QUELQUES LECONS DE MATHEMATIQUES SIMPLES & DES FORMULES EXPLIQUEES

1. QUELQUES LECONS DE MATHEMATIQUES SIMPLES & DES FORMULES EXPLIQUEES Comité Départemental du Val de Marne – Marc TISON – Moniteur Fédéral 2ème degré

2. Égal, environ 10,0085 10 Différent 10, 85 10 ~ ~ <=> Correspond à .. 7,20m palier à -9m = = …..ou l’on doit tout de même convenir de quelques signes particuliers > Plus grand que 25 > 24 < Plus petit que 24 < 25 <=> => Conduit à , implique que… Augmente Diminue + Plus - Moins * Multiplier / Diviser

3. 25 12 37 25 12 13 …..ou l’on doit commencer par des additions et soustractions A + B = C A = ? C – B1 (37 – 12) B = ? C – A2 (37 – 25) 1 Et non pas B(12) – C(37) = -25 (moins) 2 Et non pas A(25) – C(37) = -12 (moins) X + 5 = 12 X = ?  7 A - B = C A = ? C + B (13 + 12) B = ? A - C (25 – 13) X - 2 = 8 X = ? 10 7 – X = 3 X = ?  4 En passant de l’autre coté du signe = + devient – et - devient +

4. 25 12 300 ……et par des multiplications et divisions avec 3 nombres A * B = C A = ? C / B = 300/12 B = ? C / A = 300/25 En passant de l’autre coté du signe = * devient / et / devient * Méthode X * 4 = 32 X = ? X * 4 /4 = 32 / 4 X = 32 / 4 Ou X * 1 = 32 / 4 X = 8 8 X X * 4 /4 32 / 4 X * 4 32

5. 300 25 12 A / B = C A = ? C * B = 12*25 B = ? A / C = 300 / 12 X * 3 / 3 = 27*3 X / 3 = 27 X = ? Ou X * 1 = 27*3 X / 3 = 27 X = 3*27 X = 81 81 X X * 3 / 3 27 * 3 X / 3 27

6. 300 25 12 625 ……et aussi par des multiplications et divisions avec 4 nombres A * B = C * D A = ? (C*D) / B => (12*625)/25 B = ? (C*D) / A => (12*625)/300 C = ? (A*B) / D => (300*25)/625 D = ? (A*B) / C => (300*25)/12 X * 8 = 3 x 24 X = ? X * 8/8 = (3 x 24)/8 X * 1 = (3 x 24)/8 X = (72) / 8 = 9 X = (3 x 24)/8 X = 9 9 X (3*24)/8 X * 8 / 8 X * 8 3*24

7. 300 12 625 25 A / B = C / D A = ? (C*B) / D => (625*12)/25 B = ? (A*D) / C => (300*25)/625 C = ? (A*D) / B => (300*25)/12 D = ? (C*B) / A => (625*12)/300 X / 6 = 2 / 3 X = ? X* 6/6 = (2 / 3)*6 X* 1 = (2 / 3)*6 X = (0,66666)*6 = 4 X = (2 / 3)*6 X = 4 4 X (2 / 3)*6 X * 6 / 6 X / 6 2 / 3

8. F en kgf 1 bar 1kgf / cm2 S en cm2 ~ Les Pressions P = pression F = force S = surface P = F / S Pression Atmosphérique 1000 millibars (1013 ou 101,3 hectopascals) = 1 atmosphère = P. Atmos 760 mmHg (baromètre de mercure) P.Atm en bar = P.Atm en mmHg / 760 ? = 608 / 760 = 0,80 bar Si P.Atm = 608 mmHg, P.Atm en bar = ? P.Atm en bar = P.Atm en mmHg / 760 Si P.Atm = 0,9 bar, P.Atm en mmHg = ? 0,9 = ? / 760 0,9*760 = ? * 760 / 760 ? = 760 * 0,9 = 684 mmHg

9. Pression de l’eau ….ou pression hydrostatique P. Relat. Nous retiendrons plutôt pression relative C’est une colonne d’eau de 10m par 1cm2 => 1000cm3 = 1dm3 = 1kgp P = 1 kgf / 1 cm2 = 1 bar P. Relat = Profondeur en mètre / 10 P.Relat à …..47m = 47 / 10 = 4,7 bars La pression de l’eau varie avec sa densité (d) Pv = poids en kgp / Volume en dm3 Le poids volumique P.Relat. = (Prof. en m x pv) / 10

10. Avec un une eau dont pv = 1,03 kgp/dm3 40 * 1,03 P.Relat à 40m = ? P.Relat. = (Prof. en m x pv) / 10 = 4,12bars P.Relat. = (Prof. en m x pv) / 10 Si P.Relat = 0,618 bar, Prof = ? 0,618 = ( ? * 1,03) / 10 0,618*10 = ( Prof en m * 1,03) / 10*10 6,18 = ( Prof. * 1,03) 6,18 / 1,03 = Prof * 1,03/1,03 Prof = 6 m

11. Si on est en altitude et si pv de 1 = Pression Absolue P.Abs = P. Atm + P. Relat Application avec Patm = 646 mmHg et pv = 1,05 kgp/cm3. P.Abs à 40m = ? P.Atm = 646 / 760 = 0,85 bar P.Abs. = 0,85 + 4,2 = 5,05 bars P.Relat = (40 x 1,05) / 10 = 4,2 bars Si P.Abs = 7,15 bars, Prof = ? P.Atm = 0,85 b P.Relat. = 7,15 - 0,85 = 6,3 b Si P.Relat = (Prof en m * pv) / 10) Alors Prof = (P.Relat * 10) / pv Prof en m = (6,3*10) / 1,05 = 60m

12. P x V = Constante LA LOI DE MARIOTE / BOYLE P * V = Cste P1*V1 = P2*V2 Pression * Volume = Cste

13. LA LOI DE MARIOTE / BOYLE Autre conséquence lorsqu’on comprime un gaz, son poids. Il est en effet multiplié par la pression à laquelle on l’a comprimé : Air au litre 1,293g. Exercice d’application : 1 ballon en surface V = 12 litres P1 * V1 = P2 * V21 * 12 = 2 * V2 A 10m, V = ? (1 * 12) / 2 = 2 / 2 * V2 V2 = (1*12) / 2 = 6 litres P1 * V1 = P2 * V21 * 12 = 4 * V2 A 30m, V = ? V2 = (1*12) / 2 = 3 litres

14. Total de l’air détendu Pression de gonflage = Total des volumes disponibles P1 * V1 = Total de l’air détendu P2 = V2 =Total des volumes disponibles Exercice d’application : un plongeur consomme 20l/mn. Bouteille = 12 litres P = 200 bars Réserve à 40bars Temps à -20m ? P1 * V1 = P2 * V2(200-40) * 12 = 3 * V2 V2 = (160 * 12) / 3 = 640 litres  640 / 20 = 32mn Exercice d’application : on cherche à gonfler 3 blocs de 15 l à 200 bars. La pression résiduelle pour chacun des trois blocs est de 20 bars. On utilise pour cela 2 bouteilles tampons de 50 litres à 275 bars. Deux méthodes possibles. P1*V1 = P2*V2

15. Total de l’air détendu dans l’ensemble des bouteilles (3tampons * 200b * 30litres) + (20bars * 15 litres) P = (3tampons * 30litres) + (1 * 15 litres) Volumes de l’ensemble des bouteilles (1°tampon * 200b * 30litres) + (20bars * 15 litres) 1° t P = 140 bars (1tampons * 30litres) + (1 * 15 litres) (2°tampon * 200b * 30litres) + (140bars * 15 litres) (2°tampon * 200b * 30litres) + (180bars * 15 litres) 180 bars 2° t P = 193,333 bars 3° t P = 30 litres + 15 litres 30 litres + 15 litres Exercice d’application : on veut gonfler une bouteille de 15 litres à 190 bars (P.restante 20 bars) sur 3 bouteilles tampons de 30 litres à 200 bars. 1 - On équilibre sur les 3 tampons simultanément. 174,28 bars 2 – gonflages successifs Il ne faut que 190 bars au total  rajouter V = 10 bars * 15 litres = 150 litres P. Restante 3° tampon = (200*30)-150 / 30 = 195 bars

16. ~ Xb 288K 200b 300K P2 ? P1 = T1 T2 d’où X = 191,999808 192 bars P2 T2 P1 T1 = LA LOI DE CHARLES Les variations de température prise en compte ont pour base le zéro absolu (-273°C) et les degrés sont en Kelvins (K = 0°C + 273). ….après gonflage 1 bloc = P 200 bars. T° de 27°C soit 273° + 27° = 300 Kelvins. Plus tard, T° est redescendu à 15°C (273° + 15° = 288°K). ……Nouvelle Pression dans le bloc ? 0,666666 = Xb /288K 0,666666*288 = Xb*288 /288K

17. 32 15*1 P App. = P Réel – P. Archi. 17 kgp, l’amphore coule LE THEOREME D’ARCHIMEDE P App. = P Réel – P. Archi.*pv Poids apparent = P réel – Poussée d’Archimède • Poids réel > Poussée : poids apparent positif flottabilité négative • Poids réel = Poussée : poids apparent nul  flottabilité nulle • Poids réel < Poussée : poids apparent négatif flottabilité positive Exercice d’application : Une amphore V = 15 dm3. Poids = 32 kgp. P.app dans eau d=1 V = 15 dm3 1 dm3 = 10cmx10cmx10cm = 1 litre donc V = 15litres Exercice d’application : un caisson étanche de vidéo : V = 5 dm3. Poids = 4kgp. Que doit-on faire pour obtenir une flottabilité nulle? P.app = 4 – 5 = -1kgp . Le P.réel < Poussée => flottabilité positive Il faut donc rajouter 1 kgp dans le caisson (et non pas sur le caisson)

18. Exercice d’application : dans eau d = 1. Plongeur à 40 mètres : P.Réel = 85 kgp pour V = 70 dm3. Ce plongeur veut s’équilibrer avec son gilet ? Il dispose pour cela d’une petite bouteille de Ca = 0,4 litre. Quelle doit être la pression minimal de la bouteille? P.app = 85 – 70 = 15 kgp. Pour que P.app = 0, il faut ….15 litres d’air P1 * V1 = P2 * V2 5 * 15 = P2 * 0,4 75 = P2 * 0,4 P2 = 75 / 0,4  187,5 b Autre présentation : Volume nécessaire à 40 m  15*5 = 75 litres / 0,4 = 187,5 b Vrai solution = 15 litres d’air dans le gilet + 0,4 litres dans la bouteille (incompressible) = 15,4 litres P1 * V1 = P2 * V2 5 * 15,4 = P2 * 0,4 = 192,5 bars Si bouteille de 0,4 litre gonflée à 200 bars ? P restante après gonflage ? Volume nécessaire à 40 m  15*5 = 75 litres Volume disponible dans la bouteille 200 b * 0,4 litre = 80 litres Reste 80 – 75 = 5 litres * 0,4 l = 2 bars

19. P Réel = V Objet * pv Objet P Archi = V Objet * pv Liquide P App. = P Réel – P. Archi.*pv Poids volumique = ? Poids en kgp / Volume en dm3  P app = V * pv Objet – V * pv Liquide En simplifiant  P app = V * (pv Objet - pv Liquide)

20. Projecteur  P App. = P Réel – P. Archi.*pv 3,12 - (4 * 1,03) = -1kgp, le projecteur coule Exercice d’application : 1 projecteur Poids = 3 120 grammes poids. Volume = 4 dm3. Eau d = 1,03 On cherche l’équilibre avec un lest pv = 11,03 kgp/dm3 On ne peut coller ce lest qu’à l’extérieur du projecteur  Poids du lest nécessaire ? Le lest  P app = V lest * (pv lest – pv eau) 1kgp = V lest * (11,03 – 1,03) 1kgp = V lest * (11,03 – 1,03) 1kgp/10 = V lest/10 * 10 10 V lest = 1kgp/10 = 1 dm3 Poids du lest  P Réel = V Objet * pv Objet 0,1 * 11,03 = 1,103 kgp ou 1 103 grammes poids

21. Exercice d’application : 1 ancre Poids = 112,2 kgp Volume = 10 dm3 A –50m eau pv = 1,02 kgp/dm3 Parachute et bout de pv = 1,02 kgp/dm3 Bouteille : Ca = 10 litres P = 61 bars On attache le parachute à l’ancre avec le bout. Longueur du bout, nœuds non compris pour que le parachute fasse remonter l’ancre. Nb, ne pas tenir compte de t° ni poids de l’air P App. = P Réel – P. Archi.*pv L’ancre  P App. = 112,2 – 10*1,02 soit 102 kgp Volume Air nécessaire Poids volumique = ? Poids en kgp / Volume en dm3 1,02 = 102 / V ou V = Poids en kgp / pv 1,02*V = 102*V / V V = 102 / 1,02 soit 100 litres (dans le parachute) P Abs à 50 m = P.Abs = P.Relat*pv + P.Atm (50*1,02)/10 + 1 = 6,1 bars

22. ~ Longueur du bout = 50 m – 44,01 = 5,99 6m Volume Air dispo = (10 litres * 61 bars) = 610 litres (surface) / 6,1 b – 10 litres de bouteille incompressible = 90 litres à –50m Je n’ai pas les 100 litres d’air nécessaire pour remplir le parachute et faire remonter l’ancre. Je doit donc chercher une pression à laquelle mes 90 litres deviendront 100 litres. P1*V1 = P2*V2  6,1 * 90 = P2 * 100 = P2 = (6,1*90)/100 = 5,49 bars P.Relat = 5,49 – 1 = 4,49 bars Prof en mètres = (P.Relat*10)/pv = 4,49*10 / 1,02 = 44,01 m

23. LOI DE DALTON OU PRESSIONS PARTIELLES Pp = ? P.Abs * X / 100 Exercice d’application : avec O2 = 40% et N2 = 60%, à quelle Prof aura-t-on une PpN2 = à celle de l’air ? 1° Méthode PpN2 mélange = 5 x 60% = 3 bars Air : 3 = P.Abs = 80% = 3,75 bars (3,75-1)*10 = 27,5m 2° Méthode Il me faut une PpN2 mélange à 40m = PpN2 air à une autre profondeur 5 * 60/100 = P.Abs * 80/100 P.Abs = 5*60/80  3,75 bars……27,5 m

24. Exercice d’application : quel mélange O2N2 doit-on confectionner pour avoir à 30m une PpN2 = à PpN2 de l’air à 15 m ? 1° Méthode PpN2 Air  P.Abs * % mélange soit 2,5 * 80/100 = 2bars On en déduit que 2 = 4 * X ? / 100 X ou % = (2 * 100)/4 = 50  donc O2 50% et N2 50% 2° Méthode Il me faut une PpN2 mélange à 30m = PpN2 Air à 15m 4 * X ? /100 = 2,5 * 80/100 4 * X ? = 2,5 * 80 X ou % = (2,5*80)/4 donc 50…% 3° Méthode…..plutôt empirique mais ça marche…aussi On pourrait en déduire « mentalement » le résultat : 15m = 2,5 b 30m = 4 bars donc augmentation de P de 4/2,5 = 1,6 fois Je dois obtenir une PpN2 mélange à 30m < à l’Air = 80% / 1,6 = 50%

25. LA DISSOLUTION DES GAZ – LOI DE HENRI BASES POUR LES CALCULS DES TABLES DE PLONGEES « La période d’un compartiment est le temps nécessaire à ce compartiment pour absorber ou restituer la moitié de la quantité de gaz qui lui manque ou qu’il a en trop pour être à saturation ». Soit un compartiment ‘C’ de période 10’ qui dissous (ou élimine) 50% de ce qu’il peut dissoudre (ou éliminer) en 10’. Durant les dix minutes suivantes il en sera de même, il dissoudra (ou éliminera) 50% de la quantité restante soit 25%.

26. Exemple : 18h00, Gnafron entre dans un bar, il commande 32 Ricard. Le Barman place les apéro sur le comptoir. Gnafron boit la moitié des verres entre 18h00 et 19h00. Il a donc absorbé la moitié de ce qu’il pouvait absorber dans un laps de temps déterminé d’une heure. Gnafron est moins en forme qu’au début, il commence à faire le con au bar et entre 19h00 et 20h00 il ne peut picoler que la moitié de ce qu’il reste sur le comptoir. Mais maintenant Gnafron raconte que des conneries, il emmerde…tout le monde, et il continu à écluser la moitié de ce qui lui reste à engloutir. Qté 32 verres 1° heure 16 verres 1° période T 2° heure 8 verres 2° période T 3° heure 4 verres 3° période T 3 heures 28 verres 3 périodes 28 verres Ce qu’il devait absorber en trois heures = 32 et ce qu’il à bu 28, reste 4.

27. 21h00, Gnafron est complètement bourré, le barman le jette dehors. Très très malade, Gnafron vomi, entre 21h00 et 22h00, dans le caniveau la moitié de ce qu’il a bu. Il veut rentrer chez lui mais il ne fait que 200m entre 22h00 et 23h00 pour vomir à nouveau la moitié de ce qu’il lui restait à vomir. Il arrive chez lui à minuit, en ayant fait les 250 derniers mètres et vomis la moitié de ce qu’il lui restait à vomir. 1° heure 14 V 2° heure 7 V 3° heure 3,5 V 3 heures =24,5 V Gnafron s’écrase sur son lit, Aspégic 1000 et cuvette sous le lit…au cas ou. Le lendemain matin il a une grosse, mais très grosse casquette. Que peut-on en déduite. 28 V - 24,5 V , Reste 3,5 de pastaga dans la sang, dans sa tête il va faire la java toute la nuit, et s’il tombe de son lit, c’est l’accident.

28. 32 pastis 28 28 4 24 8 8 Nouveau Gradient Gradient 16 14 16 7 3,5 0 A jeun 18h00 19h00 20h00 21h00 22h00 23h00 0h00

29. Exercice d’application : un tissus de période 30’, saturé à la pression atmosphérique, est immergé à une profondeur de 20m lors d’une plongée à l’air. Calculer la tension d’azote après une immersion de deux heures. Air = O2 20% N2 80% Nb périodes = 2h = 120’/30 = 4 périodes (50%+25%+12,50%+6,25% = 93,75% ou 0,9375 Formule à utiliser : TN2 = T0 (Tf – T0) x X%  Ou TN2 finale = TN2 Initiale + (TN2 finale – TN2 Initiale) x X% Je sais que : T0 = 0,80b Tf = (3b à –20m x 0,80) = 2,4b(donc G = 1,8 b) X = 0,9375 Donc  TN2 = 0,80 + (2,4 – 0,8) x 0,9375 = 2,3 b

30. Remontons ce tissus à la surface pour une période de 2 heures J’utilise la même formule soit : TN2 = T0 (Tf – T0) x X%  Ou TN2 finale = TN2 Initiale + (TN2 finale – TN2 Initiale) x X% Je sais que : T0 = 2,3 b Tf = 0,8 X = 0,9375 Donc  TN2 = 2,3 + (0,8 – 2,3) x 0,9375 TN2 =2,3 + (-1,5) x 0,9375 TN2 = 2,3 + (-1,40625) = 1,09375 b Toujours pour le même tissus, aurions nous pu le remonter instantanément après ses deux heures d’immersion ? Sc = 1,84 Je sais que : TN2 / Pabs = ou < Sc T30’. Ainsi  2,3 b / 1 = 2,3 pour un Sc admissible à 1,84….on ne peut donc pas remonter le tissus 30’ instantanément ……ou bien il faut faire un (ou des) palier(s). On doit réécrire la formule pour chercher une P.Abs  P.Abs = TN2 / SC Ainsi  2,3 b / 1,84 = 1,643 b (Prof en m = (P.abs-1) x 10 soit 6,43 m soit 1° palier à 9m, puis 6 et 3m

31. LA VISION DANS L’EAU Avec le masque  ça rapproche de 1,33 Avec le masque  ça grossit de 1,33 Exercice d’application : un mérou est à 4 m et mesure 90cm de long : distance et taille apparente ? 4 m(distance réelle) / 1,33 = 3 m 90cm(longueur réelle) * 1,33 = 1,20m Exercice d’application : depuis la surface, avec un masque, une ancre semble être à 15m et mesurer 80cm de long : Profondeur et longueur réelle ? 15m(distance apparente) * 1,33 = 20m 80cm(longueur apparente) / 1,33 = 60cm

32. L’ACCOUSTIQUE Dans l’air le son = 330m/sec. (à 0°C au niveau de la mer) Dans l’eau le son = (en fonction de la T°) de 1450 à 1480m/sec. Pour des besoin de calculs on prend souvent 1500m/sec. Exercice d’application : une explosion a lieu à la surface de l’eau à 4950m d’un bateau de plongée. Combien de seconde les plongeurs au palier l’entendront-ils avant le pilote du bateau ? Temps dans l’eau : 4950/1500 = 3,3 s Temps dans l’air : 4950/330 = 15 s Les plongeurs disposent de 15 – 3,3 = 11,7 seconde pour avertir le pilote du bateau qu’il va entendre une explosion

33. Exercice d’application : un sondeur émet une onde sonore verticalement vers le fond et en reçoit l’écho un dixième de seconde après l’émission. Quelle est la profondeur ? Distance parcourue aller et retour : Vitesse son dans eau * temps 1500 x 1/10 = 150m Profondeur = 150 / 2 = 75 m

37. Lit capillaire http://ici.cegep-ste-foy.qc.ca/profs/gbourbonnais/index.html http://www.ann.jussieu.fr/~thiriet/csas/Glosr/Bio/Vaisseau/index.html

47. Notions d’anatomie et de physiologie humaine – Physiologie nutritionnelle et respiratoire

48. + Co2 ++ Principe de Diffusion O2 +++ + Membrane Notions d’anatomie et de physiologie humaine – Physiologie nutritionnelle et respiratoire les échanges gazeux Le processus physique : L’étape alvéolaire : La différence de pression partielle des gaz entre l’air alvéolaire et le sang permet les échanges gazeux qui se font par simple phénomène de diffusion au travers de l’épithélium alvéolaire. L’étape tissulaire: pour les mêmes raisons, l’étape tissulaire permet à l’O2 de diffuser dans les cellules et au CO2 d’en sortir. Le sang hématosé s’appauvrit en O2 et s’enrichit en CO2.

49. Les processus chimiques : Les lois de HENRY et de DALTON ne s’applique qu’à la dissolution physique des gaz et dans une quantité très faible (environ 5%). La plus grande partie est réalisée sous forme de combinaisons chimiques qui ne suivent plus tout à fait ces lois. Au niveau pulmonaire : L’O2 se combine avec l’hémoglobine et forme l’oxyhémoglobine. Cette combinaison (Hb+O2) pour une PpO2 = 105mmHg (valeur de la PpO2 dans l’air alvéolaire) est presque à saturation. Une élévation importante de la PpO2 ne fixe pas beaucoup plus d’oxygène sur l’hémoglobine mais augmente la quantité d’O2 dissous physiquement.

50. Au niveau tissulaire : Le CO2 produit par les tissus diffuse dans le sang (processus physique). On retrouve près de 80% du CO2 dissous dans le plasma, soit sous forme de bicarbonates de sodium, soit sous forme d’acide carbonique. L’acidification du sang qui en résulte et la baisse de PpO2 accélère la séparation de l’oxyhémoglobine. Le CO2 restant se combine dans les hématies sous deux formes : une fraction en bicarbonates de potassium, l’autre, beaucoup plus importante, forme avec l’hémoglobine la carbhémoglobine. L’O2 ainsi libéré redevient O2 dissous et peut passer dans les tissus.