Relace, operace, struktury

1. Relace, operace, struktury

2. K čemu slouží relace • K evidenci nějaké množiny objektů popsané pomocí jejich vlastností (atributů), viz relační algebra a relační databáze • K popisu vztahů mezi objekty jedné množiny

3. Definice relace • Relace mezi množinami A1,A2,…,An je jakákoliv podmnožina kartézského součinu A1xA2x…xAn. • n-nární relace na množině A je podmnožina kartézského součinu AxAx…xA. • Unární relace – vlastnost prvku • Binární relace – vztah mezi dvěma prvky

4. Vlastnosti relací • Reflexivní relace: pro každé x z A platí x R x • Symetrická relace: pro každá x,y z A platí: pokud x R y, pak y R x • Tranzitivní relace: pro každá tři x,y,z z A platí: pokud x R y a y R z, pak x R z

5. „Negativní“ vlastnosti • Nesymetrická relace: existuje alespoň jedna dvojice x,y z A taková, že x R y, ale nikoli y R x (opak symetričnosti) • Antisymetrická relace: pro každé x,y z A platí: pokud x R y a y R x, pak x=y • Asymetrická relace: pro každé x,y z A platí: pokud x R y, pak není y R x

6. Úplnost relací • Úplná relace: pro každá dvě x,y z A je buď x R y, nebo y R x • Slabě úplná relace: pro každá dvě různá x,y z A je buď x R y, nebo y R x

7. Ekvivalence • Relace • Reflexivní • Symetrická • Tranzitivní • Rozkládá nosnou množinu na třídy ekvivalence

8. Uspořádání • Kvaziuspořádání (může obsahovat ekvivalentní i neporovnatelné prvky) • Reflexivní • Tranzitivní • Částečné uspořádání (mohou existovat neporovnatelné prvky, ale ne ekvivalentní) • Reflexivní • Tranzitivní • antisymetrická

9. Uspořádání • Slabé uspořádání (mohou existovat ekvivalentní prvky, ale ne neporovnatelné) • Reflexivní • Tranzitivní • Úplná • (úplné) uspořádání • Reflexivní • Tranzitivní • Antisymetrická • Úplná

10. Uspořádání

11. Známka • U konečných a spočetných množin lze uspořádání a slabé uspořádání vyjádřit číselnou známkou: • X R y , právě když zn(x) ≤ zn(y) • U kvaziuspořádání a částečného uspořádání to nelze, potřebujeme více známek. • Některé preferenční relace nelze zařadit do žádné z kategorií uspořádání (například prahová nerozlišitelnost – není tranzitivní)

12. Ostrá uspořádání • Ostré částečné uspořádání • Ostré slabé uspořádání • Ostré (úplné) uspořádání • Není vyžadována reflexivita

13. Zaznamenání relace • Výčtem prvků: {(orchidej, orchidej), (orchidej, růže), (orchidej, karafiát), (orchidej, tulipán), (orchidej, fialka), (orchidej, bodlák), (růže, růže), (růže, karafiát), (růže, tulipán), (růže, bodlál), (karafiát, karafiát), (karafiát, bodlák), (tulipán, tulipán), (tulipán, bodlák), (fialka, fialka), (fialka, bodlák), (bodlák, bodlák)}.

14. Zaznamenání relace • tabulkou

15. Graf relace

16. Hasseho diagram • Jen pro tranzitivní relace

17. Operace • Předpis, který dvěma, nebo více prvkům dané množiny přiřadí výsledek • n-nární operace na množině A je (n+1)-nární relace na množině, pro kterou platí, že pokud (x1,x2,…xn,y) je v relaci a (x1,x2,…,xn,z) je v relaci, pak y=z.

18. Četnost (arita) operací • Nulární (konstanta) • Unární (funkce) • Binární (klasické operace) • Ternální a vyšších řádů

19. Vlastnosti binárních operací • Úplnost: pro každá x,y existuje x ⊕ y • Komutativnost: x ⊕ y = y ⊕ x • Asociativita: (x⊕ y) ⊕ z = x⊕ (y⊕ z) • Neutrální prvek: existuje prvek ε, pro který x⊕ε = ε ⊕ x = x • Inverzní prvek: pro každé x existuje y, pro které x⊕ y = ε

20. Algebra • Množina • Systém operací • Systém vlastností (axiomů), které tyto operace splňují

21. Pologrupa, monoid • Libovolná množina • Operace ⊕ • Pologrupa • Úplná • Asociativní • Monoid • Úplná • Asociativní • S neutrálním prvkem

22. Grupa • Operace ⊕ • Úplná • Asocoativní • S neutrálním prvkem • S inverzními prvky • Abelova grupa • Navíc komutativní

23. Příklady grup • Přirozená čísla a sčítání • Nenulová reálná čísla a násobení • Permutace konečné množiny • Matice daného rozměru a sčítání • Pohyby Rubikovy kostky

24. Okruh • Množina se dvěma operacemi  a  • Vůči operaci  se jedná o Abelovu grupu • Operace  je úplná, komutativní, asociativní, má neutrální prvek • Nemusí existovat inverzní prvky vzhledem k  • Platí distributivní zákon: x (y  z)=(x y) ( y z) • Například celá čísla s operacemi násobení a sčítání • Zbytkové třídy celých čísel po dělení číslem n.

25. Obor integrity • Okruh • Navíc neexistují netriviální dělitelé nuly, tedy pokud x,y není rovno ε, pak x  y není rovno ε. • Celá čísla jsou obor integrity. • Zbytkové třídy po dělení prvočíslem p jsou obor integrity. • Zbytkové třídy po dělení neprvočíslem n jsou okruh, ale ne obor integrity • V Z6 platí 3.2=0

26. Těleso • Množina T se dvěma operacemi  a  • T a  tvoří Abelovu grupu s neutrálním prvkem ε • T-{ε} a  tvoří Abelovu grupu • Vůči okruhu se navíc požaduje existence inverzních prvků k  (tedy „možnost dělit“) • Příklady: zlomky, reálná čísla, komplexní čísla, zbytkové třídy po dělení prvočíslem, logické spojky AND a OR.

27. Svaz • Množina S se dvěma operacemi  (spojení) a  (průsek) •  a  jsou komutativní a asociativní • Platí distributivní zákony • a  (b  c) = (a  b)  (a c) • a  (b  c) = (a  b)  (a c) • Absorbce: a (b  a)=a, a (b  a)=a • Idenpotence a  a = a, a  a = a • Příklady • Výrokové formule a spojky AND a OR • Podmnožiny dané množiny a operace sjednocení a průniku • Prvky částečně uspořádané množiny a operace supremum a infimum.