3. Conversia analog-digitală a semnalelor

3. Conversia analog-digitală a semnalelor Conversia analog-digitală este procesul prin care unui semnal analogic i se asociază o secvenţă de coduri numerice, compatibile cu structura internă a calculatoarelor. Ea este formată din trei procese succesive, ce definesc : eşantionarea; cuantizarea; codarea. Procesul invers, prin care unei secvenţe de coduri numerice i se asociază un semnal continuu, se numeşte conversie digital-analogică.

3.1. EŞANTIONAREA SEMNALELOR ANALOGICE Dacă t = nTe, x(t) prezintă o discontinuitate de tiptreapta (salt), se consideră:

Modelul matematic al procesului de eşantionare se poate scrie: unde reprezintă o succesiune periodică de impulsuri unitate, numită funcţia delta periodică, definită astfel

Eşantionarea cu memorare unde s-a notat cu Smfuncţia de memorare definită de s(t) este funcţia treaptă unitate

Eşantionarea cu urmărire

Criteriul lui Nyquist (Teorema lui Shannon) O funcţie periodică x(t) care satisface condiţiile dezvoltării în serie Fourier şi conţine K componente armonice, poate fi reconstituită fără erori pe baza a N eşantioane prelevate uniform dintr-o perioadă, dacă este satisfăcută condiţia: N≥2K+1. Valoarea maximă a perioadei de eşantionare va fi dată de relaţia Frecvenţa de eşantionare trebuie să fie mai mare decât dublul frecvenţei maxime din spectrul semnalului analogic: fe>2fmax fe = (5 ÷ 20) fmax.

1916 - 2001

Rata de eşantionare Eşantionare incorectă (aliasing)

Exemplu de semnal, eşantionat cu frecvenţa fe = 1,14 fo, care nu satisface teorema lui Shannon

3.2. RECONSTITUIREA SEMNALELOR EŞANTIONATE • Reconstituire prin filtrare • Filtrarea cu un filtru trece-jos, cu frecvenţa de tăiere 0,5fe • 2. Reconstituirea prin extrapolare • Reconstituirea semnalului x(t) prin extrapolare de ordin zero

Extrapolarea de ordinul unu pentru nTe <t<(n + 1) Te, unde xneste eşantionul n iar xn+1este eşantionul n+1.

3. Reconstituirea prin interpolare Interpolarea de ordinul unu(interpolarea liniară). pentru nTe< t < (n+1)Te, unde xn= x [nTe]; xn+1 = x [(n+l)Te].

3.3 CUANTIZAREA SEMNATELOR Cuantizarea înseamnă reprezentarea sub formă numerică a eşantioanetor unui semnal analogic, prin atribuirea acestor eşantioane a unor valori numerice discret. Cuantizarea reclamă împărţirea plajei maxime de variaţie a semnalului de intrare într-un numărN de nivele (trepte) egale între ele, notate cu q, numit pas de cuantizare sau cuantă. De obicei se ia N = 2n 0 ... Xmax → Cuantizarea uniformă

Comparatie intre un semnal cuantizat si unul digital Cuantizarea adaptiva este un proces ce variaza cudimensiuneapasului de esantionare datorita variatiilor semnalului de intrare Cuantizarea poate fi: • uniforma (pas constant), cand se folosesc metodele de cuantizare prin rotunjire si prin trunchiere; • neuniforma, nivelul semnalului de IE este o functie monotona de nr. intregi de orice valoare

În cazul când pasul de cuantizare este constant şi independent de valoarea semnalului, cuantizarea este uniformă. • Dacă nu depăşeşte jumătatea intervalului (adică ), valoarea eşantionului cuprinsă între nivelele iq şi (i + 1)q este asociată nivelului iq iar dacă depăşeşte jumătatea acestui interval, nivelului (i+1)q. Astfel, eşantionului k-1 din figura 3.7 i se atribuie valoarea iq iar eşantionului k, valoarea (i + 1)q. • La unele cuantizoare, dacă semnalul depăşeşte nivelul iq, i se atribuie valoarea (i + 1)q.

Cuantizarea uniformă şi eroarea corespunzătoare eroarea sau zgomotul de cuantizare

Se observă că, cu cât pasul de cuantizare q este mai mic, deci numărul N de niveluri de cuantizare este mai mare, zgomotul de cuantizare este mai mic şi deci semnalul cuantizat este o reprezentare mai fidelă a semnalului x(t). • Parametrul care poate aprecia gradul de distorsiune pe care semnalele le suferă în procesul de cuantizare este raportul semnat-zgomot de cuantizare. • Procedeul de cuantizare uniformă prezentat mai sus are dezavantajul că raportul semnal-zgomot depinde de amplitudinea eşantionului. Pentru a obţine un raport constant la o dinamică mare a semnalului se poate face o cuantizare, în care pasul qiurmează o lege logaritmică de forma:

3.4. CODAREA SEMNALELOR Fiecărui eşantion cuantizat i se atribuie un cod numeric binar, compatibil cu structura internă a calculatorului. Un număr întreg zecimal N se exprimă în sistemul binar naturalprintr-un şir de n+1 cifre binare (n+1 biţi): anan-1 ...a1a0 iar valoarea sa (exprimată în sistemul zecimal) este: unde Valoarea maximă a numărului zecimal care se poate exprima cu relaţia este: . Exemplu: numărul binar 101011 reprezintă în sistemul zecimal valoarea:

Un număr fracţionar X se poate reprezenta binar prin succesiunea bnbn-1 ...b1b0 unde care are în sistemul zecimal valoarea dată de expresia: cu Exemplu: numărul fracţionar binar 0,1011 reprezintă în zecimal:

În majoritatea convertoarelor analog-digitale se foloseşte forma binară fracţionară fără se mai reprezenta şi virgula zecimală. Dacă toţi biţii sunt "1", atunci valoarea corespunzătoare acestui număr este maximă şi rezultă ca fiind (1-2-n)Xmax, unde 2-nXmaxreprezintă mărimea pasului de cuantizare, iar 2-neste bitul cel mai puţin semnificativ (LSB) al codului binar corespunzător. Un cod obţinut la ieşirea unui DAC nu are nici o semnificaţie dacă nu este specificat tipul codului şi relaţia de conversie. Codurile utilizate în conversia analog-numerică

3.4.1. Coduri binare unipolare a. codul binar natural b. codul zecimal codificat binar (BCD - Binary Coded Decimal) b1. codurile BCD ponderate fiecărei cifre zecimale i se pune în corespondenţă o tetradă binară în care fiecare rang xiare o anumită pondere Pi. Valoarea N a cifrei codificate astfel se poate calcula cu ajutorul formulei: N = P3x3 + P2x2 + P1x1 + P0x0 Ponderile Pipot avea valori pozitive şi negative, iar rangurile xivalorile 0 sau 1 Cele mai folosite coduri BCD ponderate: 8421şi 2421 În codul zecimal-binar 2421, numărul zecimal 7, de exemplu, se reprezintă astfel: 7 = 2x1+4x1+2x0 + 1x1, adică 1101. În codul 2421, cifra zecimală 7 se poate reprezenta şi prin 0111 În codul 2421 pentru cifrele zecimale 2,3,4,5,6,7, se aleg reprezentările care dau o simetrie pentru perechile (9,0), (8,1), (7,2) etc, în sensul că fiecare asemenea pereche a cărei sumă este 9,are cifrele exprimate în coduri complementare unul faţă de celălalt (0↔0000, 9↔1111 2↔0010, 7↔1101). Alte coduri BCD ponderate sunt 5421, 5311, 3321, 4311, 4321

b2. codurile BCD neponderate – codul Gray Poziţia biţilor nu semnifică o pondere numerică ca în cazul codului binar-natural sau a celor BCD ponderate. Caracteristic pentru acest cod este faptul că la o tranziţie de la o valoare la următoarea, codul schimbă numai un singur bit - proprietate numtită "de adiacenţă". Din acest motiv, codul Gray se utilizează în sistemele de conversie continuă (convertoare analog-digitale rapide de tip paralel, traductoarele fotoelectrice de unghi, etc), pentru a limita la ±q (pasul de cuantizare) eventualele erori de citire efectuate în momentul schimbării codului.

3.4.2. Coduri binare bipolare • Codul binar semn - amplitudine(sau semn-modul - CSA) Este cel mai simplu cod folosit în exprimarea mărimilor bipolare. Astfel, bitul cel mai semnificativ MSB al numărului binar, care reprezintă mărimea convertită, indică semnul ("0" pentru o mărime pozitivă şi "1" pentru o mărime negativă), iar restul biţilor reprezintă mărimea modulului numărului exprimată în codul binar natural. Acest cod, care nu este utilizat frecvent în prelucrarea numerică a semnalelor, permite menţinerea unei bune precizii şi a unei bune liniarităţi în jurul nivelului zero, acolo unde toate celelalte coduri bipolare implică schimbarea tuturor biţilor la trecerea de la nivelul "0" la nivelul "-1". Dezavantajul acestei reprezentări se datoreşte faptului că valoarea zero are asociate două coduri: 100...0 şi 000...0. De aceea folosirea în calcule a acestui cod necesită măsuri suplimentare, care să ţină seama de această particularitate.

3.4.2. Coduri binare bipolare b. Codul binar deplasat (CBD) Este unul dintre cele mai folosite coduri bipolare. Codul binar deplasat este de fapt un cod binar natural construit pentru numere între 0 şi 2Nmaxşi deplasat pentru numere cuprinse între - Nmaxşi Nmax. Valoarea zecimală a unui număr reprezentat în CBD prin succesiunea binară anan-1...a1a0obţine din relaţia: Avantajele folosirii CBD în convertoarele analog-digitale decurg din simplitatea implementării sale în aceste circuite. Astfel, pentru a transforma un convertor ADC de 12 biţi cu un diapazon 0÷10 V şi cod binar natural într-unui capabil să lucreze cu tensiuni bipolare la intrare, în codul binar deplasat, trebuie prepolarizat convertorul cu jumătate din valoarea diapazonului (+5V). În acest caz domeniul de variaţie al mărimii de intrare devine -5V... +5V

Exemplu de corespondenţă între codurile binare de ieşire ale convertorului ADC şi tensiuni de intrare unipolară, respectiv bipolară deplasată (cod cu 12 biţi) În cazul unui convertor cu un diapazon 0 - 10V, codul numeric de la ieşire reprezintă fracţiunea din tensiunea maximă, care se aplică la intrare. Exemplu: codul 1000 0000 0000 reprezintă în zecimal un număr fracţionar egal cu: Deci tensiunea de intrare corespunzătoare este 0,5 • 10 = 5 V.

Valoarea zecimală a numerelor binare scrise în CCD se obţine cu relaţia: c. Codul complementar faţă de 2 (CCD)

În complementul față de doi, din gama de 2n numere reprezentabile pe n biți, se pot reprezenta 2n − 1 (de la − 2n − 1 până la -1) numere negative, 0 și 2n − 1 − 1 (de la 1 la 2n − 1 − 1) numere pozitive. Ca și în alte metode de reprezentare în virgulă fixă, cum sunt codul direct și complementul față de unu, bitul cel mai semnificativ este folosit pentru reprezentarea semnului numărului, 0 reprezentând semnul +, iar 1 reprezentând semnul -. Acest bit se numește bit de semn. Ceilalți n-1 biți au semnificație diferită pentru numerele pozitive și cele negative. Numerele pozitive La reprezentarea numerelor întregi pozitive, pe cei n-1 biți se trece reprezentarea în bază doi a valorii absolute a numărului. Astfel, reprezentarea pe 4 biți a numărului zecimal 3 este 0011, primul 0 fiind bitul de semn, iar 011 fiind reprezentarea binară a numărului 3.

Numerele negative Matematic, reprezentarea unui număr negativ în complement față de doi este valoarea 2n − V, unde V este valoarea absolută a numărului reprezentat. De exemplu, numărul -9 se reprezintă pe 8 biți astfel: se calculează valoarea absolută a numărului, care este 9, reprezentată binar pe 8 biți este 00001001. 100000000- 00001001= 11110111 Altfel, pentru a obține reprezentarea în complement față de doi un număr negativ, se ia reprezentarea valorii absolute a acestuia, se inversează bit cu bit (inclusiv bitul de semn) și apoi se adună 1 la rezultat. Luând același exemplu, avem: 00001001 11110110+ (inversat) 1 11110111 Se observă astfel că valoarea 11111111 reprezintă numărul − 255 = 28 − 1, spre deosebire de complementul față de unu, unde aceeași valoare era o reprezentare alternativă pentru numărul 0. Se elimină astfel o ambiguitate și se lărgește puțin domeniul de reprezentare.

d. Codul complementar faţă de 1 (CCU) Acest cod atribuie mărimilor pozitive codurile binare naturale corespunzătoare, iar celor negative complementele acestora.

3.5. CIRCUITE DE EŞANTIONARE-MEMORARE (SH) Un circuit de eşantionare-memorare (Sample and Hold SH) realizează prelevareala intervale de timp egale sau aleatoare, a unor eşantioane de amplitudine din semnalul analogicaplicat la intrare şi memorarea acestora pe durata conversiei analog-digitale.

3.5. CIRCUITE DE EŞANTIONARE-MEMORARE (SH) Un circuit de eşantionare-memorare (Sample and Hold SH) realizează prelevareala intervale de timp egale sau aleatoare, a unor eşantioane de amplitudine din semnalul analogicaplicat la intrare şi memorarea acestora pe durata conversiei analog-digitale. Schema de principiu a unui circuit de eşantionare-memorare

Circuitul de eşantionare-memorare are două faze de funcţionare: Faza de eşantionare – când comutatorul S este închis şi tensiunea pe condensatorul C urmăreşte semnalul se intrare – vi, cu o întârziere determinată de constanta de timp: • unde RS este rezistenţa sursei de semnal – vi, iar RON – rezistenţa comutatorului S în starea închis. Reducerea acestei constante de timp este de mare importanţă, deoarece determină durata eşantionării. Astfel, pentru o eroare de 0,05% durataeşantionării trebuie să fie de minimum 8ti

Faza de memorare – după ce comutatorul este deschis, iar icondensatorul,încărcat la valoarea instantanee a semnalului se intrare din acel moment, se descarcă datorită curenţilor de intrare a amplificatorului operaţional – IB şi descurgeri a comutatorului – IS, precum şi datorită rezistenţei de pierderi a condensatorului – RC. Viteza de descărcare are expresia deoarece ponderea cea mai mare o are curentul de polarizare IB. Pentru ca descărcarea condensatorului să nu introducă erori semnificative, trebuie ca constanta de timp de descărcare să fie de cel puţin 105 ori mai mare decât timpulde memorare pentru care valoarea eşantionată este utilă.

Variaţia tensiunilor la un circuit de eşantionare-memorare Timpul de aperturătap Instabilitatea timpului de aperturăDtap Timpul de stabilizare - ts Timpul de achiziţie tac

Parametrii caracteristici fazei de eşantionare sau de urmărire sunt următorii: • Timpul de întârziere la eşantionare – tie, reprezintă intervalul de timp scurs întremomentele apariţiei comenzii de eşantionare şi închiderii efective a comutatorului Parametrul tie depinde de viteza circuitelor numerice din schema de comandă şi acomutatorului şi poate avea valori în intervalul 5-150 ns, tipic 15-20 ns. • Timpul de creştere – tc, reprezintă intervalul de timp necesar pentru ca tensiuneape condensator să ajungă la nivelul semnalului de intrare. Acesta depinde înprincipal de viteza de creştere a tensiunii de ieşire (Slew-Rate) a amplificatoarelor operaţionale din structura circuitului. Ca urmare, amplificatoarele utilizate în acest scop au slew-rate de ordinul a 200-400 V/μs, în cazul circuitelor rapide, coborând până la nivelul de 3-5 V/μs pentru circuitele mai lente, de uz general.

• Timpul de stabilire la eşantionare – tse, reprezintă intervalul de timp necesar pentru stingerea regimului tranzitoriu al circuitului, care în momentul închiderii comutatorului este solicitat la semnal treaptă. • Timpul de achiziţie – taq, reprezintă suma timpilor de întârziere, de creştere şi destabilire la eşantionare. Deci taq, este intervalul de timp minim cât trebuie să durezeeşantionarea, pentru ca circuitul să dea rezultate corecte. Timpul de achiziţie arevaloarea stabilită în funcţie de precizie. De exemplu, pentru o creştere a preciziei de la 0,1% la 0,01%, taq trebuie să crească de 4-5 ori, cum ar fi de la 6 la 25 μs. Dacă timpul de eşantionare este mai mare decât timpul de achiziţie, după expirarea acestuia circuitul intră în regim de urmărire a semnalului de intrare, caracterizat de o eroare de câştig, dată de diferenţa dintre tensiunile de intrare şi de ieşire. Cauzele acestei erori sunt tensiunile de offset, constanta de timp de încărcarea condensatorului de memorare, limitările în viteză ale amplificatoarelor etc.

Parametrii caracteristici fazei de memorare sunt următorii: • Timpul de apertură – ta, reprezintă de fapt timpul de întârziere la memorare, adică intervalul de timp scurs între momentele apariţiei comenzii de memorare şi deschiderii efective a comutatorului. Un timp de apertură constant ar rămâne fărănici o influenţă, fiindcă efectul lui ar fi echivalent cu un defazaj constant. Înrealitate, ta variază atât aleator cât şi sistematic, în funcţie de temperatură, tensiunede alimentare sau tensiune de intrare. De exemplu, timpul de apertură poate aveapentru unele circuite de eşantionare-memorare o derivă de 3-5%/°C. • Timpul de stabilire la memorare –tsm, reprezintă intervalul de timp necesar pentrustingerea regimului tranzitoriu al circuitului, după deschiderea comutatorului. Regimul tranzitoriu care apare la aplicarea comenzii de memorare include şi semnalul parazit care pătrunde prin capacităţile de cuplaj cu sursa de comandă. Dinaceastă cauză, apare un aşa-numit decalaj la blocare al tensiuni de ieşire.

• Diafonia – se defineşte ca variaţia tensiunii de ieşire datorită semnalului de intrare care pătrunde prin capacitatea parazită paralel a comutatorului în starea blocat. Diafonia depinde de frecvenţă şi se exprimă de obicei în decibeli. • Căderea sau panta de cădere a tensiunii de ieşire – Δv0, apare datorită pierderii desarcină a condensatorului de memorare, prin rezistenţele şi generatoarele de curent parazite, care apar în paralel pe acest condensator.

Instabilitatea timpului de aperturăDtap reprezintă panta maximă a semnalului de intrare ui condiţia Timpul de apertură limitează superior domeniul de frecvenţe al semnalului de intrare ui, pentru un convertor de rezoluţie dată

Instabilitatea timpului de aperturăDtap reprezintă panta maximă a semnalului de intrare ui condiţia Timpul de apertură limitează superior domeniul de frecvenţe al semnalului de intrare ui, pentru un convertor de rezoluţie dată rezoluţia convertorului, egală cu 1 LSB Viteza maximă de variaţie a semnalului de intrare se obţine pentru Ui max = Umax. Rezultă, deci:

Modificarea tensiunii uede la ieşirea SH în starea de memorare este caracterizată prin panta de variaţie a acestuia numită viteză de alterare (invers proporţională cu capacitatea de memorare). Ea este de ordinul 0.1 – 1

Modificarea tensiunii uede la ieşirea SH în starea de memorare este caracterizată prin panta de variaţie a acestuia numită viteză de alterare (invers proporţională cu capacitatea de memorare). Ea este de ordinul 0.1 – 1 Schema îmbunătăţită a unui circuit de eşantionare-memorare

Schemele prezentate anterior sunt caracterizate şi de erori datorate amplificatoarelor plasate în cascadă; în particular eroarea datorată tensiunii de decalaj (offset) se adună. Reducerea erorilor de decalaj se poate obţine prin includerea celor două amplificatoare operaţionale AO1 şiAO2într-o buclă de reacţie globală. În starea de eşantionare, bucla globală de reacţie accelerează încărcarea condensatorului C, deoarece rezistenţa serie a comutatorului CE este redusă drastic şi astfel timpul de achiziţie se micşorează substanţial. Schema de principiu a unui circuit de eşantionare-memorare cu reacţie globală

Aici condensatorul de memorare este conectat în circuitul de reacţie al AO2, care împreună cu R1formează un integrator. Circuitul poate oferi o amplificare în tensiune supraunitară, cu schimbarea fazei. Când comutatorul CE este închis (starea de eşantionare) AO2are încă o reacţie negativă prin R2. Tensiunea de ieşire tinde spre cu o constantă de timp Dinmomentul deschiderii comutatorului CE tensiunea pe condensator şi tensiunea de ieşire rămân neschimbate. Integratorul a trecut în starea de memorare. Alegând un condensator de bună calitate şi compensând corect curentul de polarizare, se poate reduce considerabil scăderea tensiunii ueîn starea de memorare Circuit de eşantionare-memorare cu integrator

3.6. CONVERTOARE ANALOG-DIGITALE Un convertor analog-digitaltransformă o mărime analogică aplicată la intrare (de obicei tensiune de ±5V sau ±10V) într-un semnal electric interpretabil în tehnica digitală (interval de timp, frecvenţă sau cod numeric). După tehnica de conversie utilizată, convertoarele A/D se clasifică astfel: • convertoare A/D directe, care convertesc nemijlocit tensiunea aplicată la intrare în cod numeric (de tip paralel, paralel serie, cu aproximaţii succesive, sigma-delta); • convertoare A/D indirecte care convertesc tensiunea în interval de timp sau frecvenţa unor impulsuri (tensiune-frecvenţă, cu simplă rampă, dublă rampă, cu multiplă rampă); • convertoare A/D hibride, care combină cele două tehnici de conversie.

3.6.1. Convertoare A/D de tip paralel (Flash Converter) Convertor A/D paralel de 3 biţi

Principalele caracteristici funcţionale ale convertorului sunt: • rezoluţia; • caracteristica de transfer; • timpul de conversie; • eroarea de cuantizare; • precizia; • tensiunea de intrare; • codul de ieşire.

Rezoluţia convertorului este Caracteristicile de transfer şi erorile de cuantizare ale convertorului de tip paralel ,

Eroarea de cuantizarepoate fî exprimată prin relaţia: unde bisunt biţii codului binar la ieşirea convertorului. Prin convenţie, precizia unui convertor A/D se apreciază de fapt prin valoarea erorii absolute sau relative.

3.6.2. Convertoare A/D cu aproximaţii succesive (de tip serie)

3. Conversia analog-digitală a semnalelor