§4.1 力学量随时间的演化 §4.2 波包的运动， Ehrenfest 定理 §4.3 Schrödinger 图像与 Heisenberg 图像

1. 第4章 力学量随时间的演化与对称性 §4.1力学量随时间的演化 §4.2 波包的运动，Ehrenfest定理 §4.3 Schrödinger 图像与Heisenberg图像 §4.4 *守恒量与对称性的关系 §4.5 全同粒子体系与波函数的交换对称性

2. §4.1 力学量随时间的演化 4.1.1 守恒量 1.经典物理中的守恒量 守恒量：力学量的值不随时间变化 动量守恒： 质点受的合外力为零 机械能守恒：外力和内非保守力不做功 角动量守恒：质点所受到的合外力矩为零 2.量子力学中的守恒量 守恒量：在任意态下力学量的平均值不随时间变化 在任意量子态Ψ下，力学量A的平均值为 守恒的条件？

3. Note 若力学量不显含时间，即 则 若

4. 可见：若力学量A与体系的哈密顿量对易，则A为守恒量。可见：若力学量A与体系的哈密顿量对易，则A为守恒量。 3. 守恒量的性质 选包括H和A在内的一组力学量完全集，则 体系的任意量子态可表示为 在Ψ态下，测力学量A的Ak的概率为 则该概率随时间的变化为

5. 结论： 如果力学量A不含时间，若[A, H]=0(即为守恒量)，则 无论体系处于什么状态，A的平均值和测值概率均不随时间变化。

6. 4. 经典与量子力学中的守恒量间的关系 (1)与经典力学中的守恒量不同，量子力学中的守恒量不一定取 确定的数值. 若初始时刻体系处于守恒量A的本征态，则体系 将保持在该本征态。此态对应的量子数将伴随终生，因此守 恒量的本征态对应的量子数称为好量子数。 (2)量子体系的各守恒量并不一定都可以同时取确定值。 5. 守恒量与定态 (1)定态是体系的一种特殊状态，即能量本征态，而守恒量则 是一种特殊的力学量，与体系的Hamilton量对易。 (2) 在定态下一切力学量的平均值和测值概率都不随时间改变； 而守恒量则在一切状态下的平均值和测值概率都不随时间 改变

7. 例题1判断下列说法的正误 (1) 在非定态下，力学量的平均值随时间变化(错) (2)设体系处在定态，则不含时力学量测值的概率不随时间变化(对) (3)设哈密顿量为守恒量，则体系处在定态（错） (4)中心力场中的粒子处于定态，则角动量取确定的数值（错） (5)自由粒子处于定态，则动量取确定值（错） （能级是二重简并的） (6)一维粒子的能量本征态无简并（错） （一维束缚态粒子的能量本征态无简并） 证明： 对于属于能量E的任何两个束缚态波函数有 则 两边同时积分得

8. 4.1.2能级简并与守恒量的关系 定理设体系有两个彼此不对易的守恒量F和G，即 [F,H]=0,[G,H]=0,[F,G]≠0, 则体系能级一般是简并的。 证明：[F, H]=0,则F, H有共同的本征函数Ψ 又因为 [G, H]=0, 则 即GΨ也是H的本征函数，对应的本征值也是E。即体系的能级 是简并的。

9. 推论：如果体系有一守恒量F，而体系的某条能级并不推论：如果体系有一守恒量F，而体系的某条能级并不 简并，即对应某个能量本征值E只有一个本征态 ΨE，则ΨE必为F 的本征态。 证明：设ΨE是一能量本征态。因F是守恒量，则[F, H]=0 即FΨE也是一个能量本征态，对应的本征值也是E. 根据假定 能级不简并，则必有 即ΨE也是F的本征态，对应的本征值是F’

10. 例如： 一维谐振子势中粒子的能级并不简并，空间反射算符P为 守恒量， [P,H]=0, 则能量本征态必为P的本征态，即有确定的 宇称。事实上，也确是如此， 结论： 体系的守恒量总是与体系的某种对称性相联系，而能级简并 也往往与体系的某种对称性相联系。在一般情况下，当能级出现简 并时，可以根据体系的对称性，找出其守恒量。

11. 位力定理：设粒子处于势场V(r)，其哈密顿为 r·p的平均值随时间的变化为 对定态有 则

12. 证明：

13. 思考题： r·p并不是厄米算符，应进行厄米化 这是否会影响位力定理得证明。 答：从位力定理的证明可以看出，将r·p厄米化后并不能影响 到定理的证明。 例题1 设V(x,y,z)是x,y,z的n次齐次函数，即 证明

14. 证明： 两边对c求导数得 令c =1得 则由位力定理得 如谐振子 库仑势 δ势

15. 例题2 求一维谐振子在态Ψn下的动能和势能的平均值 解： 一维谐振子的能量本征值为 由位力定理知: 则 所以

16. §4.2波包运动， Ehrenfest(埃伦·费斯特)定理 1. 波包的运动与经典粒子运动的关系 设质量为m的粒子在势场V(r)中运动，用波包Ψ(r,t)描述，显然Ψ(r,t)必为非定态，因此处于定态的粒子的概率密度是不随时间变化的：与经典粒子运动对应的量子态为非定态 设粒子运动的Hamilton 为 则粒子的坐标和动量的平均值随时间的变化为

17. 经典粒子运动的正则方程是 (2) 代入(3)得到 此之谓Ehrenfest方程， 形式与经典的Newton方程类似，但只有当 时，波包中心 的运动规律才与经典粒子相同。

18. 2. 用波包描述粒子运动时对波包的要求： (1) 波包很窄，其大小与粒子的大小相当； (2) 势场V(r)在空间的变化很缓慢，使得波包中心 处的 势场与粒子感受到的势场很接近； (3)波包的扩散不太大。

19. 如： 一维波包的运动 在波包中心 附近对V(x)作Taylor 展开，令ξ=x-xc 利用 得 可见只有当 时才有

20. δx a α 此时方程(5)与经典的Newton方程在形式上完全相同。 例α粒子对原子的散射 经典 or 量子描述？ 原子的半径 α粒子的能量 则其动量为 在对原子的散射过程中，α粒子穿越原子的时间约为

21. 在该时间间隔内波包的扩散为 如果要求在α粒子穿越原子的过程中可近似用轨道来描述，就要求 利用不确定性关系可得 显然满足条件 即α粒子对原子的散射可用轨道运动近似描述。

22. 如果讨论电子对原子的散射，电子的质量很小，对于能量为如果讨论电子对原子的散射，电子的质量很小，对于能量为 100eV的电子有 则 因此用轨道运动来描述电子是不恰当的。

23. §4.3 Schröinger图像(绘景)和Heisenberg图像（绘景） 1. Schrödinger 图像 力学量不随时间变化，而波函数随时间变化。 力学量的平均值 波函数随时间演化方程---Schrödinger 方程 力学量平均值随时间的变化 波函数随时间演化可写成

24. 称为时间演化算符。 (4) 代入(2)得到 则 积分得 可以证明： 是幺正算符。

25. Heishenberg 图像 波函数不变，算符随时间变化 算符的演化方程----Heisenberg 方程

26. 利用U的幺正性，及U+HU=H 则 上式称为Heisenberg方程。

27. 例题1自由粒子 p为守恒量，则p(t)=p(0)=p 则

28. 例题2一维谐振子 而 则 其解为 则

29. 利用初始条件 则可得出

30. §4.4 守恒量与对称性的关系 1918年 德国数学家 A. E. Noether : 从自然界的每一对称性可 得到一守恒律；反之，每一守恒律均揭示蕴含其中的一种对称性。 1. 经典力学的守恒量与对称性的关系 机械能对空间平移不变性（空间均匀性）→动量守恒 机械能对空间转动不变性（空间各向同性）→角动量守恒 机械能对时间平移不变性（时间均匀性）→能量守恒 2. 量子力学中的对称性 (1) 对称变换与对称性群

31. 体系的状态满足薛定谔方程 若存在变换Q ,在此变换下有 体系对变换不变性的要求 即 用Q-1运算得 与方程(1)比较得 或写成 这就是体系（Hamilton）在变换Q下的不变性的数学表述。

32. 凡满足式(4)的变换称为体系的对称变换。 物理学中的体系的对称 变换总构成一个群，称为体系的对称性群。 (2) 对称性变换与守恒量 在对称变换下考虑概率守恒有 则Q应该是幺正算符，即 对于连续变换，可考虑无穷小变换ε→0+，令

33. 即F是厄米算符，称为变换Q的无穷小算符。可定义与 Q变换相 联系的可观测量，体系在Q变换下的不变性导致 即F是一守恒量。对称变换→守恒量 (3)空间平移不变性与动量守恒 设体系沿x轴方向作一无穷小平移

34. 描述体系状态波函数的变化为 显然 即 作变换 则上式可化为 则平移δx的算符可表示为 是与平移变换相应的无穷小算符。 Note:

35. 推广：对于三维空间中的无穷小平移 则 其中 是与三维平移变换对应的无穷小算符。 设体系具有平移不变性，即 [D, H]=0 对于无穷小平移 则可推出 动量守恒

36. (4) 空间旋转不变性与角动量守恒 设体系绕z轴旋转一无穷小角度δφ， 波函数的变化是 对标量波函数有 即 作变换 则

37. n O 则绕z轴旋转δφ的算符是 注： 现考虑三维空间中绕某方向n的无穷小旋转 在上述变换下标量函数的变化是 即

38. 作变换 则 对于无穷小旋转 则 注：三个矢量的混合积 其中 如果体系具有空间旋转不变性，[R, H]=0,

39. 对于无穷小旋转 即角动量守恒 则有 (5) 时间均匀性与能量守恒 (6) 空间反射对称性与宇称守恒 (7) 同位旋空间旋转对称性与同位旋守恒

40. §4.5 全同粒子体系及其波函数 4.5.1 全同粒子体系的交换对称性 1. 全同粒子： 质量、电荷、自旋等内禀属性完全相同的粒子。 所有的电子是全同粒子、所有的质子是全同粒子、 所有的光子也是全同粒子。 2.全同性原理：在相同的物理条件下，全同粒子的行为完全相同， 用一个粒子代换另一个粒子，不引起物理状态的变化 或，全同粒子不可区分。 ----------量子力学的基本假设 说明：(1)粒子的全同性与粒子态的量子化有本质的联系， 没有态的量子化就谈不上全同性。 (2) 经典力学中原则上不存在全同粒子。或，全同粒子 可以区分。

41. 3. 全同粒子交换对称性与守恒量 (1)全同粒子体系的任何可观测量(包含哈密顿量）有交换对称性 氦原子中两个电子 组成的体系 定义交换算符Pij ：其作用是交换两个粒子的位置 即

42. (2)全同粒子体系波函数的交换对称性 即全同粒子体系的波函数是交换对称或反对称的。 实验表明： 凡自旋为ħ整数倍(s=0,1,2,…)的粒子, 波函数的交换总是对称的，如π介子(s=0)、光子（s=1）,波色子。 凡自旋为 ħ 半整数倍(s=1/2,3/2,…)的粒子, 波函数的交换总 是反对称的，如电子、质子、中子等,费米子。

43. a c 1 分束器 d b 2 由“基本粒子”组成的复合粒子，如α粒子，若在讨论的问题 或过程中其内部状态保持不变，则全同粒子的状态仍然适用。 由玻色子组成的的复合粒子仍为玻色子； 由偶数个费米子 组成的粒子为玻色子；有奇数个费米子组成的粒子为费米子 4.交换效应 全同性不只是一个抽象的概念，而它将导致一个可观测的量子效应-----交换效应。微观世界里的全同粒子，一旦有波包 重叠而又没有守恒的内禀量子数可供鉴别，波动性将使它们 失去个性和可分辨性，出现交换效应。 如：

44. 两个光子的输入态 两光子的出射态 若两个光子同时到达分束器，出射态中光子的空间模有重叠， 必须考虑两个光子的交换干涉，出射态应该是交换对称的。

45. 在c, d 两处放置探测器，作单光子计数符合测量，以1/2 的概率得到双光子极化纠缠态 尽管两个光子间不存在可以令光子极化状态发生变化的相互作用， 但全同性原理的交换作用和符合测量塌缩可以使光子的极化状态 发生变化，两个光子已经不可分辨。

46. 问题： 在忽略粒子间相互作用的情况下，如何构造具 有交换对称或反对称性的波函数？

47. 4.5.2 两个全同粒子组成的体系 设有两个全同粒子（忽略相互作用），其Hamilton量为 其中h为单粒子的Hamilton，h(q )的本征方程为 设两个粒子，一个处于φk1态，另一个处于φk2态，则 φk1(q1) φk2(q2)与φk1(q2) φk2(q1)对应的能量都是εk1+εk2， 这种与交换相联系的简并，称为交换简并。 但这两个波函数还不具有交换对称性。 对Bose子, 波函数交换对称，则 (a)当k1≠k2时，归一化的对称波函数为

48. (b)当k1=k2时，归一化的对称波函数为 对Femi子，波函数交换反对称 (a)当k1≠k2时，归一化的反对称波函数为 (b)当k1=k2时 即这样的状态不存在，这就是著名的Pauli不相容原理：不允许两个 全同的Femi子处于同一单粒子态。

49. 例题 设有两个全同的自由粒子都处在动量本征态，下面分三种 情况讨论它们在空间的相对距离的概率分布 (a)在不计交换对称性时，两粒子的波函数可表示为 令 或

50. 相对运动部分波函数为 在距离一个粒子半径在(r→r+dr)的球壳内找到另一个粒子的概率为 概率密度 (b)交换(r→-r)反对称波函数， 反对称相对运动波函数为 则