Topics in Algorithmic Game Theory נושאים אלגוריתמיים בתורת המשחקים 28 NOV 2012 Ahuva Mu’alem

1. Topics in Algorithmic Game Theory נושאים אלגוריתמיים בתורת המשחקים 28 NOV 2012 AhuvaMu’alem

3. בעית חלוקת העוגה נטולת הקנאהenvy free cake cutting

4. הגדרות • העוגה תיוצג על ידי הקטע • יש n> 2 שחקנים • הוא הערך הממשי של שחקן k לתת הקטע

5. חלוקה נטולת קנאה • חלוקה של העוגה I(1), I(2), …, I(n) ל- n תת קטעים זרים המוכלים בקטע נקראת נטולת קנאהאם לכל k, j מתקיים: vk(I(k)) > vk(I( j)) • כלומר, בחלוקה נטולת קנאה כל שחקן מרוצה מהחלק שהוא קיבל ואינו מעוניין להחליף את החלק שלו עם אף שחקן אחר.

6. חלוקה נטולת קנאה, שני שחקנים • אלגוריתם חלק ובחר Divide and Choose”)"): • שחקן אחד מחלק את העוגה לשני חלקים שווים מנקודת מבטו • השחקן השני בוחר איזה חלק הוא רוצה מבין השניים

7. חלוקה נטולת קנאה, שני שחקנים • אלגוריתם חלק ובחר: • שחקן אחד מחלק את העוגה לשני חלקים שווים מנקודת מבטו • השחקן השני בוחר איזה חלק הוא רוצה מבין השניים. • הערה:נניח כי העדפת כל שחקן kהיא רציפה ואדיטיבית, כלומר אםI, Jהם תת קטעים זרים אז = + I j v1 (I) = v1 (J) max (v2(I1), v2(I max (v2(I), v2(J)) > min (v2(I), v2(J))

8. חלוקה נטולת קנאה, המקרה הכללי • נראה כעת כלי טכני (המבוסס על הלמה של שפרנר) שיעזור לנו לחלק את העוגה "ללא קנאה"בין מספר סופי כלשהו של שחקנים n > 2.

9. 'חלק ובחר' בנוסח צ'ארלי צ'אפלין, הבהלה לזהב  https://www.youtube.com/watch?v=mtZTIwSIuGw

11. הלמה של שפרנר Sperner’s Lemmaרקע והגדרות

13. טריאנגולציהאו שילוש

16. צביעת שפרנר

17. צביעת שפרנר דוגמא 

18. צביעת שפרנר דוגמא  ובה נצבעו כל המשולשונים שצבועים ב-3 צבעים

19. צביעת שפרנר דוגמא  ובה נצבעו כל המשולשונים שצבועים ב-3 צבעים מספר איזוגי > 1 של משולשונים טרי-כרומטים

21. הלמה של שפרנר Sperner’s Lemmaהוכחה

22. למה (שפרנר, 1928):בכל צביעת שפרנר יש מספר אי-זוגי של משולשונים טרי-כרומטיים.

26. בעית חלוקת העוגה נטולת הקנאההמקרה הכללי, המשך

28. The standard simplex in R3

31. Rental Harmony Problem

32. הגדרת הבעיה • בעית חלוקת השכירות בהרמוניה:יש n> 2 שחקנים שרוצים לשכור דירה של n חדרים. דמי השכירות על הדירה הם 1000 דולר, והשאלה היא האם ניתן לקבוע מחיר עבור כל חדר כך שסכום המחירים יהיה 1000 דולר וכך שכל שוכר ישכור את החדר שהוא הכי רוצה במחירים האלו.

34. 'Rental Harmony' בנוסח צ'ארלי צ'אפלין, הבהלה לזהב  https://www.youtube.com/watch?v=lAop4Su5Uag

36. Sperner + Simmons + Su  • How to Solve the Envy Free Cake Cutting and Rental Harmony Problems

39. בעית החלוקה הפרופורציונלית

40. הגדרות • העוגה תיוצג על ידי הקטע • יש n> 2 שחקנים • הוא הערך של שחקן k לתת הקטע • העדפת השחקן היא אי-שלילית, רציפה ואדיטיבית, כלומר אם I, Jהם תת קטעים זרים אז = +

41. חלוקה פרופורציונלית • חלוקה של העוגה I1, I2, …, In ל- n תת קטעים זרים המוכלים בקטע נקראת פרופורציונלית אם vk(Ik) א לכל k • כלומר בחלוקה פרופורציונלית כל שחקן מקבל חלק שערכו הוא לפחות 1/n מערך העוגה מנקודת מבטו

42. בעית החלוקה הפרופורציונלית, שני שחקנים

43. חלוקה פרופורציונלית, שני שחקנים • אלגוריתם חלק ובחר: • שחקן אחד מחלק את העוגה לשני חלקים שווים מנקודת מבטו • השחקן השני בוחר איזה חלק הוא רוצה מבין השניים.

44. חלוקה פרופורציונלית, שני שחקנים • אלגוריתם חלק ובחר: • שחקן אחד מחלק את העוגה לשני חלקים שווים מנקודת מבטו • השחקן השני בוחר איזה חלק הוא רוצה מבין השניים.

45. חלוקה פרופורציונלית, שני שחקנים • אלגוריתם חלק ובחר: • שחקן אחד מחלק את העוגה לשני חלקים שווים מנקודת מבטו • השחקן השני בוחר איזה חלק הוא רוצה מבין השניים. 1 2 v1 (I1) = v1 (I2) max (v2(I1), v2(I max (v2(I1), v2(I2)) > 0.5 · (v2(I1) + v2(I2)) = 0.5 · v2(I1 I2)

46. בעית החלוקה הפרופורציונלית, מספר סופי של שחקנים

47. חלוקה פרופורציונלית, n > 2 • אלגוריתם הסכין הנעה [[Dubins-Spanier: • A knife is slowly moved at constant speed parallel. At each instant the knife is poised so that it could cut a unique slice of the cake. At time goes by the potential slice increases monotonelyfrom nothing until it becomes the entire cake. The first person to indicate satisfaction with the slice then determined by the position of the knife receives that slice and is eliminated from further distribution of the cake. (If two or more participants simultaneously indicate satisfaction with the slice, it is given to any of them.) • The process is repeated with the other n − 1 participants and with what remains of the cake. The last player gets the remainder of the cake.

48. חלוקה פרופורציונלית, n > 2 • אלגוריתם הסכין הנעה [[Dubins-Spanier: • The knife is passed over the cake from the left end to the right. • A player says stop when he thinks 1/n of the cake is to the left of the knife, the cake is cut and he get that piece. • Repeat with the remaining cake and players. • The last player gets the remainder of the cake. נכונות: השחקנים 1, 2, ..., i קיבלו כל אחד 1/nמערך העוגה מנקודת מבטם. כל שחקן i+1, i+2, ..., n מייחס לחלק העוגה שנשאר לפחות (n-i)/nמערך העוגה הכולל, מנקודת מבטו.

50. Bibliography Francis Edward Su. Rental harmony: Sperner's lemma in fair division. Amer. Math. Monthly, 106(10):930–942, 1999 Chandra Chekuri, CS 573: Algorithmic Game Theory, 2008Lecture Notes, עמוס אלטשולר, מתמטיקה צבעונית – הלמה של שפרנר Wikipedia