Matemática e Criptografia

1. Matemática e Criptografia Severino Collier Coutinho UFRJ

2. Criptografia arte de esconder mensagens Criptoanálise arte de quebrar mensagens Criptologia Criptos = escondido em grego

3. História • César foi o primeiro a utilizar criptografia como meio de esconder informações secretas.

4. Código de César A B C D E F G H I J L M N O P Q R S T U V X Z C D E F G H I J L M N O P Q R S T U V X Z A B Exemplo ESSES ROMANOS SÃO UNS NEURÓTICOS GUUGU TQOCPQU UCQ XPU PGXTQVLEQU

5. Problemas • É fácil decodificar verificando a freqüência das letras na mensagem. • Saber codificar implica em saber decodificar. • Precisa de canal seguro. O mesmo se aplica a outros códigos semelhantes

6. Outras aplicações O método de contagem de freqüência e técnicas semelhantes de criptografia também são usadas na decifração de escritas antigas. Exemplos: hieróglifos, linear B

7. Abre parêntesis...

8. Hieróglifos egípcios • Conhecimento da leitura esquecido desde, pelo menos, 500 d.C. • Horapolo de Nilópolis: caracteres seriam ideográficos.

9. Renascença • Athanasius Kircher (1602-1680). • Segue Horapollo. • Língua copta.

10. A chave • Pedra de Rosetta. • Descoberta em 1799. • Mesmo texto escri-to em hieróglifos, de-mótico e grego.

11. O decifrador • J.-F. Champollion (1799-1832). • Língua derivada do copta. • Escrita: caracteres ideo-gráficos, alfabéticos e determinativos.

12. O alfabeto

13. Determinativos = htr = cavalo • O determinativo é o desenho do cavalo. • E preciso acrescentá-lo porque htr também significa taxa.

14. Linear B • Descoberta em Creta. • Decifrado por M. Ventris em 1953. • Contagem de freqüência: língua é grego.

15. Vale do Indo • Ainda não decifrada. • Inscrições curtas dificultam a contagem de freqüência.

16. Fecha parêntesis...

17. Chave secreta: Saber codificar implica em saber decodificar. Precisa de canal seguro. Chave pública: Saber codificar não implica saber decodificar. Não precisa de canal seguro. Inventado na década de 1970. Tipos de Códigos

18. Chave Pública • Imagem:armadi-lha para lagosta. Idéia: problema fácil de resolver por um lado e difícil por outro.

19. RSA  Chave públicamais popular  Inven-tado em 1976 Rivest Shamir Adleman

20. Número Primo Número divisível somente por ele mesmo e pela unidade. Exemplos 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ..., 41, 43, 47, .... 213466917-1 tem 4.053.946 algarismos

21. Chave de codificação: n = pq. Pode ser tornada pública. Chave de decodificação são p e q. Tem que ser mantida secreta. RSA Escolha dois números primosp e q. Calcule n = pq.

22. Como quebrar o RSA? • n = pqé público • Preciso conhecer p e q para decodificar a mensagem. • Logo: basta fatorar n para achar p e q.

23. Fatorando 120. • 120  2 = 60 • 60  2 = 30 • 30  2 = 15 • 15  3 = 5, que é primo. • Logo: 120 = 2·2 ·2 ·3 ·5.

24. Fatorar tem alto custo! • Se n = pq e p, q ~ 1050. • Começo de 2 e avanço até ~ 1050 • Computador executa 1010 divisões/s. • Logo preciso esperar 1040s ~ 1031 anos!

25. Porém ... O universo só tem 1011 anos!

26. Portanto... Achar p e q conhecendo apenas n = pq é muito difícil.

27. RSA-129 Mensagem codificada em 1976 usando uma chave pública n com 129 algaris-mos. Com os recursos da época (computado-res e algoritmos) deveriam ser necessá-rios quadrilhões de anos para decodificá-la.

28. Entretanto... Decodificada em 1994: “The magic words are squeamish ossifrage”

29. Como foi feito • 600 computadores de voluntários • Em 25 países • Dados reunidos usando um supercom-putador • Tempo total: oito meses!

30. O que fez a diferença • Novos algoritmos (crivo quadrático). • Computadores mais rápidos. • Popularização dos computadores. • A internet para interligar tudo.

31. RSA-160 2152741102718889701896015201312825429257773588845675980170497676778133145218859135673011059773491059602497907111585214302079314665202840140619946994927570407753 Fatores 45427892858481394071686190649738831656137145778469793250959984709250004157335359 e 47388090603832016196633832303788951973268922921040957944741354648812028493909367

32. Dúvida Se é difícil fatorar números grandes... E se um número primo é o que não tem fatores... ...Então como obter dois primos grandes para construir a chave pública n do RSA?

33. Primalidade • Não é preciso fatorar para descobrir se um número é primo ou composto! • Por exemplo: se n e b são inteiros positivos tais que n não divide bn-1-1, então n tem que ser composto.

34. Algoritmo AKS Método eficiente (tempo polinomial) para determinar se um número é primo sem fatorá-lo. Descoberto em agosto de 2002 por M. Agrawal, N. Kayal e N. Saxena.

35. O Futuro Próximo • Sistema usa curvas elípticas.

36. Grupo da curva elíptica • Podemos somar pontos em uma curva elíptica. • Isto torna a curva em um grupo.

37. ECC • Fixe uma curva E e P  E. • Chave secreta: inteiro positivo k. • Chave pública:Q = kP.

38. Suponha... ...que Alice quer mandar uma mensagem para Bernardo...

39. ECC: codificando • Alice conhece a curva E, o ponto P  E e a chave pública Q. • Para codificar M  E : escolha r aleatoriamente e calcule(rP, rQ+M).

40. ECC: decodificando • Bernardo conhece a curva E, o ponto P E e a chave secreta k. Decodifica (rP, rQ+M) calculando: (rQ+M) - k(rP) = r(kP) + M - k(rP) = M.

41. ECC: quebrando Calcular k conhecendo Q = kP. Problema do Logaritmo Discreto

42. O Futuro Distante • Peter Shor (1994): algoritmo quântico de fatoração. • Criptografia quântica.

43. As perguntas finais...

44. Quão próximo, ou distante?

45. Assim...?

46. Não!

47. Assim! A criptografia quântica já chegou até nós

48. Que outras surpresas nos aguardam?

49. ?