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ラベル付き区間グラフを列挙する BDD とその応用

ラベル付き区間グラフを列挙する BDD とその応用. ○斎藤 　寿樹（ ERATO ・ BDD/ZDD 普及協会 ） 　湊 　真一（北海道大学， ERATO ・ BDD/ZDD 普及協会 会長 兼務）. 夏の LA シンポジウム 2010 年 7 月 20 日. 区間グラフ. 区間表現を持つグラフクラス 区間の集合 各区間は頂点と対応 ２つの区間に重なりがある ⇔　対応する頂点間に辺がある. 多くのアルゴリズムが存在. 提案されたアルゴリズムが実装上高速か？. 計算機実験. 偏りのないデータを入力したい. 入力. 出力. 一様ランダムにデータを生成.

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ラベル付き区間グラフを列挙する BDD とその応用

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Presentation Transcript

  1. ラベル付き区間グラフを列挙するBDDとその応用ラベル付き区間グラフを列挙するBDDとその応用 ○斎藤　寿樹（ERATO・BDD/ZDD普及協会） 　湊　真一（北海道大学，ERATO・BDD/ZDD普及協会 会長 兼務） 夏のLAシンポジウム 2010年7月20日

  2. 区間グラフ • 区間表現を持つグラフクラス • 区間の集合 • 各区間は頂点と対応 • ２つの区間に重なりがある ⇔　対応する頂点間に辺がある 多くのアルゴリズムが存在

  3. 提案されたアルゴリズムが実装上高速か？ 計算機実験 偏りのないデータを入力したい 入力 出力 一様ランダムにデータを生成 区間グラフ

  4. 単純な区間グラフのランダム生成法 • 区間をn個ランダムに生成 • 区間[0, 1]におさまるような，区間をn個ランダムに生成 ０ 1 区間グラフは一様に出力されていない 密なグラフが生成されやすい 本発表：BDDを使って，連結なラベル付き区間グラフを一様ランダムに生成

  5. BDD (Binary Decision Diagram) x1 • 論理関数をグラフで表現 x2 x2 x3 x3 x3 x3 1 0 1 0 1 0 1 1 x1 x2 ＢＤＤを用いると ・列挙 ・数え上げ ・ランダム生成 ・etc. x3 0 1

  6. n頂点のすべての区間グラフを表現するBDD 辺(i, j)を使う 辺(i, j)を使わない • 論理変数ei, jを用意(1≦i<j≦n) • 論理関数 F 区間グラフ 区間グラフではない 1 3 1 3 5 5 2 4 2 4 区間グラフ 区間グラフではない F(1,1,1,0,0,1,0,1,1,1) = 1 F(1,1,0,0,0,1,0,1,1,1) = 0

  7. n頂点のすべての区間グラフを表現するBDD e1,2 0 １ • 論理関数 FのBDD • 例：n=5 e1,3 0 0 １ １ e1,4 ・・・ e4,5 0 1

  8. BDDを用いた区間グラフのランダム生成 • ランダム生成アルゴリズム (Knuth, the art of computer programming, vol. 4.1) • 解の数を数える • BDDをボトムアップに探索 • 変数に{0, 1}を割り当てる • トップダウンに割り当て • “偏った”コインフリップ • 解の数の割合 541 303 238 102 136 136 167 35 67 67 69 67 69 69 98 n頂点の区間グラフをランダム生成できる 0 1

  9. 構築したBDDの応用 • n頂点の区間グラフのランダム生成 • 辺の数や次数を制限したものもランダム生成できる ∧ 1 0 0 1 0 1 5頂点のすべての区間グラフを表現するBDD 辺の数が6以下のすべてのグラフを表現するBDD 頂点数が5で，辺の数が6以下のすべての区間グラフを表現するBDD

  10. 構築したBDDの応用 • n頂点の区間グラフのランダム生成 • 辺の数や次数を制限したものもランダム生成できる • 区間サンドイッチ問題(NP-完全問題)がBDDサイズの線形時間で解ける

  11. 区間グラフのBDDの構築手法 • 区間グラフを列挙 • 効率のよい列挙アルゴリズム [清見, 来嶋, 宇野, 2006] • グラフの数は指数個 時間がかかる！ e1,2 e1,3 e1,4 ∨ 1 3 e1,5 5 ・・・ 2 4 出力したグラフ e4,5 0 1 0 1 構築中のBDD

  12. 区間グラフのBDDの構築手法 • 区間グラフを列挙 • 効率のよい列挙アルゴリズム [清見, 来嶋, 宇野, 2006] • 論理関数Fを論理式で表現 • 論理変数のみを用いて，区間グラフの認識を行う 簡単にはできない 区間グラフの認識アルゴリズムは複雑 最も単純なアルゴリズム：LexBFSを用いたアルゴリズム (Corneil, et. al., SODA, ’98)

  13. 計算機実験 • 区間グラフを列挙して，BDDを構築 • 計算機環境 • CPU • Quad-Core 3.1GHz • Memory • 528GB • プログラミング言語 • C • BDDパッケージ • BemⅡ 約3日強 約2800倍

  14. 計算機実験 頂点数 7辺の数m以下（x軸） ・区間グラフの数 ・BDDのサイズ

  15. ノード数：650712 (約12 Mbyte) 計算機実験 BDDサイズの変化 (n=8)

  16. 今後の課題 • 区間グラフを表現するBDDについて • 区間グラフを列挙せずに構築可能か？ • 区間グラフの認識を論理変数のみで行えるか？ • n-1頂点のBDDを使って，n頂点のBDDが作れないか？ • 区間を論理変数で表現する？ • 非連結な区間グラフのBDD • BDDを構築しないで、区間グラフのランダム生成 • 解の数を数える手法の考案 • ラベルなしグラフのランダム生成 • どのようにBDDの表現するか？

  17. 頂点数7 辺の数を制限したときのグラフの数とBDDのサイズ

  18. 計算機実験 頂点数7次数を制限 ・グラフの数 ・BDDのサイズ

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