛 응용의 기초가 됨 Computer Vision & Pattern Recognition Lab.

  7. 3. Fourier Analysis • 시간 영역 주파수 영역 • 신호처리 분야의 비약적인 발전의 모태 • 기본함수(Basis function)로 sine, cosine 함수만 사용 [전역적인 신호 분석] • 단점 √ 신호 데이터에 불연속성, 날카롭게 도출된 부분(고주파수 성분)이 포함될 경우, 신호의 특징 분석이 난이 √ 신호의 시간 정보와 주파수 정보를 동시에 파악할 수 없다. Computer Vision & Pattern Recognition Lab.

  8. 3. Fourier Analysis (Windowed Fourier Transforms) • WFT (Windowed Fourier Transform) • 일정한 크기를 가진 창함수와 Fourier 변환의 결합 • 시간 변화에 따른 주파수 특성을 분석 • 단점 √ 분석 영역이 시간-주파수에 대해 항상 일정 √ 비정상적인 신호(non-stationary signals)를 효율적으로 분석할 수 없다. Computer Vision & Pattern Recognition Lab.

  9. 3. Fourier Analysis (Fast Fourier Transforms) • Turkey and Cooley 에 의해 향상된 DFT 알고리즘 (DFT의 고속화) • FFT 의 분리성 [ 2차원 연산식  2개의 1차원 연산식 ] : divide & conquer기법 • N x N 의 크기 영상의 복잡도 • 영상의 크기는 2의 지수승 ( 반복적인 데이터 분할) √ 2의 지수승이 아닌경우 : 영 삽입 (zero padding) Computer Vision & Pattern Recognition Lab.

  10. 4.Wavelet Transforms Versus Fourier Transforms • Wavelet Transform √ 기본 함수로 sine, cosine 함수 이외에 웨이브렛 모함수 사용 √ 각 주파수 영역에 따라 변화하는 다양한 기저함수 사용 (시간-주파수에 국부적인 성질) √ 가장 적절한 다중해상도 표현 방법 √ 사용분야 음성인식, 정지영상/ 동영상 압축, 오디오 압축, 음악 해석 등 √ 대표적인 wavelet 변환 기법 Orthonormal Wavelet, Biorthonormal Wavelet, Packet Wavelet, Chirplet Wavelet 등의 변환 Computer Vision & Pattern Recognition Lab.

  11. 4.Wavelet Transforms Versus Fourier Transforms • Similarities between fourier and wavelet transforms √ Both Linear Operation √ FFT와 DWT의 inverse transform matrix는 original의 transpose √ fft는 sines과 cosines를 포함하는 basis function √ wavelet transform은 wavelets 혹은 mother wavelets or analyzing wavelets이라고 불리우는 더 복잡한 basis funtion Computer Vision & Pattern Recognition Lab.

  12. 4.Wavelet Transforms Versus Fourier Transforms • Dissimilarities between fourier and wavelet transforms √ wavelet funtions are localized in space but fourier sin and cosine functions are not. Computer Vision & Pattern Recognition Lab.

  13. Continue… FT WT Computer Vision & Pattern Recognition Lab.

  14. 5. What do some wavelets look like? • Wavelets family는 상관계수의 수와 반복횟수의 의해서 구별되는 웨이블릿의 부분집합 • wavelets family는 vanishing moments의 수에 의해 구별 Computer Vision & Pattern Recognition Lab.

  15. 5. What do some wavelets look like?(continue) Computer Vision & Pattern Recognition Lab.

  16. 6. Wavelet Analysis (DWT) • DWT는 다른 해상도를 가진 다른 주파수 대역에서 신호를 대가의 근사치와 상세한 정보로 분석함으로써 신호를 해석 • Orthonarmal Wavelet(정규직교 웨이브렛) • Wavelet의 가장 큰 특징은 안정 Computer Vision & Pattern Recognition Lab.

  17. 7. Wavelet Applications • Computer and Human Vision √ 1980’s 초 David Marr - 로봇에 대한 인공 시각(artifical vision) 연구 시작 √ Human Visual System에서의 영상 처리 – vision filter ( Marr’s operator  ‘Marr wavelet’ ) Computer Vision & Pattern Recognition Lab.

  18. 7. Wavelet Applications • FBI fingerprint Compression 원본 이미지 26:1 압축 Computer Vision & Pattern Recognition Lab.

  19. 7. Wavelet Applications • Denoising Noisy Data Computer Vision & Pattern Recognition Lab.

  20. 7. Wavelet Applications • Musical Tones (Ex.음성, 음악의 합성) Computer Vision & Pattern Recognition Lab.

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