TRIÁNGULOS

1. TEMA 15.7 * 1º ESO TRIÁNGULOS Apuntes Matemáticas 1º ESO

2. EL TRIÁNGULO • TRIÁNGULOS • Son los polígonos de tres lados. • Perímetro • Suma de los lados • P=a+b+c • Área • La mitad del producto de un lado cualquiera por la altura correspondiente. • Altura • La recta perpendicular a un lado, que hace de base, trazada desde el vértice opuesto a dicho lado. P = a+b+c a c h b A = b.h / 2 Apuntes Matemáticas 1º ESO

3. Particularidades • FÓRMULA DE HERÓN • Cuando en un triángulo se conoce la medida de los tres lados, se puede emplear la fórmula de Herón para hallar el área: • A=√(p.(p – a).(p – b).(p – c)) • Siendo p el semiperímetro: • p= (a+b+c)/2 • EJEMPLO 1 • Hallar el perímetro y el área del triángulo cuyos lados miden a=3, b=5 y c=7 cm • P = a+b+c = 4+5+7 = 16 • p= P/2 = 16/2 = 8 • A= √(p.(p – a).(p – b).(p – c)) • A=√(8.(8 – 4).(8 – 5).(8 – 7)) • A=√(8.4.3.1) = √96 = √16.6 = 4.√6 u2 Apuntes Matemáticas 1º ESO

4. Triángulo Rectángulo • ÁREAS EN TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS • Si el triángulo es rectángulo, un cateto es la altura correspondiente al otro cateto y viceversa. • Ello nos permite calcular el área sin necesidad de hallar previamente la altura. • A=b.c/2 • Y también nos permite calcular la altura correspondiente a la base: • A=b.c/2 • A=a.h/2 • Luego podemos igualar las áreas, al ser la misma: • b.c/2 = a.h/2 • Y despejando la altura correspondiente a la hipotenusa: • h= b.c / a a b ha c Apuntes Matemáticas 1º ESO

5. Triángulo Rectángulo • Ejemplo 2 • Hallar el perímetro y el área del triángulo rectángulo cuyos catetos miden b= 8 cm y c= 6 cm, así como la altura relativa al lado a. • Calculamos el lado a o hipotenusa mediante el T. de Pitágoras • a=√(b2+ c2) = √(82+62) = √100 = 10 cm • Perímetro: P=a+b+c = 10+8+6 = 24 cm • Si tomamos b=8 como base  h=c=6 • A=b.h/2 = 8.6/2 = 24 cm2 • Si tomamos c=6 como base  h=b=8 • A=c.h/2 = 6.8/2 = 24 cm2 • El área es único, aunque halla cuatro formas de calcularlo. • b.c/2 = a.ha/2  8.6/2=10.ha/2  ha = 8.6/10 = 4,8 cm a b ha c Apuntes Matemáticas 1º ESO

6. Triángulo Isósceles • Ejemplo 3 • Hallar el perímetro y el área del triángulo isósceles de altura hc=12 cm y lado c=10 cm, así como la altura relativa a los lados iguales. • Calculamos el lado a=b o hipotenusa mediante el T. de Pitágoras, gracias al triángulo rectángulo que se forma. • a=b=√(hc2+ (c/2)2) = √(122+52) = √169 = 13 cm • Perímetro: P=a+b+c = 13+13+12 = 38 cm • Si tomamos c=10 como base  h=hc=12 • A=b.h/2 = 10.12 / 2 = 60 cm2 • El área es único, aunque halla cuatro formas de calcularlo. • A = a.ha / 2  60 =13.ha / 2  ha = 60.2/13 = 9,23 cm • La altura correspondiente al lado b es: • hb=ha=9,23 cm b a hc ha c Apuntes Matemáticas 1º ESO

7. Ejemplo 4 • Comprobar el área hallada en el Ejemplo 2 mediante la Fórmula de Herón: • a=10 cm, b=8 cm, c= 6 cm • P = a+b+c = 10+8+6 = 24 • p= P/2 = 24/2 = 12 • A= √(p.(p – a).(p – b).(p – c)) • A=√(12.(12 – 10).(12 – 8).(12 – 6)) • A=√(12.2.4.6) = √24.24 = 24 cm2 • Ejemplo 5 • Comprobar el área hallada en el Ejemplo 3 mediante la Fórmula de Herón: • a=13 cm, b=13 cm, c= 10 cm • P = a+b+c = 13+13+10 = 36 • p= P/2 = 36/2 = 18 • A= √(p.(p – a).(p – b).(p – c)) • A=√(18.(18 – 13).(18 – 13).(18 – 10)) • A=√(18.5.5.2) = √36.25 = 6.5 = 30 cm2 Apuntes Matemáticas 1º ESO

8. Triángulo Equilatero • Ejemplo 6 • Hallar el perímetro y el área del triángulo equilátero de lado 12 cm. • En un triángulo equilátero a=b=c=l • Perímetro: P=a+b+c = l+l+l = 3.l = 3.12 = 36 cm • Asimismo las alturas correspondientes a los lados también son iguales: • ha=hb=hc=h • Mediante el T. de Pitágoras, gracias al triángulo rectángulo que se forma. • h=√(l2 – (l /2)2) = √(122 – 62) = √(144 – 36) = √108 = 6.√3 cm • Si tomamos l=12 como base  h= 6.√3 • A=b.h/2 = 12. 6.√3 / 2 = 36.√3 cm2 l l h h h l Apuntes Matemáticas 1º ESO