Programmation linéaire et Recherche opérationnelle

1. Programmation linéaire et Recherche opérationnelle http://www.lri.fr/~mdr Licence d’Econométrie Professeur Michel de Rougemont mdr@lri.fr http://www.lri.fr/~mdr Cours 7,8,9

2. Recherche opérationnelle • Problèmes de transport • Simplex Réseau • Problèmes de flux maximum • Méthode Ford et Fulkerson • Méthode primal-dual

3. Simplex et réseaux 1 5 4 3 2 6 7 Graphes : nœuds et arêtes Sources : 6,7 Puits: 3,4,5 Matrice d’incidence

4. Rappels sur les graphes 1 5 4 3 2 6 7 Graphes : nœuds et arêtes Degré d’un nœud Chemin : Composante connexe : Graphe Connexe, Eulérien, Hamiltonien

5. Matrice d’incidence

6. Solution possible 1 1 5 2 2 4 9 6 3 3 2 10 2 6 7 4 • Flux conservé • sources • puits • noeuds

7. Solution d’arbres 8 1 5 1 4 9 9 3 15 6 2 6 7 • Arbre recouvrant : • n noeuds • n-1 arêtes • Flux unique

8. Solution d’arbres 8 1 5 1 4 9 9 3 15 6 2 6 7 • Propriété des arbres recouvrants : • on peut énumérer les nœuds 7, 2, 3, 6, 1, 4, 5

9. Solution d’arbres 8 1 5 1 4 9 9 3 15 6 2 6 7 Prendre 7, 2, 3, 6, 1, 4, 5 B est triangulaire et unimodulaire (detB=0,1,-1).

10. Solution d’arbres 8 1 5 1 4 9 9 3 15 6 2 6 7 Prix

11. Solution d’arbres 8 1 5 1 4 9 9 3 15 6 2 6 7 Résoudre Déterminer arc qui n’est pas dans l’arbre tel que : Interprétation économique: acheter à et vendre à En théorie prendre le maximum de :

12. Solution d’arbres 8-t 1 5 1+t 4 9-t 9 t 3 15-t 6 2 6 7 Par exemple: Trouver le plus grand t tel que : Prendre t=8

13. Nouvel arbre 1 5 9+t 4 t 1-t 9 8 3 7 6 2 6 7 Par exemple:

14. Nouvel arbre 1 5 10 4 1 9 8 3 7 6 2 6 7 Par exemple: Enfin: OPTIMUM

15. Simplex réseau et révisé Etape 1 : Résoudre Etape 2: Choisir une colonne entrante. Colonne a tel que : Etape 3: résoudre Etape 4: trouver le plus grand t tel que colonne entrante Etape 5: mettre à jour

16. Intégralité Problème de transport: Si b a des valeurs entières, alors la solution optimale (si elle existe) est entière. A est une matrice d’incidence et le problème est facile. En général la programmation linéaire entière est difficile.

17. Problème d’affectation Problème de transport en solution 0 ou 1:

18. Méthode hongroise Faire apparaître des 0 dans les lignes et les colonnes en soustrayant la plus grande valeur:

19. Méthode hongroise • Solution partielle: • a3, b4, c1, e2 • Pour l’étendre, utiliser l’algorithme hongrois: • Marquer les lignes sans affectation • Marquer les colonnes qui ont des zéros dans les ligne marquées • Marquer les lignes qui ont des affectations dans les colonnes marquées • Couvrir lignes non marquées et colonnes marquées

20. Matrice d’incidence • Elément minimum: 2 • Soustraire 2 au tableau et le rajouter aux lignes et colonnes couvertes. • Itérer Solution : a1, b4, c5, d3, e2 Valeur : 11+6 + 16+17+10=60

21. Flots et coupes Problème de transport avec capacité maximum: Solution optimale simple: Exemple : flux de passagers entre SF et NYC C 4 NYC 2 5 D 4 7 5 A 5 SF 6

22. Flots et coupes Conservation sur chaque nœud: Flux de s vers t C 4 NYC 2 5 D 4 7 5 A 5 SF 6

23. Coupes Coupe C partage les nœuds avec s et t dans deux composantes: Capacité de C : C 4 NYC 2 5 D 4 7 5 A 5 SF 6

24. Ford et Fulkerson Chemin augmenté: Chercher un chemin possible entre s et t de capacité faisable. Mettre à jour les flots. C 4 NYC 2 5 D 4 : 4 4 : 7 4: 5 A 5 SF 6

25. Ford et Fulkerson C 1 : 4 NYC 1 :2 5 D 4 : 4 4 : 7 5: 5 A 5 SF 6 1 : 4 NYC 1 :2 5 D 4 : 4 7 : 7 5: 5 A 3 : 5 SF 3 : 6

26. Ford et Fulkerson C 2 : 4 NYC 2 :2 5 D 3 : 4 7 : 7 5: 5 A 4 : 5 SF 4 : 6 2 : 4 NYC 2 :2 5 D 5 : 4 7 : 7 5: 5 A Coupe Maximum 4 : 5 SF 4 : 6

27. Théorème fondamental Théorème 1 : Max flot = Min Coupe Théorème 2 : Max flot a une valeur entière lorsque toutes les capacités sont entières. C 4 NYC 2 5 7 D 4 7 5 A 5 SF 6