TRİGONOMETRİ

1. TRİGONOMETRİ

2. BİRİM ÇEMBER

4. Analitik düzlemde, merkezi başlangıç noktasında ve yarıçapı 1 birim uzunlukta olan çembere, birim çember denir ve denklemi biçiminde yazılır. AOP açısı pozitif yönlü bir açıdır. AP yayı pozitif yönlü bir yaydır. POA açısı negatif yönlü bir açıdır. PA yayı negatif yönlü bir yaydır.

5. Açıları ölçmede kullanacağımız ölçü birimleri derece, radyan ve grad olarak isimlendirilir. • Derece: Bir çemberin çevresini 360 eş parçaya bölelim. Birbirine eş olan bu 360 yay parçasından herhangi birini gören merkez açının ölçüsüne bir derece denir ve (º) ile gösterilir. 1º ‘nin 60’da birine 1 dakika denir ve (‘) simgesi ile gösterilir. 1’ ‘nin 60’da birine 1 saniye denir ve (‘‘) simgesi ile gösterilir.

6. Grad: Bir tam çember yayını 400 eş parçaya böldüğümüzde her bir parçayı gören merkez açının ölçüsüne, 1 grad denir. Grad g simgesi ile gösterilir. • Radyan: Bir çemberde, yarıçap uzunluğundaki bir yayı gören merkez açının ölçüsüne 1 radyan denir. Öyleyse, bir çember yayının ölçüsü radyandır.

7. Açı Ölçü Birimlerinin Birbirine Dönüştürülmesi Bir çember yayının ölçüsü 360 derece veya 400 grad veya radyandır. O halde; yazılabilir. Bu eşitlik sadeleştirilirse; elde edilir.

8. Örnek:Ölçüsü olan açıyı, radyan ve grad türünden yazınız. Çözüm:

9. Örnek:Ölçüsü radyan olan açıyı, derece ve grad türünden yazınız. Çözüm:

10. Tanım: Bir açının ölçüsü;1) Derece olarak verilmişse, aralığındaki değere; 2) Radyan olarak verilmişse, aralığındaki değere; aralığındaki değere; 3) Grad olarak verilmişse, o açının esas ölçüsü denir.

11. Örnek: Ölçüsü 3826º olan açının esas ölçüsünü bulunuz. Çözüm: 3826º = 226º + 10.360º olur. O halde 3826º ’nin esas ölçüsü 226º ’dir.

12. Örnek: Ölçüsü -1324º olan açının esas ölçüsünü bulunuz. Çözüm: -1324º = 116º + (-4).360º olur. O halde -1324º ’nin esas ölçüsü 116º ’dir.

13. Örnek: Ölçüsü olan açının esas ölçüsünü radyan cinsinden bulunuz. Çözüm: O halde ’in esas ölçüsü ’dir.

14. Örnek: Ölçüsü olan açının esas ölçüsünü radyan cinsinden bulunuz. Çözüm: O halde ’nın esas ölçüsü ’dır.

15. Örnek: Ölçüsü 500 grad olan açının esas ölçüsünü grad cinsinden bulunuz. Çözüm: O halde 500G ’ın esas ölçüsü 100G ’dır.

16. TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR

17. DİK ÜÇGENDE TRİGONOMETRİK ORANLAR

18. Verilen bir birim çember üzerinde alınan P(x,y) noktası başlangıç noktası ile birleştirildiğinde pozitif x ekseni ile oluşan θ açısı için aşağıdakiler söylenebilir:

19. Buna göre, [OP] doğrusu uzatılarak birim çembere A noktasından çizilen teğet ile R(1,t) noktasında kesişiyor. tan θ=t ’dir. biçiminde tanımlanır.

20. Oluşan dik üçgen, çemberin dışına taşındığında; oranları elde edilir.

21. Bu oranlar incelendiğinde, sonuçları elde edilir.

22. 30º, 45º ve 60º’nin trigonometrik oranları sonuçları elde edilir.

23. Örnek: Verilen şekilde AB değeri kaçtır?

24. Çözüm: Trigonometrik oranları kullanmak için dik üçgen oluşturulduğunda olur.

25. Bir trigonometrik oran verildiğinde diğerlerini bulmak Bir trigonometrik oran verildiğinde dik üçgen yardımı ile diğer trigonometrik oranlar bulunur.

26. Örnek 1 olduğuna göre diğer trigonometrik oranları bulunuz.

27. Çözüm: oranından yola çıkılarak bir dik üçgen çizilir. Pisagor bağıntısı kullanılarak üçüncü kenar bulunur.

28. TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN TEMEL ÖZELLİKLERİ

29. olur. • Bir sayı birim çember üzerindeki bir P noktasına eşleştirildiğinde tanıma göre P=(cosθ, sinθ) olduğu biliniyor. • Çemberin yarıçapı 1 olduğuna göre, P’nin apsis ya da ordinatının mutlak değeri en fazla 1’dir. O halde;

30. Birim çember üzerindeki P(x,y) noktasının apsisi cos θ, ordinatı sin θ olduğuna göre, I, II, III, IV numaralı bölgelerde trigonometrik fonksiyonların işaretleri,

31. olur.Örneğin cos 310 > 0, sin 310 < 0, tan 310 < 0’ dır.

32. Esas Ölçüleri θ, 180-θ, 180+θ, 360-θOlan Açılar

33. Esas Ölçüleri θ, 90-θ, 90+θ, 270-θ, 270+θOlan Açılar Üçgenlerin eşitliğinden K, L, M, N, noktalarının ordinatları (sinüsleri) P noktasının apsisine (kosinüsüne), apsisleri (kosinüsleri) ise P noktasının ordinatına (sinüsüne) mutlak değerce eşittir.

34. sin (90º-θ)=cos θ cos (90º-θ)=sin θ tan (90º-θ)=cot θ sin (270º-θ)=-cos θ cos (270º-θ)=-sin θ tan (270º-θ)=cot θ sin (90º+θ)=cos θ cos (90º+θ)=-sin θ tan (90º+θ)=-cot θ sin (270º+θ)=-cos θ cos (270º+θ)=sin θ tan (270º+θ)=-cot θ Bu bilgiden yola çıkılarak,

35. ÖLÇÜLERİ NEGATİF OLAN AÇILAR sin (-θ)=-sin θ cos (-θ)=cos θ tan (-θ)=-tan θ

36. ÖRNEK 1: sin 150º=? ÇÖZÜM: sin150º= sin (180º-30º)=sin30º=½ veya sin 150º=sin (90º+60º)=cos60º=½

37. ÖRNEK 2: cos 240º = ? ÇÖZÜM: cos 240 º= cos (180 º+60 º)=-cos60 º=-½ veya cos240 º=cos(270 º-30 º)=-sin30 º=-½

38. ÖRNEK 3: tan 315º = ? ÇÖZÜM: tan 315 º = tan (360 º-45 º) = -tan45 º = -1 veya tan 315 º = tan (270 º+45 º) = -cot 45 º= -1

39. ÖRNEK 4: sin 10º = a ise cos 190º’yi a cinsinden bulun. ÇÖZÜM: cos 190º=cos(180º+10º)=-cos10º 10º için dik üçgen çizilirse; -cos10º =-

40. ÖRNEK 5: sin(-840º)=? ÇÖZÜM: Önce - 840º’nin esas ölçüsü bulunur. -840º=-3.360º+240º Esas ölçü= 240º Sin(240º)=sin (180º+60º) =-sin60º =

41. ÖRNEK 6:sin(-150º)=? ÇÖZÜM: sin(-150º)=-sin 150º -sin(180º-30º) =-sin30º =-½

42. HERHANGİ BİR ÜÇGENDETRİGONOMETRİK BAĞINTILAR

43. I) SİNÜS TEOREMİ Herhangi bir ABC üçgeninde üçgenin çevrel çemberinin yarıçapı R olsun. ‘dir.

44. ÖRNEK 1: Yanda verilen üçgende c kenarının uzunluğunu ve bu üçgenin çevrel çemberinin yarıçapını bulun. ÇÖZÜM:

45. II) KOSİNÜS TEOREMİ Herhangi bir ABC üçgeninin kenar uzunlukları arasında, bağıntıları vardır.

46. ÖRNEK 1: Bir ABC üçgeninde a=4 b=3 c=6 ise kaçtır? ÇÖZÜM: 16=9+36-2.3.6 =

47. ÖRNEK 2: ÇÖZÜM: Kenarları arasında bağıntısı olan üçgenin açısının ölçüsü nedir? Verilen bağıntı ‘dır. Kosinüs teoremine göre ‘dir. O halde, olur.

48. ÖRNEK 3: ÇÖZÜM: ABD üçgeninde DBC üçgeninde Verilen şekilde x değerini bulun.

49. III) Herhangi Bir Üçgende Alan Formülleri

50. ÖRNEK 1: Verilen şekilde olduğuna göre ÇÖZÜM: