1 / 36

A váltóáramú áramkörök vizsgálati módszerei

A váltóáramú áramkörök vizsgálati módszerei. Gábor Dénes Főiskola Erdélyi Konzultációs központ Szatmárnémeti tagozat. Domokos Csaba Muhi Miklós Varga György. Bevezetés. A dolgozat célja a szinusosan váltakozó áramú áramkörök tanulmányozása analitikus és komplex számok módszereivel

etana
Download Presentation

A váltóáramú áramkörök vizsgálati módszerei

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. A váltóáramú áramkörök vizsgálati módszerei Gábor Dénes Főiskola Erdélyi Konzultációs központ Szatmárnémeti tagozat Domokos Csaba Muhi Miklós Varga György Távoktatási Módszertani Dolgozat

  2. Bevezetés • A dolgozat célja a szinusosan váltakozó áramú áramkörök tanulmányozása analitikus és komplex számok módszereivel • tartalom: -komplex számok matematikája -az áramkörök tanulmányozása -feladat megoldás Távoktatási Módszertani Dolgozat

  3. 1.Komplex számok, komplex függvények. 1.1. A komplex szám fogalma ( az algebrai alak ). Sokszor a legegyszerűbb másodfokú egyenlet megoldása sem végezhető el a valós számok halmazán (az R-en), ilyen, pl. az x2+1=0 egyenlet. Ha az egyenletből a -et értelmezzük, egy "számnak" tekinjük és i-vel jelöljük . Ez egy egészen új szám , mivel i2=-1 negatív, amely a valós számhalmazban lehetetlen. Ez a "szám" a képzetes imaginárius egység, amelynek segítségével egészen új jellegű "számokat" képezhetünk, ilyen a z=a+bi, ahol a és b valós számok. . A z=a+bi, a komplex szám algebrai alak-ja., ahol a a valós és b a képzetes rész Könnyen belátható, hogy a komplex számok segítségével bármely másodfokú egyenlet megoldható a C={z=a+bi| a,bRkomplex számhalmaz-ban. Távoktatási Módszertani Dolgozat

  4. 1.1.1 . Műveletek komplex számokkal Legyen z1=a1+b1i és z2=a2+b2i két komplex szám . Egyenlőség. z1=z2, akkor és csakis akkor, ha: a1=a2 és b1=b2. Összeadás.A z1 és z2 két komplex szám összegén a z=z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2) i komplex számot értjük.Több komplex szám esetén: z1+z2++zn=(a1+a2++an)+(b1+b2+bn) i. Kivonás.A z1 és z2 két komplex szám különbsége a z=z1-z2=(a1-a2)+(b1-b2)i komplex szám. Szorzás.A z1 és z2 szám szorzatán a z=z1z2=(a1a2-b1b2)+(a1b2+a2b1)i komplex számot értjük. Távoktatási Módszertani Dolgozat

  5. Osztás:Ha z20, akkor a z1 és z2 két komplex szám hányadosán a komplex számot értjük. Műveleti tulajdonságok : Összeadásra :A1: Az összeadás asszociatív, (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3), bármely z1, z2, z3C esetén. A2: Az összeadás kommutatív, z1+z2=z2+z1, bármely z1, z2C esetén.A3: Létezik semleges elem az összeadásra nézve, 0=0+0·iC, úgy hogy 0+z=z+0=z bármely zC esetén.A4: Bármely elemnek van ellentettje, bármely zC, -zC úgy hogy z+(-z)=(-z)+z=0. Távoktatási Módszertani Dolgozat

  6. Szorzásra: I1: A szorzás asszociatív, (z1z2)z3=z1(z2z3), bármely z1,z2,z3C esetén.I2: A szorzás kommutatív: z1z2=z2z1, bármely z1,z2C esetén.I3: Létezik semleges elem a szorzásra nézve, 1=1+0iC, úgy hogy 1z=z1=z, bármely zC esetén.I4: Bármely z0, zC esetén z-1= úgy, hogy zz-1=z-1z=1. Disztributivitás:A fentebbi két tulajdonság csoportot összeköti a szorzás disztributivitása az összeadásra nézvez1(z2+z3)=z1z2+z1z3, bármely z1, z2, z3C esetén. Távoktatási Módszertani Dolgozat

  7. 1.1.2. Komplex szám konjugáltja. A tetszőleges z=a+bi komplex számhoz hozzárendelhető a komplex szám, a z konjugáltja.Tulajdonságok.Legyen z1 és z2 két tetszőleges komplex szám: és ha z20, valamint . 1.1.3.A komplex számok ábrázolása.A z=a+bi komplex szám valós és képzetes része egy P(a,b) pontot jelöl ki a koordináta rendszerben. Mértani értelemben minden komplex számhoz hozzárendelhető (egyértelműen) a sík egy pontja és fordítva. Távoktatási Módszertani Dolgozat

  8. Ezért ezt a síkot a komplex számsík-nak nevezhetjük, ahol az Ox tengely a valós tengely és az Oy pedig a képzetes tengely. Ha ugyanazon koordináta rendszerben ábrázoljuk a z és a számokat észrevesszük, hogy a grafikus képek szimmetrikusak az Ox tengelyre nézve. A komplex szám egy másik mértani értelmezése , hogy a sík minden P pontjához rendeljük hozzá ennek helyzetvektorát (rádiuszvektorát), az vektort. Így bármely z=a+bi komplex szám ábrázolható az vektorral, ahol P(a,b) a sík egy pontja y P(a,b) z b +- a x 0 1.1.3.1. ábra P(a,-b) Távoktatási Módszertani Dolgozat

  9. 1.1.4.A komplex számok összeadásának és kivonásának mértani értelmezése. A komplex számoknak vektorokkal való ábrázolása lehetővé teszi az összeadás és kivonás műveletének mértani értelmezését. Legyen z1=a1+b1i és z2=a2+b2i két komplex szám és az ezeknek megfelelő két vektor, és , melyek koordinátái (a1,b1) és (a2,b2), akkor az (ahol S a paralelogramma negyedik csúcsa) vektor koordinátái (a1+a2,b1+b2), 1.1.4.1. ábra. Az vektor a z1=a1+b1i és z2=a2+b2i két komplex szám összegének felel meg. y P2 S P1 x 0 1.1.4.1. ábra Távoktatási Módszertani Dolgozat

  10. A z1-z2különbség mértani értelmezése a következőképen levezethető. Tekintsük a P2-nek az origóra vonatkoztatott szimmetrikusát, legyen ez P2, ahol az vektor koordinátái (-a2,-b2). y P2 P1 0 x P P!2 1.1.4.2. ábra Mivel z1-z2=z1+(-z2), figyelembe véve a komplex számok összeadásának mértani értelmezését, következik , hogy a P pont koordinátái: (a1-a2, b1-b2) és az a z1-z2 különbségnek felel meg. 1.1.5.A komplex szám abszolút értéke (nagysága, hossza). A z=a+bi komplex szám abszolút értékén a valós számot értjük. Mint azt az 1.1.3.1 ábrán is látjuk az abszolút érték nem más mint a P(a,b) pontnak az origótól való r távolsága. Távoktatási Módszertani Dolgozat

  11. Néhány fontosabb reláció a komplex számok abszolút értékére vonatkozóan: (háromszög egyenlőtlenség). 1.2.A komplex szám trigonometrikus alakja. Az alkalmazott matematikában sokszor szükség van a komplex szám más alakjára is, ilyen például a trigonometrikus alak. Az 1.1.3.1. ábrából kitűnik, hogy a z=a+bi komplex szám valós része a=rcos, a képzetes rész pedig b=rsin alakban írható, ahol (1.2.1) Távoktatási Módszertani Dolgozat

  12. Innen adódik , hogy z=r(cos+isin) alakban is megadható. Ez a komplex szám trigonometrikus alakja. A  szög meghatározása a következőképen történik, ha (-,]. (1.2.2.) Távoktatási Módszertani Dolgozat

  13. 1.2.1. Műveletek. Legyen z1=r1(cos1+isin1) és z2=r2(cos2+isin2) két tetszőleges komplex szám. Szorzat.z1z2=r1r2(cos(1+2)+isin(1+2)). Abszolút értéke, az abszolút érétkek szorzata, szöge pedig a szögek összege. Hányados. Abszolút értéke, az abszolút értékek hányadosa, szöge pedig a szögek külömbsége. Hatvány.Ha z=r(cos+isin) és nN,n1, akkor zn=rn(cosn+isinn). Tehát az abszolút érték n-edik hatványát , a szög n-szeresét vesszük. Távoktatási Módszertani Dolgozat

  14. Gyök. Ha z=r(cos+isin) és nN, n2, akkor: Mint látjuk egy komplex számnak n-db. gyöke van, mindegyik abszolút értéke ugyanaz: . 1.3.A komplex szám exponenciális alakja. Az r abszolút érték és a  szög segítségével minden z=a+bi komplex szám z=rei alakban is felírható. Ez a komplex szám exponenciális alakja . Távoktatási Módszertani Dolgozat

  15. 1.3.1. Műveletek. Legyen z1=r1ei1 és z2=r2ei2, két tetszőleges komplex szám. Szorzat .z1z2=r1r2ei(1+2) Hányados . , ahol z20. Hatvány. Ha z=rei tetszőleges komplex szám és nN, n1, akkor zn=rnein. Gyök. Ha z=rei egy tetszőleges komplex szám és nN,n2, akkor: Megjegyzés :Nyilvánvaló a trigonometrikus és az exponenciális alak közötti alábbi összefüggés: r(cos+isin)=rei, ahonnan ei=cos+isin.( Euler-féle összefüggés.) Távoktatási Módszertani Dolgozat

  16. 1.4.Komplex függvények. Értelmezés: Az f függvényt komplex függvénynek nevezzük, ha mind értelmezési tartománya, mind értékkészlete a komplex számok halmazának valamely részhalmaza. Azaz, ha D a komplex sík valamely halmaza, akkor a z=a+biD ponthoz, az f által egyértelműen rendelt, w=f(z) komplex szám alakja u(x,y)+iv(x,y), ahol az u és a v kétváltozós valós függvény értelmezési halmazát azon (x,y) valós érték párok képezik, amelyekre nézve x+yiD. A valós függvények vizsgálatakor értelmezett fogalmak: környezet, torlódási pont, határérték, differenciálható függvény, derivált függvény, stb. fogalmak a komplex függvényekre is lényegében változatlanul átvihetők. Bizonyos feltételeknek eleget tevő komplex függvények deriváltjának és integráljának meghatározása, a valós függvényekéhez hasonlóan történik Távoktatási Módszertani Dolgozat

  17. 2. Váltóáramú áramkörök tanulmányozása • Az áramköri elemek : ellenállás (R) ,tekercs (L) és kondenzátor (C) viselkedése a váltakozó áramú áramkörökben , egy sor gyakorlati problémát vet fel az elektromosságtanban , ezért jelentős szerepet tölt be az elektrónika világában is . Az áramkörök vizsgálati módszerei között megemlítjük a : • forgóvektoros ; valamint • komplex számok módszereit , melyek a legelterjedtebb módszerek , ezen a téren . • Be fogjuk mutatni a két módszert , valamint alkalmazzuk ezeket feladatok megoldásánál , kiemelve mindkét módszer előnyeit és hátrányait . • Kezdjük a kérdésfeltevéssel : mi történik az áramkörökben ? Távoktatási Módszertani Dolgozat

  18. 2.1. FORGÓVEKTOROS MÓDSZER Adott az alábbi áramkör : R L C u(t) uR uL uC i(t) A huroktörvény alapján felírható: (2.1.1) A kondenzátor kezdeti töltését zérónak vettük. A megoldást szinuszos alakban keressük. Távoktatási Módszertani Dolgozat

  19. Um Vagyis i(t)=Imsin(wt+ j) a műveletek elvégzése után kapjuk : A jobboldal három tagját úgy is tekinthetjük, mint három különböző forgóvektor eredőjét, amelyek kezdőfázisai különbözőek,(lásd fazor). Ábrázoljuk a vektorok összeadását, a kezdeti időpontban. Az időpont megválasztása lényegtelen mivel a forgás közben a vektorok egymáshoz viszonyított helyzete amúgy sem változik. wLIm RIm I Távoktatási Módszertani Dolgozat

  20. Az ábrából látszik, hogy egy soros áramkörben az áramerősség kiszámítható, ha ismerjük a feszültséget (maximális, vagy effektív értékét) és az impedanciának nevezendő, alábbi mennyiséget. Természetesen, ha a kapcsolási mód megváltozik, újra kell tárgyalni, előröl az egész áramkört. Ez érvényes a vegyes kapcsolású áramkörre is, ahol a tárgyalás esetenként nagyon bonyolult is lehet. Nézzük egy párhuzamos kapcsolás esetén Távoktatási Módszertani Dolgozat

  21. R L C u(t) iR iL iC I Ebben az esetben az áramerős-ségek adódnak össze: i(t)=iR+iL+iC a csomópont törvény értelmé-ben . Most is felrajzolhatjuk a fazorokat , de itt a viszonyítási mennyiség az U. wC Um Az impedancia pedig: Im U Távoktatási Módszertani Dolgozat

  22. 2.2.AZ ÁRAMKÖR KOMPLEX SZÁMOKKAL VALÓ TÁRGYALÁSA Ha most a ( 2.1.1.) egyenlet megoldását az alábbi alakban keressük (j=i)Akkor, az alábbi összefüggést kapjuk Ahol az a komplex áramerősség. Látható, hogy az impedancia három részből áll, ami lényegében két féle. Az R, ami valós, a másik kettő képzetes. Ami valahol természetes is mert más jellegű, másfajta jelenség hozza létre. Távoktatási Módszertani Dolgozat

  23. Mivel a dolgok valahol összefüggnek, az impedanciát felfoghatjuk úgy is, hogy komplex jellege, csak a kétféle dolog megkülöböz-tetését szolgálja, mint a két koordináta tengely által alkotott sík pontjai. Tehát: =R+j(XL-XC)=R+jX vagyis Természetesen csak a valós értékeknek lehet fizikai megfelelőjük, csak azok mérhetők, ezért a moduluszukkal számolunk. A fent vázolt módszernek az előnye az, hogy a törvények alakja nem változik . Távoktatási Módszertani Dolgozat

  24. Az eredő impedancia: • soros kapcsolás esetén: • párhuzamos kapcsolás esetén: • A Kirchhoff törvények felírhatók : • csomópontra : • hurokra : A valós fizikai mennyiség valójában a komplex mennyiségek modulusza , vagyis : Távoktatási Módszertani Dolgozat

  25. 3.A MÓDSZEREK ALKALMAZÁSA A következőkben feladatokon keresztül hasonlítjuk össze a két módszert , egyszerű és bonyolultabb feladatok esetén . -Legyen egy kapcsolás melyben R=4W , L=12,7mH= vagyis XL=4W , valamint vagyis XC=7W ha w=100p , valamint U=20 V . A három elemből alkotunk először egy egyszerű áramkört, ismerve az elemeit, számítsuk ki az áramerősségeket és a feszültségeket. R L C U uR uL uC i Távoktatási Módszertani Dolgozat

  26. 3.1.1.A FORGÓ VEKTOROS MÓDSZER Kiszámoljuk a mennyiségeket UR=RI=4•4=16V, UL=XLI=4•4 =16V , UC=XCI=7•4=28V Látszik, hogy a feszültségek összege nem egyenlő az áramkör sarkain a feszültséggel.Vagyis a fazoriális diagram így néz ki : URUCUL I U Távoktatási Módszertani Dolgozat

  27. 3.1.2.A KOMPLEX MÓDSZER Felírjuk a komplex mennyiségeket: Távoktatási Módszertani Dolgozat

  28. Megállapítások : • A komplex módszernél a feszültségek összege a tápfeszültséggel egyenlő . • Egyszerü áramkörnél előnyösebb a forgóvektoros módszer . • Változtassunk a kapcsolási rajzon és egy bonyolultabb feladatot kapunk. Megőrizzük az adatokat és megoldjuk az új feladatot (3.2) I I2 R C L U I1 Távoktatási Módszertani Dolgozat

  29. 3.2.1.A FORGÓVEKTOROS MÓDSZER Észrevehető , hogy vegyes kapcsolásunk van . Az elöbbiek értelmében kiszámítható: Az eredő I áramerősség kiszámításához szükségünk van a fázisdiagramra. Távoktatási Módszertani Dolgozat

  30. I2 I U Ezt egy kicsit átalakítva kapjuk : UR UL I2 I1 I I1XL U j a RI1 I1 Távoktatási Módszertani Dolgozat

  31. Ebeen az esetben szerencsénk van az a szög értékére . Ha nem tudom megállapítani a szög értékét, akkor az eljárás a következő: Ugyanakkor a j szög is kiszámítható , vagyis a fáziseltolódás a feszültség és áramerősség között , a következő összefüggésekkel: Távoktatási Módszertani Dolgozat

  32. 3.2.2.A KOMPLEX MÓDSZER Felírva a mennyiségek komplex értékeit meghatározzuk az áramerősségeket. Természetesen ugyanazt az értéket kaptuk . Távoktatási Módszertani Dolgozat

  33. Mivel az áramok összeadódnak: Természetesen úgy is ki lehet számítani, ha először az eredő impedanciát számolom ki: Távoktatási Módszertani Dolgozat

  34. Ahogy látszik is, megegyezik a fenti értékkel. A feszültségek kiszámítása: Számítsuk még ki az áramkör sarkain a feszültséget: Amint az következik, a sorba kapcsolt elemeken a feszültségek összeadódnak . Távoktatási Módszertani Dolgozat

  35. Előnyünk van viszont a j fázis szög kiszámításánál , ugyanis komplex számok esetében a tgj a képzetes és valós részek aránya az (1.2.1.) és (1.2.2.) összefüggések értelmében : Látszik , hogy a fáziseltolódás a feszültség és áramerősség között könnyebbenen megállapítható , mivel a tápfeszültségnek csak valós része volt. Távoktatási Módszertani Dolgozat

  36. 4. KÖVETKEZTETÉSEK • Mindkét módszer alkalmazható, ugyanarra az eredményre vezet (természetesen). • Egyszerű feladatok estén a forgóvektoros módszer alkalmazása előnyösebb. • Bonyolult feladatok esetén, a komplex módszer alkalmazása szükséges is lehet. Nem kell fázisdiagramokat készíteni, majd onnan kiokosodni, mert komplexben alkalmazhatók a törvényszerűségek az általunk ismert alakban. • A fázis szöget viszont lényegesen egyszerübb kiszámolni a komplex módszerrel , ezért az elektrónika inkább ezt a módszert használja . Távoktatási Módszertani Dolgozat

More Related