PRST (PST)

1. PRST (PST) Pravdepodobnosť & jej využitie

2. Grécke písmená

3. Koľko vás je? • 5 • 6 • 7 • 8 • 9 • 10 • 11 • 12 • 13 • 14 • 15 • 16

16. Na čo to komu bude? • Uľahčenie práce • Zjednodušenie problému • Predpovedanie budúcnosti 

17. Čo budeme skúmať? • Pokusy sa delia na: • Deterministické (nenáhodné) • Stochastické (náhodné) • Budeme sledovať pokusy, ktorých výsledkami budú javy • Javy, ktoré vykazujú štatistickú stabilitu:

18. Merateľný priestor • Ω – neprázdna množina obsahujúca všetky možné výsledky pokusu;priestor elementárnych javov • ω – elementárny jav; • A – neprázdny systém podmnožín Ω, ktorá je σ-aditívna, čiže: • AA • AA • – jav, A • (Ω, A) sa nazýva javové pole alebo merateľný priestor

19. Definícia pstnej funkcie • Nech (Ω, A) je javové pole, je zobrazenie také, že • (normovanosť) • A: (nezápornosť) • Asú po dvoch disjunktné (), potom (σ-aditivita) • Potom je funkcia pravdepodobnostná a svätá trojica (Ω, A, ) sa nazýva pravdepodobnostný priestor

20. Vlastnosti pstnej funkcie • Odvoditeľné z definície • (subtraktívnosť) • (monotónnosť)

21. Klasická psť • Definovaná vzťahom: • Príklad: Aká je pravdepodobnosť, že keď hodíme kockou, padne 6? • Riešenie:

22. Podmienená psť • Definovaná vzťahom: • Pripomenňme, že , inak nemá vzorec zmysel • Príklad: Na kôpke sú celé čísla od 1 po 10. Janko vyhrá, ak si vyberie číslo väčšie ako Anička. Aká je pravdepodobnosť, že vyhrá, ak si Anička vytiahla 4? • Riešenie: , z toho:

23. Vlastnosti podmienenej psti • Klasická psť je prípad podm., kedy : • Zo vzorca podm. psti vyplýva: • Predchádzajúci vzorec sa dá zovšeobecniť:

24. Príklad • V nádobe máme 3 čierne (B) a 3 biele guličky (W). Vytiahneme 3 guličky. Aká je pravdepodobnosť, že budú rovnakej farby? • Odpoveď:

25. Úplný systém javov • Majme (Ω, A, ) pravdepodobnostný priestor. Javy A tvoria úplný systém javov, ak platí: • Pre takýto systém javov potom platí:

26. Bayes • Nech A tvoria úplný systém javov v (Ω, A, ) tak, že 0 a tiež 0 . Ptm:

27. Príklad • Náhodná osoba bola vybratá na test choroby, ktorú má 1 % populácie. Test zdravého človeka ohodnotí ako zdravého s pravdepodobnosťou 0,95, nezdravého človeka ako nezdravého s pravdepodobnosťou 0,99. Náhodnej osobe ukázal test, že je chorá. S akou pravdepodobnosťou je osoba naozaj chorá? • Výsledok:

28. Váhová psť • Nech v (Ω, A, ) máme Ω spočetnú, kde každý jav má určenú pravdepodobnosť tak, že a . Potom (Ω, A, ) je pstný priestor.

29. Geometrická psť • Pstná funkcia definovaná predpisom: • Pod (miera) máme na mysli zobrazenie splňujúce nezápornosť, σ-aditivitu a . • Predpokladáme, že je borelovská.

30. Príklad • Aká je psť, že náhodne vygenerované čísla x, y z intervalu budú vyhovovať podmienke: • Výsledok:

31. Náhodná veličina (premenná) • Výsledok náhodného pokusu • Zobrazenie také, že: • Príklady: • Počet padnutých 6 po n hodoch • Počet hodov, kým nepadne 6 • Výška jedincov v populácii • Delenie: • Diskrétna náhodná veličina • Spojitá náhodná veličina

32. Distribučná funkcia • Definovaná pre danú na (Ω, A, ): • Distribučná funkcia má nasledovné vlastnosti: • Neklesajúca • Spojitá sprava • a 1

33. Príklad • Hádžeme obyčajnou kockou. Náhodná veličina X je počet hodených 6 po 3 hodoch. Nájdite distribučnú funkciu. • Riešenie

34. Riešenie • Určíme pre . Otázka je, aká je psť, že po 3 hodoch kockou padne 6 práve -krát? Ak je záporné, tak, keďže kocka padne najmenej 0 krát. • Určíme pre . Psť, že 6 padne po 3 hodoch 0-krát alebo menej je rovná .

35. Riešenie (pokr.) • Určíme pre . Napr. pre sa pýtame, aká je psť, že počet padnutých 6 bude menší alebo rovný . Logicky, 6 padne buď 0-krát, alebo aspoň 1-krát. Nemôže padnúť - krát. Pre tento interval vyhovuje teda iba 0, čiže

36. Riešenie (pokr.) • Určíme pre . Šestka môže tentokrá padnúť 0 alebo 1 krát. Vypočítame ako: • Zvyšok si skúste spraviť sami. Riešenie je ďalej.

37. Výsledok • Distribučná funkcia pre našu náhodnú veličinu v plnej kráse: a inak.

38. Diskrétna náhodná veličina • Postupnosť nenulových pravdepodobností • Opisuje ju pravdepodobnostná funkcia: • Pre pstnú funkciu a distribučnú funkciu platí vzťah:

39. Príklad • Uvažujme náhodnú veličinu X ako v predchádzajúcom príklade. Určime jej pstnú funkciu. • Riešenie: Najprv uvážme hodnotu pstnej funkcie na množine . Psť, že počet padnutých 6 bude v tejto množine je logicky 0. Preto:

40. Riešenie • Vyriešme pstnú funkciu pre . Psť, že kocka padne práve 0 krát je: • Vyriešme pre :

41. Riešenie • Podobne sa pre dopracujeme k výsledku pre 2 a 3. Riešením je:

42. Príklady diskrétnych rozdelení • Alternatívne rozdelenie • Binomické rozdelenie • Poissonovo rozdelenie

43. Alternatívne rozdelenie • Jeden pokus, jav buď nastane, alebo nenastane. Náhodná veličina je počet javov, ktoré nastanú. Ak jav nastane s pravdepodobnosťou , potom: a 0 inak

44. Binomické rozdelenie • Jav nastane s psťou . Náhodná veličina je počet pokusov, kedy jav nastal. Pokus opakujeme -krát. Potom: pre , 0 inak

45. Poissonovo rozdelenie • Jav nastáva s hustotou λ. Náhodná veličina je počet javov, ktoré za dané obdobie nastanú. Potom platí: pre N, 0 inak

46. Príklad • V Brnenskej nemocnici denne porodia v priemere 5 bábätiek. Aká je psť, že zajtra sa nenarodí ani jedno? • Riešenie: Náhodná veličina počet narodených bábätiek má Poissonovo rozdelenie. Vypočítame:

47. Spojité náhodné veličiny • Opisuje ju pravdepodobnostná funkcia: • Následne potom: Kde sa nazýva hustota rozdelenia pravdepodobnosti

48. Vlastnosti hustoty

49. Spojité rozdelenia • Rovnomerné rozdelenie • Exponenciálne rozdelenie • Normálne rozdelenie • Gamma rozdelenie

50. Rovnomerné rozdelenie • Náhodná veličina má rovnomerné rozdelenie na intervale , ak psti každého bodu sú „rovnaké“, inak povedané, hustota je konštantná. Čiže: