- 8 장 - 상태공간 해석 및 설계

1. -8장- 상태공간 해석 및 설계

2. Contents 8.1 서론 8.2Laplace변환을 이용한 상태공간모델의 해 8.3 계산 8.4모드 해석에 의한 상태공간모델의 해 8.5가제어성 8.6가관측성 8.7안정도 8.8상태 피드백과 출력 피드백 8.9극점배치기법을 이용한 제어시스템 설계 8.10상태 피드백과 서보 설계 8.11 관측기 설계 8.12 MATLAB을 이용한 상태공간 해석 및 설계

3. 8.1 서론 • 주파수역 접근법 • 적용 시스템: 단일입출력 선형 시불변 시스템 • 시스템 모델식: 전달함수 • 특징: 적용할 수 있는 제어대상 시스템이 제한되어 있음 • 시간역 접근법 - 적용 시스템: 일반 시스템 (다변수 비선형 시변 시스템 등) - 시스템 모델식: 상태공간 모델식 (상태방정식 및 출력방정식) - 특징: • 최적제어, 적응제어 등 고급 제어기법에 적용할 수 있음 • 모델의 불확실성에 의해 실제 시스템에 적용할 때 만족스럽지 못한 경우 발생할 수 있음 • 시간 및 주파수역 접근법(강인 제어기법) - 적용 시스템: 일반 시스템 (다변수 비선형 시변 시스템 등) • 시스템 모델식: 상태공간 모델식 및 전달함수행렬 • 특징: 상태공간 및 주파수역 기법의 장점들을 결합시켜 모델 불확실성 문제를 제어시스템 설계 시에 고려할 수 있음

4. 초기조건에 의한 상태변화 입력에 의한 상태변화 - 상태변수 및 출력 8.2 Laplace 변환을 이용한 상태공간모델의 해 • 1차 스칼라 시스템의 상태공간모델식 (8.1) (8.2) - 상태방정식 (8.1)에 Laplace 변환 수행 (8.3) 의 해 (8.6) (8.7)

5. [ : Paynter 행렬] - 다변수 상태공간모델에 대한 상태벡터 x(t)및 출력벡터 y(t) (8.10) (8.11) - 스텝입력 u(t)가 가해졌을 때의 시간해 x(t) (8.15) 여기서 (8.16) (8.17)  (8.18) 정상상태응답 ( ):

6. 8.3 계산 • 를 유한급수의 합으로 표현할 수 있는 계산 방법 Cayley-Hamilton 이론 Sylvester 전개이론 고유값/고유벡터 적용 • Cayley-Hamilton 이론 적용 (8.25) (8.28)

7. 개별적인 고유값을 갖는 경우 (8.29) 복소공액 고유값을 갖는 경우 (8.30) 중복된 고유값을 갖는 경우 (8.31)

8. 여기서 는 우측고유벡터, 는 좌측고유벡터 • Sylvester 전개이론 적용 (8.32) 여기서 • 고유값/고유벡터 적용 (8.34) (8.35) (8.36) (8.37) (8.38) 

9. 고유값/고유벡터 적용 8.4 모드 해석에 의한 상태공간모델의 해 • 비입력 선형 시불변 시스템 - 상태방정식 (8.39) - 시간해 (8.38) (8.41) 또는 (8.42)

10. 일반적인 선형 시불변 시스템(입력 포함) - 상태방정식과 시간해 (8.43) (8.44) - 출력방정식과 시간해 (8.48) (8.49)

11. - 복소수역에서의 상태벡터 및 출력벡터의 해 (8.50) (8.51) 모드 해석에 의한 상태공간모델의 해는 시스템의 고유값, 좌측 및 우측 고유벡터로 표현된다. 모드 개념은 시스템의 가제어성 및 가관측성을 판단하는데 매우 유용하다.

12. 어떠한 초기상태 과 어떠한 최종상태 에 대하여 유한시간 T 사이에서 부분연속(piecewise-continuous)함수 알 수 없다 알 수 있다 8.5 가제어성(controllability) • 제어시스템을 설계하기 전 우선 제어기 설계가 가능한 지를 판정하는데 사용되는 기본적인 개념 제어 가능(controllable) 제어 불가능(uncontrollable) - 가제어성 개념의 적용 고유구조할당을 이용한 제어시스템 설계 최적제어기법을 이용한 제어시스템 설계 - 선형 시스템에 대한 시험방법 모드 접근법: 시스템의 모드를 이용하여 해석 고전적 접근법: 가제어성행렬을 이용하여 해석

13. 그림 8.1제어입력벡터와 좌측 고유벡터 • 모드 접근법을 이용한 가제어성 시험 - 선형 시불변 시스템에 대한 상태방정식 (8.52) - 선형 시불변 시스템에 대한 모드 해석에 의한 시간해 (8.53) 어떤 에 대하여  제어 불가능  시스템: 제어 불가능  시스템: 제어 가능

14. 또는  복소 모드: 제어 불가능 또는  복소 모드: 제어 가능 - 복소 모드를 갖는 시스템의 가제어성 공액복소 고유값 이 존재하면 우측 및 좌측 고유벡터도 공액복소 고유벡터를 가짐 (8.54) • 가안정성(stabilizability) - 실제 제어시스템 설계시 가제어성 보다 더 유용한 개념 - 모드 가 제어 불가능한 경우 제어 불가능한 모드: 안정  모드 안정 가능(stabilizable) 시스템 [A, B] 안정 가능 제어 불가능한 모드: 불안정  모드 안정 불가능(unstabilizable) 시스템 [A, B] 안정 불가능

15. 고전적 가제어성 시험방법 - 가제어성행렬MC (8.55) 여기서 A: 시스템행렬, B: 제어입력행렬 - 가제어성행렬 MC의 랭크조사 rank(Mc) = n 시스템 [A, B] 제어 가능 rank(Mc) < n  시스템 [A, B] 제어 불가능 제어 가능 여부만 조사 시스템의 가안정성 조사 불가능

16. 예제 8.4 시스템의 가제어성/가안정성 조사 여기서 - 가제어성행렬 -  시스템: 제어 가능, 안정 가능

17. 예제 8.5 시스템의 가제어성/가안정성 조사 여기서 - 가제어성행렬 : 시스템의 안정가능 여부를 알 수 없음 -  시스템: 제어 불가능 - 모드 접근법에 의한 가안정성 조사 - 두 번째 행벡터 0  모드 는 모든 입력에 대하여 제어 불가능 - 제어 불가능한 모드: 안정( ) 시스템: 안정 가능

18. 계산할 수 없다 계산할 수 있다 최종시간까지의 입력 및 출력의 측정값으로부터 임의적이기는 하나 고정된 초기상태 8.6 가관측성 • 입출력 기록을 기반으로 시스템의 상태를 재구성 할 수 있는 지를 판정 하는데 사용되는 기본적인 개념 - 가관측성 개념의 적용 관측기(observer) 설계 Kalman 필터 설계 시스템 인식(system identification) 동적 제어기 설계 관측 불가능 (unobservable) 관측 가능 (observable) - 선형 시불변 시스템(비입력 시스템)의 상태공간모델식 (8.62) (8.63) - 상태벡터 및 출력벡터의 시간해 (8.64) (8.65)

19.  번째 모드는 번째 출력에서 관측 불가능 번째 모드가 번째 출력에 기여하는 정도 - 모드 가 관측 불가능한 경우 • 모드 접근법을 이용한 시험방법 - 출력방정식 (8.67) - 각 모드의 합으로 표현된 출력 (8.69) 번째 모드는 모든 출력으로부터 관측 불가능  시스템 [A, C] 관측 불가능 • 가검출성(detectability) - 실제 제어시스템 설계시 가관측성 보다 더 유용한 개념 관측 불가능한 모드: 안정  모드 검출가능  시스템 [A, C] 검출 가능 관측 불가능한 모드: 불안정  모드 검출 불가능  시스템 [A, C] 검출 불가능

20. 고전적 가관측성 시험방법 - 가관측성행렬Mo (8.70) 여기서 A: 시스템행렬, C: 출력행렬 - 가관측성행렬 Mo의 랭크조사 rank(Mo) = n 시스템 [A, C] 관측 가능 rank(Mo) < n 시스템 [A, C] 관측 불가능 관측 가능 여부만 조사 시스템의 가검출성 조사 불가능

21. 예제 8.7 - 가관측성행렬 시스템의 가관측성/가검출성 조사 여기서 -  시스템: 관측 가능, 검출 가능 - 모드 접근법에 의한 가관측성/가검출성 조사 , 모드 : 관측 불가능 모드 , : 관측 가능, 관측 불가능 0인 열벡터 없음  시스템: 관측 가능, 검출 가능

22. 시스템의 전달특성 제어 가능하고 관측 가능한 부시스템 제어 가능하고 관측 불가능한 부시스템 제어 불가능하고 관측 가능한 부시스템 제어 불가능하고 관측 불가능한 부시스템 • 전달함수행렬 G(s) y(s)=G(s)u(s) 여기서 제어 가능하고 관측 가능한 부 시스템 만 관련 있음 그림 8.2 가제어성/가관측성에 따른 시스템 분할

23. 예제 8.8 가제어성/가관측성에 따른 시스템 분할 및 시스템의 전달함수 구하기 • 분할된 부시스템으로부터 제어 가능하고 관측 가능한 부시스템 의 입출력 관계를 나타내는 전달함수 - 실제 시스템은 3차 시스템 (고유값 3개) - 전달함수 에는 의 모드만 나타남 (극점 1개) 그림 8.3 3차 시스템에 대한 시스템 분할

24. 으로부터 일 때 8.7 안정도 • 점근적 안정도 (8.71) (8.72) - 식 (8.71)을 대각선형 상태공간모델식으로 변환 여기서 (8.75) (8.76) 이면, - 시스템행렬 A의 고유값의 실수부  시스템: 점근적으로 안정 • BIBO 안정도 - 시스템 출력이 모든 한정된 입력에 대하여 한정 (8.77) BIBO 안정도 보장 - 시스템 전달함수의 모든 극점의 실수부 ※ 극점-영점 상쇄가 없다면 전달함수의 극점과 시스템의 고유값 동일

25. 여기서 8.8 상태 피드백과 출력 피드백 • 개루프 시스템 - 상태공간모델식 (가정) [A, B]는 제어 가능, [A, C]는 관측 가능 그림 8.4개루프 시스템

26. n개의 폐루프 고유값 를 지정 가능 n개의 폐루프 고유벡터에서 각 고유벡터의 요소 중 min(m, n)개 임의로 지정 가능 • 전 상태 피드백 제어시스템 - 제어법칙 (가정) 모든 상태변수 측정가능 - 폐루프 시스템의 상태공간모델식 그림 8.5상태 피드백 제어시스템 - 시스템이 적어도 안정 가능(stabilizable)하고 모든 상태변수를 측정할 수 있는 경우에만 사용가능 ※ rank[B] = m, [A,B]가 제어가능하면,

27. 그림 8.6출력 피드백 제어시스템 • 출력 피드백 제어시스템 - 제어법칙 - 폐루프 시스템의 상태공간모델식 [A, B]는 제어 가능, [A, C]는 관측 가능 (가정) ※ rank[B] = m, rank[C] = p, [A,B] 제어 가능, [A,C] 관측 가능하면 • max(m, p)개의 폐루프 고유값을 지정 가능 • max(m, p)개의 폐루프 고유벡터에서 각 고유벡터 요소 중 min(m, p)개를 임의로 지정 가능

28. 8.9 극점배치법을 이용한 제어시스템 설계 - 개루프 시스템의 상태공간모델식 (8.87) - 제어법칙 (8.88) - 폐루프 시스템의 상태방정식 (8.89) - 폐루프 시스템 [A-bg]의 극값, 고유값 계산 또는 (8.91)

29. 바람직한 폐루프 극점배치 - 바람직한 폐루프 극점 배치 방법 요구되는 성능(정착시간, 최대오버슈트 등)을 만족 시킬 수 있도록 대표극점 배치 • 나머지 극점들은 대표극점으로부터 충분히 떨어진 위치에 배치 (대표극점의 고유주파수의 3배~5배) 그림 8.7바람직한 극점배치

30. 제어게인 선정방법(바람직한 위치에 극점 배치) (1) 특성방정식의 계수 비교 - 요구되는 극점 위치로부터 구한 바람직한 특성방정식 또는 (8.93) - 제어게인을 포함한 실제 특성방정식 (8.94) - 식 (8.93)과 식 (8.94)의 계수를 비교  n개의 제어게인 선정

31. (2) 폐루프 시스템행렬 와 비교 - 폐루프 시스템행렬 (8.96) - 바람직한 특성방정식 (8.93)으로부터 유도된 (8.97) - 행렬 와 의 마지막 행의 각 요소 일치시킴  제어게인 선정 (8.98)

32. 예제 8.10 2차 시스템에 대한 상태 피드백 제어시스템 설계 (설계사양) • 일정한 입력에 대한 0-정상상태오차 • 감쇠비 ζ≥ 0.707 • 고유주파수 ωn≥ 1rad/sec 그림 8.8 불안정한 2차 시스템 • 우선 일정한 입력에 대하여 0-정상상태오차를 얻기 위하여 오차신호 e를 새로운 상태변수로 첨가한 상태 피드백 제어시스템 구성 그림 8.9적분기를 포함한 상태 피드백 제어시스템

33. - 개루프 시스템의 상태방정식 - 상태 피드백 제어법칙 - 폐루프 시스템의 상태방정식

34. - 폐루프 특성방정식 또는 - 설계사양(ζ≥ 0.707, ωn ≥ 1rad/sec)을 만족시킬 수 있는 폐루프 극점배치를 위해 바람직한 폐루프 특성방정식 선정 - 특성방정식 와 의 계수들을 비교  제어게인 선정

35. 8.10 상태 피드백과 서보 설계 - 상태 피드백의 적용 극점배치 고유구조지정(eigenstructure assignment) LQ 최적제어(linear quadratic optimal control)기법 - 개루프 시스템의 상태공간모델식 및 제어법칙 모든 상태변수 측정가능 (가정) - 폐루프 시스템의 상태공간모델식 그림 8.10상태 피드백 제어시스템 레귤레이터 - 그림 8.10에서

36. 서보 시스템의 명령추종 성능 평가 그림 8.11상태 피드백을 이용한 서보 시스템 - 오차신호 e(s)가 피드백 안 됨 - e(s)의 개수 p와 v(s)의 개수 m이 일반적으로 일치하지 않음 서보 기능 수행 못함 (제안) 상태 피드백과 포워드 제어를 포함하는 제어방법 그림 8.12포워드 제어를 포함한 상태 피드백 제어시스템

37. 설계 파라미터 G와 F선정 방법 - 상태 피드백 제어로부터 피드백 제어게인행렬 G 선정 - 명령추종 성능을 향상시킬 수 있는 적절한 포워드 제어게인행렬 F 선정 • 설계 파라미터 F선정 (가정) 제어입력 u(s)의 개수와 출력 y(s)의 개수 같음 (8.104) 여기서 (8.105) - s = 0에서 식 (8.104)가 만족되도록 설계 파라미터 F 선정 (8.106)  되도록 F 선정 (8.108) 또는

38. 피드백 및 피드포워드 제어를 이용한 서보시스템 그림 8.13피드백 및 피드포워드 제어를 이용한 서보 시스템 - 오차신호 (8.109) - 상태벡터 재정리 출력벡터 상태변수 중에서 출력 y(t)를 제외한 상태변수로 이루어진 상태벡터

39. - 상태공간모델식 (8.110) 여기서 - 제어법칙 (8.111) 여기서

40. ※ 전달함수 G(s) = 1/s2인 플랜트에 대한 제어시스템 설계 ① 상태 피드백 제어만을 이용한 서보 시스템 ② 피드백 및 피드포워드 제어를 이용한 서보 시스템 (설계사양) 바람직한 폐루프 극점: - 상태공간모델식 (8.112) - 극점배치기법을 이용한 바람직한 폐루프 시스템의 극점 지정 - 제어법칙 (8.113)

41. 그림 8.14상태 피드백 제어를 이용한 서보 시스템 그림 8.15그림 8.14에 표시된 서보 시스템의 단위스텝응답 (분석) • 과도응답 성능 만족 • 정상상태응답 성능 불만족 정상상태에서 출력이 0.2 =단위스텝기준입력의 1/5배

42. 정상상태응답 성능 개선 방법 - 피드백 및 피드포워드 제어 적용 (그림 8.13)  과도응답 및 정상상태응답 성능 모두 만족 - 제어법칙: (8.116) 그림 8.16피드백 및 피드포워드 제어를 이용한 서보 시스템 그림 8.17그림 8.16에 표시된 서보 시스템의 단위스텝응답 (결론) - 저주파에서 에너지를 갖는 기준입력에 대한 정상상태응답 성능 향상 - 극점배치기법에 의한 공칭안정도 및 과도응답 성능 충족

43. 8.11 관측기 설계 그림 8.18관측기의 구조 - 관측기 상태방정식 (8.118) 여기서 H: 관측기 게인행렬 - 관측기 목적 상태추정오차 빠르게 0으로 수렴 상태 x를 추정 - 상태 추정오차에 대한 동특성 (8.119) ※ 상태추정오차의 동특성 (A-HC)가 상태 피드백 제어의 동특성 (A-BG)보다 3~5배 더 빠르게 되도록 관측기 게인행렬 H선정

44. 예제 8.11 레귤레이터에 대한 상태 피드백 제어기 및 관측기 설계 여기서 (설계사양) 폐루프 극점이 -2에 놓이도록 함 시스템의 고유주파수 ωn: 2배, 감쇠비 ζ: 0 → 1로 증가시키는 효과 (8.120) - 설계사양을 만족하는 폐루프 특성방정식: - 제어게인을 포함한 폐루프 특성방정식 (8.121) 또는 - 식 (8.120)과 식 (8.121)을 이용하여 상태 피드백 제어게인 G 선정  G = [3 4]

45. 관측기 게인 선정 • 상태추정오차의 동특성 (A-HC)가 상태 피드백 제어의 동특성 (A-BG)보다 5배 빠르게 관측기의 두 극점 모두 -10에 배치  관측기의 바람직한 특성방정식 (8.122) - 관측기 게인을 포함한 특성방정식 또는 (8.123) - 식 (8.122)와 식 (8.123)를 이용하여 관측기 게인 H 선정  H = [20 99]T

46. 관측기를 이용한 상태 피드백 제어시스템의 상태공간모델식 그림 8.19관측기를 이용한 상태 피드백 제어시스템의 구조

47. - 초기조건 일 때 출력 와 추정된 출력 에 대한 응답 관측기의 초기조건: 그림 8.20레귤레이터의 초기조건에 대한 출력 와 추정된 출력 의 응답 (분석) • 관측기에서 상태추정은 초기 과도상태를 지난 후 실제 상태를 잘 추적함 - 출력 와 추정된 출력 사이의 오차 동특성은 제어시스템의 동특성 보다 5배 빠름

48. 예제 8.12 8.12 MATLAB을 이용한 상태공간 해석 및 설계 시스템의 가제어성 및 가관측성 조사 가제어성 조사 프로그램 가관측성 조사 프로그램

49. 예제 8.14 시스템에 대한 관측기 설계 여기서 (설계사양) 관측기의 바람직한 극점: - ‘place’명령을 사용하여 관측기 게인행렬 H 선정 관측기 설계 가능여부 조사하기 위하여 가관측성행렬 Mo 구함 가관측성행렬 Mo의 rank 조사  시스템의 가관측성 판정 관측 가능하면 ‘place’명령을 사용하여 관측기 게인행렬 H 선정

50. 바람직한 관측기의 극점 op=[p1, p2, p3] - 관측기 구조: 그림 8.18 - 관측기의 상태방정식: - 바람직한 관측기 게인행렬