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Teoría Axiomática General de Agregados (V)

Teoría Axiomática General de Agregados (V). Jorge Baralt-Torrijos Universidad Simón Bolívar Octubre 2003. Contenido. Axioma de Reemplazo Funciones Naturales según Peano Naturales según Zermelo Agregados Bien Fundados Políadas. Axioma de Reemplazo. Df. EsUnvc.

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Teoría Axiomática General de Agregados (V)

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  1. Teoría Axiomática General de Agregados (V) Jorge Baralt-Torrijos Universidad Simón Bolívar Octubre 2003 Jorge Baralt-Torrijos

  2. Contenido • Axioma de Reemplazo • Funciones • Naturales según Peano • Naturales según Zermelo • Agregados Bien Fundados • Políadas Jorge Baralt-Torrijos

  3. Axioma de Reemplazo Jorge Baralt-Torrijos

  4. Df. EsUnvc • EsUnvc(y)(x)=az (z Î Intsc(y)(Dom(x)) Þ$!u (u Î x ÙEsParOrd(u) Ùz = Prm(u)))EsUnvc(y)(x)=s x es unívoco en y Jorge Baralt-Torrijos

  5. Ts. EsUnvc • EsVacio(Intsc(y)(Dom(x))) ÞEsUnvc(y)(x) • EsMinimal(x) ÚEsMinimal(y) ÞEsUnvc(y)(x) • EsUnvc(y)(x) Ù z Í y ÞEsUnvc(z)(x) • EsUnvc(y)(x) Ù z Í x ÞEsUnvc(y)(z) Jorge Baralt-Torrijos

  6. Ax. de Reemplazo • EsUnvc(a)(x)  EsClase(Img(x)(a))Þ EsElemento(Img(x)(a)) Jorge Baralt-Torrijos

  7. Resumen de Axiomas (I) • 1. Extensión (Op. 2) • 2. Existencia (Op. 2) • 3. Diferencia • 4. Apareamiento (Op. 2) • 5. Producto Cartesiano • 6. Rotación • 7. Transposición • 8. Dominio Jorge Baralt-Torrijos

  8. Resumen de Axiomas (II) • 9. Reemplazo Jorge Baralt-Torrijos

  9. Ts. de Reemplazo • EsElemento(0Z) • EsIntegrante(0Z) • EsConjunto(0Z) Jorge Baralt-Torrijos

  10. El vacío es un conjunto Minimales Agrupaciones Maximales Integrantes 0Z Elementos Clases Agregados Individuos Jorge Baralt-Torrijos

  11. Si todo agregado es clase Minimales Agrupaciones Maximales Integrantes 0Z Elementos Clases Agregados Individuos Jorge Baralt-Torrijos

  12. El universo de NBG Minimales Agrupaciones Maximales Integrantes 0Z Elementos Clases Agregados Individuos Jorge Baralt-Torrijos

  13. Funciones Jorge Baralt-Torrijos

  14. Df. ResAp • ResAp(z)(y)(x)=a$u (uÎ zÙ EsParOrd(u)Ùu = ParOrd(y)(x) )ResAp(z)(y)(x)=s x es un resultado de aplicar z a y Jorge Baralt-Torrijos

  15. Ts. ResAp • $x ResAp(z)(y)(x)  y Î Dom(z) Jorge Baralt-Torrijos

  16. Df. EstaDef • EstaDef(y)(x)=a$z ResAp(x)(y)(z) EstaDef(y)(x)=s x está definido para y Jorge Baralt-Torrijos

  17. Ts. EstaDef • EstaDef(y)(x)y Î Dom(x) Jorge Baralt-Torrijos

  18. Df. EstaDet • EstaDet(y)(x)=a$!z ResAp(x)(y)(z)EstaDet(y)(x)=s x está determinado para y Jorge Baralt-Torrijos

  19. Ts. EstaDet • EstaDet(y)(x) Þ EstaDef(y)(x) Jorge Baralt-Torrijos

  20. Df. DomS • DomS(x) = y=a EsAgregado(y) Ù "z (z Î y Û EstaDet(z)(x))DomS(x)=sel dominio de singularidad de x Jorge Baralt-Torrijos

  21. Ts. DomS • "y (y Î x Þ ¬EsParOrd(y))ÞDomS(x) = 0Z • EsMinimal(x) Þ DomS(x) = 0Z • DomS(x) = y Þ EsAgregado(y) Ùy  Dom(x) ÙDomS(Nucleo(x)) = yÙ EsUnvc(y)(x) Ù (EsUnvc(z)(x) Intsc(z)(Dom(x))) Í y) Jorge Baralt-Torrijos

  22. Df. Ap • Ap(y)(x) = z=aEstaDet(x)(y) Ù ResAp(y)(x)(z)Ap(y)(x)=sla aplicación de y a xy(x) =aAp(y)(x) Jorge Baralt-Torrijos

  23. Ts. Ap • Ap(y)(x) = iz ResAp(y)(x)(z) • DomS(y) = u Ù x Î u Þ$!z Ap(y)(x) = z Jorge Baralt-Torrijos

  24. Df. EsFuncion • EsFuncion(x)=a EsRelacion(x) ÙEsUnvc(Dom(x))(x)EsFuncion(x)=s x es una función Jorge Baralt-Torrijos

  25. Ts. EsFuncion • EsFuncion(x) Þ DomS(x) = Dom(x) • DomS(x) = Dom(x) Þ EsFuncion(Nucleo(x)) Jorge Baralt-Torrijos

  26. Df. EsOperacion • EsOperacion(x)=a EsFuncion(x) Ù EsRelacion(Dom(x))EsOperacion(x)=s x es una operación Jorge Baralt-Torrijos

  27. Naturales según Peano Jorge Baralt-Torrijos

  28. Df. EsFunSuc • EsFunSuc(x) =a EsFuncion(x) Ù Rng(x) Í Dom(x) ÙEsFuncion(Inv(x)) Ù$y (y ÎDif(Rng(x))(Dom(x))Ù "z (z Í Dom(x) Ù y Î z Ù"u (u Î x Þ (Prm(u) Î zÞ Sgd(u) Î z)) Þ Dom(x) Í z ) )EsFunSuc(x) =sx es una función de sucesión Jorge Baralt-Torrijos

  29. Ts. EsFunSuc • EsFunSuc(x) Ù y ÎDif(Rng(x))(Dom(x)) Þ "z (z ÎDif(Rng(x))(Dom(x)) Þ z = y) • EsFunSuc(x) Þ $!y (y ÎDif(Rng(x))(Dom(x)) Jorge Baralt-Torrijos

  30. Df. Naturales de Peano • 0P(x) = y =a EsFunSuc(x) Ùy Î Dif(Rng(x))(Dom(x))0P(x) =sel cero de Peano de x • 1P(x) = y =a EsFunSuc(x) Ù y = x(0P(x))1P(x) =sel uno de Peano de x • … • n’P(x) = y =a EsFunSuc(x) Ù y = x(nP(x))n’P(x) =sel n’ de Peano de x Jorge Baralt-Torrijos

  31. Diagrama de función de sucesión x x x x x 0P(x) 1P(x) 2P(x) 3P(x) 4P(x) Jorge Baralt-Torrijos

  32. Naturales según Zermelo Jorge Baralt-Torrijos

  33. Df. SucZ • SucZ(x) = y =a EsAgregado(y) Ù "z (z Î y Û z = x)SucZ(x) =sel sucesor de x según Zermelo Jorge Baralt-Torrijos

  34. Ts. SucZ • SucZ(x) = Atm(x) • EsIntegrante(x) Þ $y SucZ(x) = y • $x SucZ(a) = x • SucZ(x) = y Þ EsIntegrante(y) • EsIndivQ(x) Þ SucZ(x) = x Jorge Baralt-Torrijos

  35. Df. EsNatZ • EsNatZ(x) =a x = 0Z Ú$y (EsNatZ(y)Ù x = SucZ(y)) EsNatZ(x) =sx es natural según Zermelo Jorge Baralt-Torrijos

  36. Ts. EsNatZ • SucZ(x) = y Þ y  0Z • SucZ(x) = SucZ(y) Þ x = y • EsFuncion(x) Ù "z (z Î x  EsNatZ(Prm(z)) Ù Sgd(z) = SucZ(Prm(z)) ) Þ EsFunSuc(x) Jorge Baralt-Torrijos

  37. nZ : 2Z 1Z 0Z Df. de naturales Zermelo • 1Z =a SucZ(0Z)2Z =a SucZ(1Z) 3Z =a SucZ(2Z)...n’Z =a SucZ(nZ) EsMbr Jorge Baralt-Torrijos

  38. Df. NatZ • NatZ = x =a EsAgregado(x) Ù"y (y Î x  EsNatZ(y)) NatZ =slos naturales según Zermelo Jorge Baralt-Torrijos

  39. Agregados Bien Fundados Jorge Baralt-Torrijos

  40. Df. AgrBnFnd • EsAgrBnFnd(x) =a EsVacio(x) Ú$y (y Î x Ù"z (z Î y Þ z Ïx)) • EsAgrBnFnd(x) =s x es un agregado bien fundado Jorge Baralt-Torrijos

  41. Ts. AgrBnFund • EsAgrBnFnd(x) Þ EsAgregado(x) • EsVacio(x) Þ EsAgrBnFnd(x) • ¬ EsAgrBnFnd(x) Þ EsAgrupacion(x) Ú EsIndividuo(x) • $x (EsMinimal(x) Ù x Î y) Þ EsAgrBnFnd(y) • ¬ EsAgrBnFnd(x) Þ"y (y Î x Þ EsAgrupacion(y)) Jorge Baralt-Torrijos

  42. Df. AgrNoBnFnd • EsAgrNoBnFnd(x) =a EsAgregado(x) Ù¬ EsAgrBnFnd(x) • EsAgrNoBnFnd(x) =s x es un agregado no bien fundado Jorge Baralt-Torrijos

  43. Ts. AgrNoBnFnd • EsAgrNoBnFnd(x) Þ EsAgrupacion(x) Ù"y (y Î x Þ$z (z Î y Ù z Î x)) • x Î x Þ EsAgrNoBnFnd(Atm(x)) • x Î y Ù y Î x Þ EsAgrNoBnFnd(Par(y)(x)) • Atm(x) = x Þ x Î x • x1Î x2Ù x2Î x3Ù…Ù xn-1Î xnÙ xnÎ x1Ù "y (y Î z  y = x1 Ú y = x2 Ú …Ú y = xn-1 Ú y = xn) Þ EsAgrNoBnFnd(z) • EsIndivQ(x) Þ EsAgrNoBnFnd(x) Jorge Baralt-Torrijos

  44. Ts. AgrBnFnd (2) • EsNatZ(x) Þ SucZ(x)  x • EsNatZ(x) Þ x Ï x • EsNatZ(x) Þ EsAgrBnFnd(x • NatZ = x Þ EsAgrBnFnd(x) Jorge Baralt-Torrijos

  45. Políadas Jorge Baralt-Torrijos

  46. Notación de naturales • 0=a 0P(x)  0Z  … • 1=a 0P(x)  0Z  … • 2=a 0P(x)  0Z  … • … • n=anP(x) nZ  … • Suc(n)=an’P(x) n’Z  … Jorge Baralt-Torrijos

  47. Df. EsPoliAdi • EsPoliAdi(n)(x)=a (¬ EsParOrd(x)  n = 1)  (EsParOrd(x) ($k)(EsPoliAdi(k)(Prm(x))  n =Suc(k)) )EsPoliAdi(n)(x)=s x es una políada de adicidad n Jorge Baralt-Torrijos

  48. Df. Pol • Pol(x1) =ax1 • Pol(y)(xn)…(x2)(x1) = z=ax = Pol(xn)…(x2)(x1)z =ParOrd(y)(x)<x1,x2,…,xn>=aPol(xn)…(x2)(x1) Jorge Baralt-Torrijos

  49. Ts. EsPoliAdi • ¬ EsParOrd(x)  EsPolAdi(1)(x) EsPolAdi(2)(<x,y>) EsPolAdi(3)(<<x,y>,z>) … Jorge Baralt-Torrijos

  50. Políadas de adicidad n • <x1>=a x1<x1,x2> = <<x1>,x2><x1,x2,x3>=a<<x1,x2>,x3> ... <x1,x2,…,xn>=a<<x1,x2>,…,xn> Jorge Baralt-Torrijos

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