A váltóáramú áramkörök vizsgálati módszerei

1. A váltóáramú áramkörök vizsgálati módszerei Gábor Dénes Főiskola Erdélyi Konzultációs központ Szatmárnémeti tagozat Domokos Csaba Muhi Miklós Varga György Távoktatási Módszertani Dolgozat

2. Bevezetés • A dolgozat célja a szinusosan váltakozó áramú áramkörök tanulmányozása analitikus és komplex számok módszereivel • tartalom: -komplex számok matematikája -az áramkörök tanulmányozása -feladat megoldás Távoktatási Módszertani Dolgozat

3. 1.Komplex számok, komplex függvények. 1.1. A komplex szám fogalma ( az algebrai alak ). Sokszor a legegyszerűbb másodfokú egyenlet megoldása sem végezhető el a valós számok halmazán (az R-en), ilyen, pl. az x2+1=0 egyenlet. Ha az egyenletből a -et értelmezzük, egy "számnak" tekinjük és i-vel jelöljük . Ez egy egészen új szám , mivel i2=-1 negatív, amely a valós számhalmazban lehetetlen. Ez a "szám" a képzetes imaginárius egység, amelynek segítségével egészen új jellegű "számokat" képezhetünk, ilyen a z=a+bi, ahol a és b valós számok. . A z=a+bi, a komplex szám algebrai alak-ja., ahol a a valós és b a képzetes rész Könnyen belátható, hogy a komplex számok segítségével bármely másodfokú egyenlet megoldható a C={z=a+bi| a,bRkomplex számhalmaz-ban. Távoktatási Módszertani Dolgozat

4. 1.1.1 . Műveletek komplex számokkal Legyen z1=a1+b1i és z2=a2+b2i két komplex szám . Egyenlőség. z1=z2, akkor és csakis akkor, ha: a1=a2 és b1=b2. Összeadás.A z1 és z2 két komplex szám összegén a z=z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2) i komplex számot értjük.Több komplex szám esetén: z1+z2++zn=(a1+a2++an)+(b1+b2+bn) i. Kivonás.A z1 és z2 két komplex szám különbsége a z=z1-z2=(a1-a2)+(b1-b2)i komplex szám. Szorzás.A z1 és z2 szám szorzatán a z=z1z2=(a1a2-b1b2)+(a1b2+a2b1)i komplex számot értjük. Távoktatási Módszertani Dolgozat

5. Osztás:Ha z20, akkor a z1 és z2 két komplex szám hányadosán a komplex számot értjük. Műveleti tulajdonságok : Összeadásra :A1: Az összeadás asszociatív, (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3), bármely z1, z2, z3C esetén. A2: Az összeadás kommutatív, z1+z2=z2+z1, bármely z1, z2C esetén.A3: Létezik semleges elem az összeadásra nézve, 0=0+0·iC, úgy hogy 0+z=z+0=z bármely zC esetén.A4: Bármely elemnek van ellentettje, bármely zC, -zC úgy hogy z+(-z)=(-z)+z=0. Távoktatási Módszertani Dolgozat

6. Szorzásra: I1: A szorzás asszociatív, (z1z2)z3=z1(z2z3), bármely z1,z2,z3C esetén.I2: A szorzás kommutatív: z1z2=z2z1, bármely z1,z2C esetén.I3: Létezik semleges elem a szorzásra nézve, 1=1+0iC, úgy hogy 1z=z1=z, bármely zC esetén.I4: Bármely z0, zC esetén z-1= úgy, hogy zz-1=z-1z=1. Disztributivitás:A fentebbi két tulajdonság csoportot összeköti a szorzás disztributivitása az összeadásra nézvez1(z2+z3)=z1z2+z1z3, bármely z1, z2, z3C esetén. Távoktatási Módszertani Dolgozat

7. 1.1.2. Komplex szám konjugáltja. A tetszőleges z=a+bi komplex számhoz hozzárendelhető a komplex szám, a z konjugáltja.Tulajdonságok.Legyen z1 és z2 két tetszőleges komplex szám: és ha z20, valamint . 1.1.3.A komplex számok ábrázolása.A z=a+bi komplex szám valós és képzetes része egy P(a,b) pontot jelöl ki a koordináta rendszerben. Mértani értelemben minden komplex számhoz hozzárendelhető (egyértelműen) a sík egy pontja és fordítva. Távoktatási Módszertani Dolgozat

8. Ezért ezt a síkot a komplex számsík-nak nevezhetjük, ahol az Ox tengely a valós tengely és az Oy pedig a képzetes tengely. Ha ugyanazon koordináta rendszerben ábrázoljuk a z és a számokat észrevesszük, hogy a grafikus képek szimmetrikusak az Ox tengelyre nézve. A komplex szám egy másik mértani értelmezése , hogy a sík minden P pontjához rendeljük hozzá ennek helyzetvektorát (rádiuszvektorát), az vektort. Így bármely z=a+bi komplex szám ábrázolható az vektorral, ahol P(a,b) a sík egy pontja y P(a,b) z b +- a x 0 1.1.3.1. ábra P(a,-b) Távoktatási Módszertani Dolgozat

9. 1.1.4.A komplex számok összeadásának és kivonásának mértani értelmezése. A komplex számoknak vektorokkal való ábrázolása lehetővé teszi az összeadás és kivonás műveletének mértani értelmezését. Legyen z1=a1+b1i és z2=a2+b2i két komplex szám és az ezeknek megfelelő két vektor, és , melyek koordinátái (a1,b1) és (a2,b2), akkor az (ahol S a paralelogramma negyedik csúcsa) vektor koordinátái (a1+a2,b1+b2), 1.1.4.1. ábra. Az vektor a z1=a1+b1i és z2=a2+b2i két komplex szám összegének felel meg. y P2 S P1 x 0 1.1.4.1. ábra Távoktatási Módszertani Dolgozat

10. A z1-z2különbség mértani értelmezése a következőképen levezethető. Tekintsük a P2-nek az origóra vonatkoztatott szimmetrikusát, legyen ez P2, ahol az vektor koordinátái (-a2,-b2). y P2 P1 0 x P P!2 1.1.4.2. ábra Mivel z1-z2=z1+(-z2), figyelembe véve a komplex számok összeadásának mértani értelmezését, következik , hogy a P pont koordinátái: (a1-a2, b1-b2) és az a z1-z2 különbségnek felel meg. 1.1.5.A komplex szám abszolút értéke (nagysága, hossza). A z=a+bi komplex szám abszolút értékén a valós számot értjük. Mint azt az 1.1.3.1 ábrán is látjuk az abszolút érték nem más mint a P(a,b) pontnak az origótól való r távolsága. Távoktatási Módszertani Dolgozat

11. Néhány fontosabb reláció a komplex számok abszolút értékére vonatkozóan: (háromszög egyenlőtlenség). 1.2.A komplex szám trigonometrikus alakja. Az alkalmazott matematikában sokszor szükség van a komplex szám más alakjára is, ilyen például a trigonometrikus alak. Az 1.1.3.1. ábrából kitűnik, hogy a z=a+bi komplex szám valós része a=rcos, a képzetes rész pedig b=rsin alakban írható, ahol (1.2.1) Távoktatási Módszertani Dolgozat

12. Innen adódik , hogy z=r(cos+isin) alakban is megadható. Ez a komplex szám trigonometrikus alakja. A  szög meghatározása a következőképen történik, ha (-,]. (1.2.2.) Távoktatási Módszertani Dolgozat

13. 1.2.1. Műveletek. Legyen z1=r1(cos1+isin1) és z2=r2(cos2+isin2) két tetszőleges komplex szám. Szorzat.z1z2=r1r2(cos(1+2)+isin(1+2)). Abszolút értéke, az abszolút érétkek szorzata, szöge pedig a szögek összege. Hányados. Abszolút értéke, az abszolút értékek hányadosa, szöge pedig a szögek külömbsége. Hatvány.Ha z=r(cos+isin) és nN,n1, akkor zn=rn(cosn+isinn). Tehát az abszolút érték n-edik hatványát , a szög n-szeresét vesszük. Távoktatási Módszertani Dolgozat

14. Gyök. Ha z=r(cos+isin) és nN, n2, akkor: Mint látjuk egy komplex számnak n-db. gyöke van, mindegyik abszolút értéke ugyanaz: . 1.3.A komplex szám exponenciális alakja. Az r abszolút érték és a  szög segítségével minden z=a+bi komplex szám z=rei alakban is felírható. Ez a komplex szám exponenciális alakja . Távoktatási Módszertani Dolgozat

15. 1.3.1. Műveletek. Legyen z1=r1ei1 és z2=r2ei2, két tetszőleges komplex szám. Szorzat .z1z2=r1r2ei(1+2) Hányados . , ahol z20. Hatvány. Ha z=rei tetszőleges komplex szám és nN, n1, akkor zn=rnein. Gyök. Ha z=rei egy tetszőleges komplex szám és nN,n2, akkor: Megjegyzés :Nyilvánvaló a trigonometrikus és az exponenciális alak közötti alábbi összefüggés: r(cos+isin)=rei, ahonnan ei=cos+isin.( Euler-féle összefüggés.) Távoktatási Módszertani Dolgozat

16. 1.4.Komplex függvények. Értelmezés: Az f függvényt komplex függvénynek nevezzük, ha mind értelmezési tartománya, mind értékkészlete a komplex számok halmazának valamely részhalmaza. Azaz, ha D a komplex sík valamely halmaza, akkor a z=a+biD ponthoz, az f által egyértelműen rendelt, w=f(z) komplex szám alakja u(x,y)+iv(x,y), ahol az u és a v kétváltozós valós függvény értelmezési halmazát azon (x,y) valós érték párok képezik, amelyekre nézve x+yiD. A valós függvények vizsgálatakor értelmezett fogalmak: környezet, torlódási pont, határérték, differenciálható függvény, derivált függvény, stb. fogalmak a komplex függvényekre is lényegében változatlanul átvihetők. Bizonyos feltételeknek eleget tevő komplex függvények deriváltjának és integráljának meghatározása, a valós függvényekéhez hasonlóan történik Távoktatási Módszertani Dolgozat

17. 2. Váltóáramú áramkörök tanulmányozása • Az áramköri elemek : ellenállás (R) ,tekercs (L) és kondenzátor (C) viselkedése a váltakozó áramú áramkörökben , egy sor gyakorlati problémát vet fel az elektromosságtanban , ezért jelentős szerepet tölt be az elektrónika világában is . Az áramkörök vizsgálati módszerei között megemlítjük a : • forgóvektoros ; valamint • komplex számok módszereit , melyek a legelterjedtebb módszerek , ezen a téren . • Be fogjuk mutatni a két módszert , valamint alkalmazzuk ezeket feladatok megoldásánál , kiemelve mindkét módszer előnyeit és hátrányait . • Kezdjük a kérdésfeltevéssel : mi történik az áramkörökben ? Távoktatási Módszertani Dolgozat

18. 2.1. FORGÓVEKTOROS MÓDSZER Adott az alábbi áramkör : R L C u(t) uR uL uC i(t) A huroktörvény alapján felírható: (2.1.1) A kondenzátor kezdeti töltését zérónak vettük. A megoldást szinuszos alakban keressük. Távoktatási Módszertani Dolgozat

19. Um Vagyis i(t)=Imsin(wt+ j) a műveletek elvégzése után kapjuk : A jobboldal három tagját úgy is tekinthetjük, mint három különböző forgóvektor eredőjét, amelyek kezdőfázisai különbözőek,(lásd fazor). Ábrázoljuk a vektorok összeadását, a kezdeti időpontban. Az időpont megválasztása lényegtelen mivel a forgás közben a vektorok egymáshoz viszonyított helyzete amúgy sem változik. wLIm RIm I Távoktatási Módszertani Dolgozat

20. Az ábrából látszik, hogy egy soros áramkörben az áramerősség kiszámítható, ha ismerjük a feszültséget (maximális, vagy effektív értékét) és az impedanciának nevezendő, alábbi mennyiséget. Természetesen, ha a kapcsolási mód megváltozik, újra kell tárgyalni, előröl az egész áramkört. Ez érvényes a vegyes kapcsolású áramkörre is, ahol a tárgyalás esetenként nagyon bonyolult is lehet. Nézzük egy párhuzamos kapcsolás esetén Távoktatási Módszertani Dolgozat

21. R L C u(t) iR iL iC I Ebben az esetben az áramerős-ségek adódnak össze: i(t)=iR+iL+iC a csomópont törvény értelmé-ben . Most is felrajzolhatjuk a fazorokat , de itt a viszonyítási mennyiség az U. wC Um Az impedancia pedig: Im U Távoktatási Módszertani Dolgozat

22. 2.2.AZ ÁRAMKÖR KOMPLEX SZÁMOKKAL VALÓ TÁRGYALÁSA Ha most a ( 2.1.1.) egyenlet megoldását az alábbi alakban keressük (j=i)Akkor, az alábbi összefüggést kapjuk Ahol az a komplex áramerősség. Látható, hogy az impedancia három részből áll, ami lényegében két féle. Az R, ami valós, a másik kettő képzetes. Ami valahol természetes is mert más jellegű, másfajta jelenség hozza létre. Távoktatási Módszertani Dolgozat

23. Mivel a dolgok valahol összefüggnek, az impedanciát felfoghatjuk úgy is, hogy komplex jellege, csak a kétféle dolog megkülöböz-tetését szolgálja, mint a két koordináta tengely által alkotott sík pontjai. Tehát: =R+j(XL-XC)=R+jX vagyis Természetesen csak a valós értékeknek lehet fizikai megfelelőjük, csak azok mérhetők, ezért a moduluszukkal számolunk. A fent vázolt módszernek az előnye az, hogy a törvények alakja nem változik . Távoktatási Módszertani Dolgozat

24. Az eredő impedancia: • soros kapcsolás esetén: • párhuzamos kapcsolás esetén: • A Kirchhoff törvények felírhatók : • csomópontra : • hurokra : A valós fizikai mennyiség valójában a komplex mennyiségek modulusza , vagyis : Távoktatási Módszertani Dolgozat

25. 3.A MÓDSZEREK ALKALMAZÁSA A következőkben feladatokon keresztül hasonlítjuk össze a két módszert , egyszerű és bonyolultabb feladatok esetén . -Legyen egy kapcsolás melyben R=4W , L=12,7mH= vagyis XL=4W , valamint vagyis XC=7W ha w=100p , valamint U=20 V . A három elemből alkotunk először egy egyszerű áramkört, ismerve az elemeit, számítsuk ki az áramerősségeket és a feszültségeket. R L C U uR uL uC i Távoktatási Módszertani Dolgozat

26. 3.1.1.A FORGÓ VEKTOROS MÓDSZER Kiszámoljuk a mennyiségeket UR=RI=4•4=16V, UL=XLI=4•4 =16V , UC=XCI=7•4=28V Látszik, hogy a feszültségek összege nem egyenlő az áramkör sarkain a feszültséggel.Vagyis a fazoriális diagram így néz ki : URUCUL I U Távoktatási Módszertani Dolgozat

27. 3.1.2.A KOMPLEX MÓDSZER Felírjuk a komplex mennyiségeket: Távoktatási Módszertani Dolgozat

28. Megállapítások : • A komplex módszernél a feszültségek összege a tápfeszültséggel egyenlő . • Egyszerü áramkörnél előnyösebb a forgóvektoros módszer . • Változtassunk a kapcsolási rajzon és egy bonyolultabb feladatot kapunk. Megőrizzük az adatokat és megoldjuk az új feladatot (3.2) I I2 R C L U I1 Távoktatási Módszertani Dolgozat

29. 3.2.1.A FORGÓVEKTOROS MÓDSZER Észrevehető , hogy vegyes kapcsolásunk van . Az elöbbiek értelmében kiszámítható: Az eredő I áramerősség kiszámításához szükségünk van a fázisdiagramra. Távoktatási Módszertani Dolgozat

30. I2 I U Ezt egy kicsit átalakítva kapjuk : UR UL I2 I1 I I1XL U j a RI1 I1 Távoktatási Módszertani Dolgozat

31. Ebeen az esetben szerencsénk van az a szög értékére . Ha nem tudom megállapítani a szög értékét, akkor az eljárás a következő: Ugyanakkor a j szög is kiszámítható , vagyis a fáziseltolódás a feszültség és áramerősség között , a következő összefüggésekkel: Távoktatási Módszertani Dolgozat

32. 3.2.2.A KOMPLEX MÓDSZER Felírva a mennyiségek komplex értékeit meghatározzuk az áramerősségeket. Természetesen ugyanazt az értéket kaptuk . Távoktatási Módszertani Dolgozat

33. Mivel az áramok összeadódnak: Természetesen úgy is ki lehet számítani, ha először az eredő impedanciát számolom ki: Távoktatási Módszertani Dolgozat

34. Ahogy látszik is, megegyezik a fenti értékkel. A feszültségek kiszámítása: Számítsuk még ki az áramkör sarkain a feszültséget: Amint az következik, a sorba kapcsolt elemeken a feszültségek összeadódnak . Távoktatási Módszertani Dolgozat

35. Előnyünk van viszont a j fázis szög kiszámításánál , ugyanis komplex számok esetében a tgj a képzetes és valós részek aránya az (1.2.1.) és (1.2.2.) összefüggések értelmében : Látszik , hogy a fáziseltolódás a feszültség és áramerősség között könnyebbenen megállapítható , mivel a tápfeszültségnek csak valós része volt. Távoktatási Módszertani Dolgozat

36. 4. KÖVETKEZTETÉSEK • Mindkét módszer alkalmazható, ugyanarra az eredményre vezet (természetesen). • Egyszerű feladatok estén a forgóvektoros módszer alkalmazása előnyösebb. • Bonyolult feladatok esetén, a komplex módszer alkalmazása szükséges is lehet. Nem kell fázisdiagramokat készíteni, majd onnan kiokosodni, mert komplexben alkalmazhatók a törvényszerűségek az általunk ismert alakban. • A fázis szöget viszont lényegesen egyszerübb kiszámolni a komplex módszerrel , ezért az elektrónika inkább ezt a módszert használja . Távoktatási Módszertani Dolgozat