Kinderen leren rekenen

Kinderen leren rekenen Tussendoelen Annex Leerlijnen ‘hele getallen’ Bovenbouw Tal-team Uitgeverij: Wolters Noordhoff

Overzicht onderdeel hele getallen

Getallen en getalrelaties Een gedegen kennismaking met hele getallen is van grote waarde. Hierdoor gaat het opereren met hele getallen veel soepeler. Ook kunnen ze in allerlei praktische situaties beter wijs worden uit de betekenis van de hele getallen en mogelijk onjuist gebruik beter kunnen ontmaskeren. In het hoofdstuk ‘getallen en getalrelaties’ wordt achtereenvolgens besproken: • Contextualiseren • Positioneren • Structureren • De samenhang tussen de verschillende getalsaspecten en getalrelaties

Getallen en getalrelaties Contextualiseren: Kinderen uit de groepen 1 t/m 4 hebben al met o.a. de volgende contexten kennis gemaakt: lengte- en gewichtsmaten; paginanummers; datum; schoenmaten; scores bij spelletjes; prijzen; leeftijden enz. In de bovenbouw wordt dit uitgebreid met: • oppervlakte- en inhoudsmaten • Metriek stelsel • ‘geschaalde’ maten voor windkracht; aardbeving; papiersoorten • Bijzondere maten: lichtjaar; zonnebrandfactor; luchtdruk enz.

Getallen en getalrelaties Positioneren: Het kunnen plaatsen van getallen op een (lege) getallenlijn met een vast begin- en eindpunt. Ook het daaraan voorafgaande tellen, ordenen en vergelijken hoort bij dit onderdeel. In de onderbouw vindt positioneren plaats met bijv. de kralenketting. Voorbeeld: 76. Bij die kraal wordt een klemmetje gezet. Het tellen tot 76 kan een voor een gebeuren of met tienen (10-20-30..70..71..72) Dit gaat tot 100. In groep 5 en 6 wordt dit gedaan met getallen tot 1000. In groep 6 en 7 met getallen tot 100.000 en in de groepen 7 en 8 komt er ook miljoen en miljard bij.

Getallen en getalrelaties Structureren: Bij structureren gaat het er om dat kinderen getallen steeds meer als een knooppunt in een netwerk van getalrelaties gaan zien, waarvan je al naar gelang van de situatie gebruik kunt maken als er geredeneerd of gerekend moet worden. Structureren wordt opgedeeld in: • Opsplitsen • Ontbinden • kenschetsen

Getallen en getalrelaties Structureren: opsplitsen • Tientallig opsplitsen. Eerst kan bijv. gebruik worden gemaakt van MAB- materiaal. Later worden positiekaarten gebruikt. • Gevarieerd splitsen. Voorbeeld: bedenk 5 manieren om € 123,00 te betalen • Andertallig splitsen. Bijvoorbeeld het achttallig stelsel (land van 8). De praktische waarde van dit rekenen is gering. Kan als differentiatie gebruikt worden.

Getallen en getalrelaties Structureren: ontbinden Getallen in relatie brengen met andere getallen via vermenigvuldigen (delen). Een getal ontbinden in factoren behoort tot structureren. Om vlot te kunnen ontbinden moet je de kenmerken van deelbaarheid leren kennen. Voor groep 5 zijn eenvoudige kenmerken van deelbaarheid die van 10 en 5. Een getal is deelbaar door 10 als het past in de tafel van 10 / eindigt op een ‘0’. Een getal is deelbaar door 5 als het eindigt op ‘5’ en ‘0’. Getallen deelbaar door 2 zijn al wat lastiger op te sporen. Ze passen in de tafel van 2 / zijn even getallen. Voor een kind is het niet altijd even logisch dat 58 deelbaar is door 2. De ‘5’ is immers oneven.

Getallen en getalrelaties Structureren: kenschetsen Getallen indelen volgens bepaalde criteria en de eigenschappen van de betreffende getallen nader onderzoeken. Voorbeelden van kenschetsen zijn bijv.: • Even en oneven • Figurale getallen (getallen, die gepresenteerd kunnen worden in een andere vorm). Voorbeelden hiervan zijn driehoeksgetallen; rechthoeksgetallen; kwadraten (vierkantgetallen) en strookgetallen. driehoekgetal vierkantgetal 4 rechthoekgetal 12 strookgetal (priemgetal)

Hoofdrekenen In de tijd van het rekenmachientje blijft hoofdrekenen van cruciaal belang.Het geeft inzicht in de fundamentele eigenschappen van ons rekensysteem en die eigenschappen vormen de grondslag voor een aanzienlijk deel van het wiskundeonderwijs. De gangbare definitie van hoofdrekenen is tegenwoordig: Handig en flexibel rekenen op basis van bekende getalsrelaties en rekeneigenschappen: • werkend met getalwaarden en niet met cijfers • gebruik makend van elementaire rekeneigenschappen en getalrelaties als: - verwisseleigenschap (16+47= 47+16) - verdeeleigenschap (13x6= (10x6)+(3x6) - inverse-relatie (62-59=3 want 59+3=62) • steunen op een goed ontwikkeld getalgevoel en een hechte kennisbasis van elementaire rekenfeiten tot 20 en 100 • al naar gelang gebruik makend van eventuele tussennotatie, maar voor een belangrijk deel uit het hoofd rekenend.

Hoofdrekenen Binnen de leerlijn hoofdrekenen worden de volgende deelgebieden onderscheiden: • rekenen tot 100 • optellen en aftrekken tot 1000 • vermenigvuldigen met grote getallen • delen met kleine en grote getallen • vermenigvuldigen en delen met ronde getallen • hoofdrekenen in de hoogste leerjaren

Hoofdrekenen Drie grondvormen van het hoofdrekenen (voorbeeld is som 325-249): • Rijgend hoofdrekenen 325-200=125 …125-20=105….105-20=85….85-9=76 • Splitsend hoofdrekenen 300-200=100….100-49=51…51+25=76 • Gevarieerd hoofdrekenen op grond van rekeneigenschappen 325-200=125….. 125-50=75….75+1=76 Al deze grondvormen kennen verschillende niveaus: Op een lager niveau met gebruikmaking van een lege getallenlijn of geld; op een hoger niveau door het noteren van tussenstappen en later puur mentaal.

Hoofdrekenen Hoe kunnen kinderen goed leren hoofdrekenen? Het is essentieel dat binnen de verschillende domeinen steeds een vergelijkbaar proces van getalverkenning en het ontwikkelen en uitbreiden van strategieën plaatsvindt, waarbij de drie grondvormen steeds verder verkend en eigen gemaakt worden. Dus: • Eerst een brede verkenning van de getallen als zodanig; in aansluiting hierop worden de rijstrategieën verkend, die later efficiënter en korter worden. • Pas als de kinderen voldoende greep hebben gekregen op de rijgstrategieën worden de splitsstrategieën aangeboden. • Daarna de varia-aanpak, waarbinnen de kinderen binnen grenzen strategieën kunnen ontwikkelen en kiezen welke strategie het besten bij hem/haar past.

Hoofdrekenen In het domein ‘rekenen tot 100’ leren de kinderen het hoofdrekenen in zijn meest elementaire vorm kennen. De basis om te komen tot hoofdrekenen wordt voor een belangrijk deel gevormd door: • verwerving van een goed begrip van getallen als zodanig • van het tientallige patroon van de telrij • de verschillende reële betekenissen van de getallen • hun globale positie op de getallenlijn • het gevarieerde tellen met sprongen

Hoofdrekenen: + en – tot 1000 Deze leerlijn vertoont grote overeenkomsten met die van het optellen en aftrekken tot 100. Eerst wordt het getalgebied verkend. Het positioneren van de getallen laat de structuur goed zien. Dit allemaal binnen contexten. Daarna doorlopen de kinderen de drieslag ‘rijgen-splitsen-varia’ In de eerste helft van groep 5 komt vooral het verkennen van het getalgebied tot 1000 en de rijgstrategieën aan bod. Tweede helft groep worden splitsstrategieën aangeboden. Het werken met grote getallen maakt het onoverzichtelijk. Daarom wordt het kolomsgewijs rekenen geïntroduceerd en later het cijferen.

Hoofdrekenen: x met grote getallen Grote vermenigvuldigingen worden in de loop van de tweede helft groep 5 aangeboden. Op dat moment zijn de kinderen al redelijk vertrouwd met de getallen tot 1000 en de rijgstrategieën. Ook is het automatiseringsproces van de tafels al een heel eind gevorderd. De kennis van de tafels (feitenkennis en inzicht in strategieën, verwisseling enz.) vormt samen met de kennis van het optellen en aftrekken tot 1000 de basis voor de verkenning van de grotere vermenigvuldigingen. Ook hier na de verkenning weer de drieslag rijgen-splitsen-varia en ook bij grotere getallen eerst het kolomsgewijs rekenen en daarna het cijferen. Besteed ook aandacht aan de ‘nul-kwestie’

Hoofdrekenen: : kleine en grote getallen Midden groep 5 krijgt het delen en het deelteken een meer formele status. In eerste instantie zijn het vooral opdeelsituaties. De notatie is dan bijv. 18:6= Later krijg je de verdeelsituaties. Je hebt 25 knikkers en die moet je met 4 kinderen verdelen. Hoeveel knikkers krijgt elk kind? Delen blijft nog met vermenigvuldigen verbonden, omdat de oplossingen meestal gevonden worden d.m.v. ‘omgekeerd vermenigvuldigen’.

Hoofdrekenen: x en : met ronde getallen Begin groep 6 leren de kinderen vermenigvuldigingen als 6x40 4x200 Vanaf de tweede helft van groep komen sommen als 50x20 60x250 aan bod. Dit is een erg belangrijk onderdeel van het rekenonderwijs omdat: • Het bedraagt aan de versterking van inzichten in rekeneigenschappen als de ‘nulregel’ en de verdeeleigenschap. • Het draagt in sterke mate bij aan de ontwikkeling van het getalgevoel voor grote getallen. • Het vormt een essentiële ondersteuning voor rekenen met breuken en procenten.

Hoofdrekenen in de hoogste leerjaren In de loop van groep 7 komt de nadruk steeds meer te liggen op het werken met grote getallen. Daarnaast gaat de aandacht in toenemende mate uit naar domeinen buiten die van de hele getallen: breuken, procenten, verhoudingen, kommagetallen. Wat hoofdrekenen betreft worden er weinig nieuwe zaken meer aangeboden. De hoofdrekenactiviteiten in groep 7 en 8 kunnen in 3 soorten activiteiten ingedeeld worden: • Gevarieerde oefeningen • Vermenigvuldigen en delen met ronde getallen • Geldsituaties en alledaagse toepassingen

Hoofdrekenen in de hoogste leerjaren

Kolomsgewijs rekenen en cijferen Het kenmerkende van kolomsgewijs rekenen is de splitsende rekenwijze Met positiegetallen, werkend van groot naar klein en links naar rechts. Dit in tegenstelling tot cijferen waar van klein naar groot en rechts naar links met positiecijfers wordt geopereerd. 463 463 463 ↓ 382 + 382 + 382 + ------ ------ ------ 700 5 845 140 14 ↓ 5 700 ----- ----- 845 845

Kolomsgewijs rekenen en cijferen

Kolomsgewijs rekenen en cijferen Bij kolomsgewijs vermenigvuldigen kan het zijn dat een aantal kinderen bij de splitsende aanpak nog een tussenstap maken: Bij kolomsgewijs delen leren kinderen de uitkomst globaal te schatten. Dat schatten biedt mogelijkheden voor gedifferentieerde aanpak en oplossingen

Kolomsgewijs rekenen en cijferen Cijferend aftrekken kan niet uit kolomsgewijs aftrekken worden afgeleid. Toch is het belangrijk om kolomsgewijs aftrekken aan te bieden. De kinderen leren de grotere aftrekkingen boven honderd inzichtelijk op te lossen. De waarde van cijfers in de getallen blijft in beeld. Dit in tegenstelling tot het cijferend aftrekken. Daar rekenen de kinderen met cijfers en is de waarde uit zicht. Zwakkere rekenaars moeten niet trucmatig cijferend gaan aftrekken. Ze kunnen zich dan beter dat kolomsgewijs aftrekken beperken. Dan blijven ze het inzicht behouden.

Schattend rekenen Schattend rekenen is van grote waarde, want: • Door schattend rekenen krijg je relatief snel greep op de getalsmatige werkelijkheid • Het rekenen met ronde getallen draagt bij aan de maatschappelijke redzaamheid. Rekenen met ronde getallen gaat sneller. • Het versterkt het inzicht in de structuur van de getallen en het begrip van de bewerkingen. • Het is een controlemiddel om achteraf te kijken of een uitkomst kan kloppen. • Door vooraf de uitkomst te schatten kun je de rekenstrategie kiezen, die het beste bij de opgave past.

Schattend rekenen Aspecten van het schattend rekenen: • Het getalaspect • Het taalaspect • Het meetaspect • Het rekenaspect • Het redeneeraspect • Het attitudeaspect

Schattend rekenen Omdat schattend rekenen een nieuw kerndoel binnen het rekenonderwijs is, is er nog geen duidelijke didactische leerling. Schattend rekenen heeft nog geen onderwijsgeschiedenis. Onderstaande fasering van de leerlijn van schattend rekenen moet gezien worden als een voorstel van de schrijvers van dit boek: • Afronden van getallen • Schattend optellen en aftrekken • Schattend vermenigvuldigen en delen • Schattend rekenen met onvolledige gegevens. Deze onderdelen zijn sterk met elkaar verbonden en grijpen in elkaar. Ze worden dus niet na elkaar aangeboden.

Schattend rekenen Type vragen, die schattend rekenen uitlokken: • Is er genoeg? • Kan dit kloppen? • Hoeveel is het ongeveer?

Rekenmachine Hoofdfuncties van de rekenmachine: • Rekenhulpmiddel • Didactische functie • Object van onderzoek

Rekenmachine Oefeningen fase van verkenning: • Eenvoudige opgaven op rekenmachine • Woordjes maken • Cijfers poetsen • Spelletjes Deze oefeningen zijn gelijktijdig de verkenningsfase voor alle drie de hoofdfuncties. Dus niet elke hoofdfunctie heeft een eigen verkenningsfase/verrijkingsfase en integratiefase.

Rekenmachine Oefeningen in de fase van verrijking: • reken(machine)dictee • Schatspellen als kassabonspel en doel-spel • Getalpatronen: constante opteller en constante vermenigvuldiger De fase van integratie: De voordelen worden vooral duidelijk in toepassingsopgaven met grote getallen, kommagetallen, procenten en metrieke maten. Eerst moeten de kinderen het toepassingsprobleem analyseren. Daarna de berekening organiseren (wat moet er gedaan worden). Vervolgens in een rekenschema noteren (wat zijn de bijbehorende rekenhandelingen) en tenslotte de feitelijke berekening uitvoeren. Analyse organisatie rekenschema uitvoering

Onderwijskader Interactief, groepsgericht onderwijs. Typerend voor deze didactiek is dat kinderen als gevolg van gezamenlijk overleg, hun eigen werkwijze, maar ook die van anderen beter leren doorgronden en mede daardoor op een hoger niveau kunnen komen. Een belangrijk voordeel van interactief onderwijs is bovendien dat de taal wordt gestimuleerd die verbonden is met het samen bespreken van problemen. De ontwikkeling van het mathematisch denken steunt voor een groot deel op deze taalontwikkeling. De leerlingen mogen in het realistisch onderwijs hun eigen individuele werkwijze volgen (als die perspectief biedt voor het verdere leren). Die werkwijzen moeten onderwerp van discussie zijn. Kinderen en leerkracht bespreken de aangedragen werkwijzen, hetgeen leidt tot niveauverhoging.

Onderwijskader Interactief, groepsgericht onderwijs. Er zijn binnen de groep 2 soorten interacties: • Verticale interactie: * tussen leraar en individuele leerling * tussen leraar en groepje leerlingen * tussen leraar en hele groep • Horizontale interactie: * leerlingen werken samen in kleine groepjes * leerlingen bespreken oplossing met hele klas

Kinderen leren rekenen