2.4

1. 2.4 Dérivée et continuité

2. Théorème 2.1 : Si f (x) est une fonction dérivable en x = a, alors f (x) est continue en x = a On peut déduire de ce théorème que : si f (x) n’est pas continue en x = a, alors elle n’est pas dérivable en x = a. Pour qu’une fonction f (x) soit dérivable en x = a, il est nécessaire que f (x) soit continue en x = a. On dit qu’une fonction f (x) est dérivable en x = a si la limite suivante existe. Et on sait qu’elle existe si : Limite à gauche = Limite à droite:

3. Exemple (animé) d’une fonction continue f (x) dérivable en x = a.

4. Exemple (animé) d’une fonction f (x) continue présentant un point anguleux en x = a, et donc non dérivable en x = a.

5. L’exemple précédent illustre bien qu’une fonction f (x) peut être continue en x = a et ne pas être dérivable en x = a. Traitons cet exemple algébriquement On montre d’abord que f(x) est continue en x = 2.

6. On montre ensuite que, bien que f(x) est continue en x = 2, elle n’y est pas dérivable.

7. Exemple d’une fonction continue mais non dérivable en x = a car elle présente une tangente verticale en x = a. Voir exemple 2.14

8. Exercice Déterminer les valeurs réelles de x pour lesquelles la fonction f (x) n’est pas dérivable. x = -1 : point anguleux x = 0 : point anguleux x = 1 : f(x) discontinue

9. 2.5 Premières formules de dérivation

10. On a vu que la dérivée d’une fonction f (x) est une fonction qui donne la pente de la tangente à la courbe en tout point d’abscisse x. On l’obtient en faisant tendre Δx vers 0 dans l’expression donnant la pente des sécantes. Dérivée d’une fonction constante f(x) = k, k  R  R Théorème 2.2 : Si f(x) = k, k  , alors (formule 1) Exemples :

11. Dérivée de la fonction identité f (x) = x. La pente de la droite f (x) = x est 1. Ainsi, la pente des sécantes en tout point d’abscisse x est de 1. Aussi, la pente de toute tangente à un point d’abscisse x sera de 1: f ’(x) =1. Théorème 2.3 : Si f(x) = x, alors (formule 2) Considérant le paragraphe précédent, sauriez-vous calculer les dérivées des droites suivantes ? - 5 - 1 3 5 Bref, les dérivées représentent les pentes de ces droites.

12. Dérivée de la fonction puissance f (x) = xn, où n est un nombre réel. Théorème 2.8 : Si f(x) = xn, alors (formule 8) Exemples : calculer la dérivée des fonctions suivantes. a) f(x) = x3 c) h(x) = 1/ x3 b) g(x) = x-3 d) i(x) = x1/3

13. Théorème 2.8 : Si f(x) = xn, alors (formule 8) f) k(t) = t2

14. Dérivée du produit d’une constante par une fonction. Théorème 2.4 : Soit la fonction f(x) = k g(x) où g(x) est une fonction dérivable et k est une constante, alors (formule 3) Exemples : a) c) b)

15. Dérivée de la somme ou de la différence de deux fonctions. Théorème 2.5 : Soit f(x) et g(x) deux fonctions dérivables, alors et (formule 4) (formule 5) Note : on peut généraliser ce théorème à la dérivée d’une chaîne d’additions et de soustractions. Exemples : a) Exercices : Pages 126 et 127 : no. 15 a b c d e g j l ; no. 16 a b c e

17. Exercice 1 : a) En quel point de la courbe décrite par la fonction la tangente est-elle horizontale ? (3, 1/3) Donc au point (3, 1/3).

18. b) Déterminer l’équation de la droite normale à la courbe de au point d’abscisse t = 1. Comme e point d’abscisse t = 1 est (1,-1). On a trouvé tantôt que La pente de la tangente au point (1,-1) estdonnée parLa pente de la droite normale est donc de (1,-1): Exercices : Page 127 : no. 18

19. Exercice 2 : Déterminer les coordonnées des points pour lesquels la fonction admet une tangente horizontale. admet une tangente horizontale pour des valeurs de x telles que admet une tangente horizontale a

20. Rép. : (1, 0) et (2, 1/32)

21. Soit f(x) et g(x) deux fonctions dérivables, alors La formule 6peut aussi s’écrire : (formule 6) Exemple : Déterminer la dérivée de la fonction On aurait pu développer et dériver par la suite

22. Exercice 1 : Déterminer la dérivée de la fonction Rép.:

23. Exercice 2 : Déterminer la dérivée de la fonction Rép.:

24. Soit f(x) et g(x) deux fonctions dérivables, alors La formule 7peut aussi s’écrire : (formule 7) Exemple : Déterminer la dérivée de la fonction

25. Exercice : Déterminer la dérivée de la fonction Réponse : Lire les exemples 2.29 et 2.32

26. On n’emploiera pas toujours la formule du quotient même si la fonction à dériver a la forme d’un quotient : Exemples : Dériver

27. Exercice La droite . U aura donc une pente de 45. C à la courbe de la fonction. On cherche donc les x tels que = 45. Ce qui se traduit par : . Et on remplace ces valeurs dans . Réponses : (-3, -54) et (5, 50)

28. On a trouvé tantôt que la pente de la tangente au point (-3, -54) est d (-3,-54): On sait que la pente de la tangente au point (5, 50) est d (-3,-54): Exercices : Page 127 no. 21 et 24. Réponses : (-3, -54) : y = 45x + 81 et (5, 50) : y = 45x - 175