1 / 38

第 1 章 Haar 小波分析

清华大学计算机系 --- 孙延奎 ---2005. 第 1 章 Haar 小波分析. 1. 小波变换及其计算. 求平均与细节 ( 介绍 4 种 ) 滤波器实现即 Mallat 算法.  矩阵算法及提升算法. 1. 小波变换及其计算 ( 续 ).  矩阵算法及提升算法.  矩阵算法.  提升算法. 逆小波变换. 正向小波变换. 2. Haar 尺度函数、小波函数、多分辨分析.  标准化尺度和小波下的情况如何？.  多分辨分析. 2. Haar 尺度函数、小波函数、多分辨分析（续）.  函数的多分辨表示. 尺度空间.

etan
Download Presentation

第 1 章 Haar 小波分析

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. 清华大学计算机系---孙延奎---2005 第1章 Haar小波分析 1.小波变换及其计算 • 求平均与细节(介绍4种) • 滤波器实现即Mallat算法 矩阵算法及提升算法

  2. 1.小波变换及其计算(续)  矩阵算法及提升算法  矩阵算法  提升算法 逆小波变换 正向小波变换

  3. 2. Haar尺度函数、小波函数、多分辨分析  标准化尺度和小波下的情况如何？

  4.  多分辨分析 2. Haar尺度函数、小波函数、多分辨分析（续）  函数的多分辨表示 尺度空间 小波空间 （标准化尺度函数与小波） • 几个概念之间的联系 • 多分辨逼近

  5. Lena图象的多尺度逼近

  6. 第2章 多分辨分析 空间 •  一维正交多分辨分析及如何通过它构造小波 • Mallat算法 • 一维双正交多分辨分析

  7. 一、两个重要的完备的内积空间 线性空间:集合+代数运算（加法与数乘） 内积空间: 线性空间 + 内积运算 完备的内积空间: 内积空间+ 对limit运算封闭

  8. Waves

  9. 傅立叶变换用三角函数(正弦波与余弦波)作为正交基函数.傅立叶变换用三角函数(正弦波与余弦波)作为正交基函数.

  10. 二、一维正交多分辨分析 常用多分辨分析（Multiresolution Analysis,MRA）构造正交小波基 MRA (非正交)尺度函数 正交化 正交尺度函数 两尺度方程 低通滤波器 高通滤波器 小波方程 小波函数 Mallat算法

  11. MRA 令 ， 中的一个函数子空间序列。若下列条件成立： 1) 单调性： ， 2) 逼近性 ： ， 3) 伸缩性 ： 4) 平移不变性： 5) Riesz 基存在性： 存在函数 ， 使 构成 的一个Riesz基（不一定是正交的） 。 称为尺度函数。 多分辨分析。

  12. MRA（续）

  13. MRA（续） 两尺度方程 ：  Haar多分辨分析

  14. MRA（续）  基数B样条多分辨分析 次样条空间 是如下函数的集合： 次连续可微，且在任意二进区间 上是 m 次多项式。 记 的尺度函数

  15. MRA（续）  Shannon多分辨分析 的正交尺度函数。

  16. 正交尺度函数的构造 尺度函数 正交尺度函数 性质？ 问题: 不是 的标准正交基. 构成 的标准正交基. 目标: 构造一个小波 ,使

  17. 正交小波函数的构造 令 , 则 是 的标准正交基. 构成 的标准正交基。 即 是一个小波 。 是一个正交小波 。 时域求解过程 MRA

  18. 正交小波函数的构造(续) 频域求解过程

  19. 正交小波函数的构造举例  Haar小波

  20. 正交小波函数的构造举例（续）  Shannon小波

  21. 半正交小波函数的构造举例  基数B样条小波 是m次基数B样条多分辨分析 的一个非正交的尺度函数 。 的性质: 支撑为 ; ; 的两尺度方程:

  22. 半正交小波函数的构造举例(续) 基数B样条小波: 性质: 半正交性: 紧支撑性: 对称性:

  23. 正交小波函数的构造举例（续）  Battle-Lemarie样条小波 引入m+1阶基数B样条多分辨分析的另一个非正交尺度函数. 对称 定义: 对称 : m次盒样条. m是偶数时 m是奇数时 正交化

  24. 正交小波函数的构造举例（续）  Battle-Lemarie样条小波

  25. 正交小波函数的构造举例（续）  Battle-Lemarie样条小波 Battle-Lemarie线性样条尺度函数与小波 有无限支集，但 是指数衰减的。 对称的正交小波。

  26. Mallat算法 小波系数 Pj正交投影

  27. Mallat算法(续) 问题：已知 ，给出计算 ， 的快速算法。 分解算法 重构算法 Mallat算法

  28. Mallat算法(续) 小波分解与重构的滤波器组表示 : 分析滤波器 : 综合滤波器

  29. 一维双正交多分辨分析 Riesz基的定义: , , 是L2(R)的Riesz基,如果 下列条件成立:  , 线性无关.  存在常数A和B, , 使得对任意的有限能量函数f(t),有

  30. 一维双正交多分辨分析(续) 双正交多分辨分析的定义: 如果以下条件成立： 1) 2) , 3) 如果存在L2(R)中的函数 , 和序列 、 满足 ： 使得 且 是 的Riesz基； 是 的Riesz基。 从而 , , 是L2(R)的Riesz基 则称 是L2(R)的一个双正交多分辨分析 。

  31. 一维双正交多分辨分析(续) 空间分解与函数的多分辨表示: ， ，

  32. Mallat算法 分解算法： 重构算法： 滤波器组表示：

More Related