1 / 27

Relace, operace, struktury

Relace, operace, struktury. K čemu slouží relace. K evidenci nějaké množiny objektů popsané pomocí jejich vlastností (atributů), viz relační algebra a relační databáze K popisu vztahů mezi objekty jedné množiny. Definice relace.

ellema
Download Presentation

Relace, operace, struktury

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. Relace, operace, struktury

  2. K čemu slouží relace • K evidenci nějaké množiny objektů popsané pomocí jejich vlastností (atributů), viz relační algebra a relační databáze • K popisu vztahů mezi objekty jedné množiny

  3. Definice relace • Relace mezi množinami A1,A2,…,An je jakákoliv podmnožina kartézského součinu A1xA2x…xAn. • n-nární relace na množině A je podmnožina kartézského součinu AxAx…xA. • Unární relace – vlastnost prvku • Binární relace – vztah mezi dvěma prvky

  4. Vlastnosti relací • Reflexivní relace: pro každé x z A platí x R x • Symetrická relace: pro každá x,y z A platí: pokud x R y, pak y R x • Tranzitivní relace: pro každá tři x,y,z z A platí: pokud x R y a y R z, pak x R z

  5. „Negativní“ vlastnosti • Nesymetrická relace: existuje alespoň jedna dvojice x,y z A taková, že x R y, ale nikoli y R x (opak symetričnosti) • Antisymetrická relace: pro každé x,y z A platí: pokud x R y a y R x, pak x=y • Asymetrická relace: pro každé x,y z A platí: pokud x R y, pak není y R x

  6. Úplnost relací • Úplná relace: pro každá dvě x,y z A je buď x R y, nebo y R x • Slabě úplná relace: pro každá dvě různá x,y z A je buď x R y, nebo y R x

  7. Ekvivalence • Relace • Reflexivní • Symetrická • Tranzitivní • Rozkládá nosnou množinu na třídy ekvivalence

  8. Uspořádání • Kvaziuspořádání (může obsahovat ekvivalentní i neporovnatelné prvky) • Reflexivní • Tranzitivní • Částečné uspořádání (mohou existovat neporovnatelné prvky, ale ne ekvivalentní) • Reflexivní • Tranzitivní • antisymetrická

  9. Uspořádání • Slabé uspořádání (mohou existovat ekvivalentní prvky, ale ne neporovnatelné) • Reflexivní • Tranzitivní • Úplná • (úplné) uspořádání • Reflexivní • Tranzitivní • Antisymetrická • Úplná

  10. Uspořádání

  11. Známka • U konečných a spočetných množin lze uspořádání a slabé uspořádání vyjádřit číselnou známkou: • X R y , právě když zn(x) ≤ zn(y) • U kvaziuspořádání a částečného uspořádání to nelze, potřebujeme více známek. • Některé preferenční relace nelze zařadit do žádné z kategorií uspořádání (například prahová nerozlišitelnost – není tranzitivní)

  12. Ostrá uspořádání • Ostré částečné uspořádání • Ostré slabé uspořádání • Ostré (úplné) uspořádání • Není vyžadována reflexivita

  13. Zaznamenání relace • Výčtem prvků: {(orchidej, orchidej), (orchidej, růže), (orchidej, karafiát), (orchidej, tulipán), (orchidej, fialka), (orchidej, bodlák), (růže, růže), (růže, karafiát), (růže, tulipán), (růže, bodlál), (karafiát, karafiát), (karafiát, bodlák), (tulipán, tulipán), (tulipán, bodlák), (fialka, fialka), (fialka, bodlák), (bodlák, bodlák)}.

  14. Zaznamenání relace • tabulkou

  15. Graf relace

  16. Hasseho diagram • Jen pro tranzitivní relace

  17. Operace • Předpis, který dvěma, nebo více prvkům dané množiny přiřadí výsledek • n-nární operace na množině A je (n+1)-nární relace na množině, pro kterou platí, že pokud (x1,x2,…xn,y) je v relaci a (x1,x2,…,xn,z) je v relaci, pak y=z.

  18. Četnost (arita) operací • Nulární (konstanta) • Unární (funkce) • Binární (klasické operace) • Ternální a vyšších řádů

  19. Vlastnosti binárních operací • Úplnost: pro každá x,y existuje x ⊕ y • Komutativnost: x ⊕ y = y ⊕ x • Asociativita: (x⊕ y) ⊕ z = x⊕ (y⊕ z) • Neutrální prvek: existuje prvek ε, pro který x⊕ε = ε ⊕ x = x • Inverzní prvek: pro každé x existuje y, pro které x⊕ y = ε

  20. Algebra • Množina • Systém operací • Systém vlastností (axiomů), které tyto operace splňují

  21. Pologrupa, monoid • Libovolná množina • Operace ⊕ • Pologrupa • Úplná • Asociativní • Monoid • Úplná • Asociativní • S neutrálním prvkem

  22. Grupa • Operace ⊕ • Úplná • Asocoativní • S neutrálním prvkem • S inverzními prvky • Abelova grupa • Navíc komutativní

  23. Příklady grup • Přirozená čísla a sčítání • Nenulová reálná čísla a násobení • Permutace konečné množiny • Matice daného rozměru a sčítání • Pohyby Rubikovy kostky

  24. Okruh • Množina se dvěma operacemi  a  • Vůči operaci  se jedná o Abelovu grupu • Operace  je úplná, komutativní, asociativní, má neutrální prvek • Nemusí existovat inverzní prvky vzhledem k  • Platí distributivní zákon: x (y  z)=(x y) ( y z) • Například celá čísla s operacemi násobení a sčítání • Zbytkové třídy celých čísel po dělení číslem n.

  25. Obor integrity • Okruh • Navíc neexistují netriviální dělitelé nuly, tedy pokud x,y není rovno ε, pak x  y není rovno ε. • Celá čísla jsou obor integrity. • Zbytkové třídy po dělení prvočíslem p jsou obor integrity. • Zbytkové třídy po dělení neprvočíslem n jsou okruh, ale ne obor integrity • V Z6 platí 3.2=0

  26. Těleso • Množina T se dvěma operacemi  a  • T a  tvoří Abelovu grupu s neutrálním prvkem ε • T-{ε} a  tvoří Abelovu grupu • Vůči okruhu se navíc požaduje existence inverzních prvků k  (tedy „možnost dělit“) • Příklady: zlomky, reálná čísla, komplexní čísla, zbytkové třídy po dělení prvočíslem, logické spojky AND a OR.

  27. Svaz • Množina S se dvěma operacemi  (spojení) a  (průsek) •  a  jsou komutativní a asociativní • Platí distributivní zákony • a  (b  c) = (a  b)  (a c) • a  (b  c) = (a  b)  (a c) • Absorbce: a (b  a)=a, a (b  a)=a • Idenpotence a  a = a, a  a = a • Příklady • Výrokové formule a spojky AND a OR • Podmnožiny dané množiny a operace sjednocení a průniku • Prvky částečně uspořádané množiny a operace supremum a infimum.

More Related