Elementy Rachunku Prawdopodobieństwa i Statystyki

1. Elementy Rachunku Prawdopodobieństwa i Statystyki • Wykład 1 • O wykładziei gdzie szukać pomocy • Definicja prawdopodobieństwa • Elementy kombinatoryki • Podsumowanie Tomasz Szumlak, WFiIS, 01/03/2013

2. O wykładzie oraz gdzie szukać pomocy • Otaczającą nas rzeczywistość poznajemy wykonując eksperymenty • nie można ‘wymyśleć’ równań ruchu – doświadczenia • pojęcie pomiaru jest tu zasadnicze • w dalszym ciągu wykładu poznamy dodatkowo pojęcie jego precyzji • analiza statystyczna może pomóc w planowaniu eksperymentu i kontroli/wyznaczeniu precyzji jego wyniku • X  X [jednostki] – wynik pomiaru (X może zawierać kilka składników, niektóre z nich mogą być asymetryczne – błąd systematyczny) • Ogólnie typy wykonywanych doświadczeń możemy podzielić na dwa rodzaje (podział nie jest ostry, mamy tu często do czynienia z komplementarnymi ) eksperymentami: • chcemy wyznaczyć (oszacować) wartość pewnej wielkości fizycznej • chcemy sprawdzić czy pewna teoria (model) jest zgodna z danymi, które uzyskaliśmy

3. O wykładzie oraz gdzie szukać pomocy • To samo możemy wyrazić używając ‘bardziej profesjonalnego’ języka statystyki jako: • estymacja parametrów • testowanie hipotez • Przykłady • Skuteczność nowego składnika nawozu (rozkład i rozrzut) • Badanie jakości wyprodukowanych procesorów (próbka i populacja) • Weryfikacja modelu – wyznaczenie parametru(ów) modelu (testowanie hipotez) • Parametry modelu, których nie można wyznaczyć teoretycznie (rozpad spontaniczny, dopasowanie modelu do danych)

4. O wykładzie oraz gdzie szukać pomocy • Literatura(google isyourfriend…) • Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach, W. Krysicki et al., 2005, PWN • Zadania z probabilistyki, A. Plucińska, E. Pluciński, 1983, PWN • Statystyka dla fizyków, R.N. Nowak, 2002, PWN (+ zbiór zadań) • Analiza danych, S. Brandt, 1998, PWN • Internet, Wikipedia,…

8. Definicja prawdopodobieństwa • Analiza danych • Wnioskowanie statystyczne dostarcza nam narzędzi matematycznych do oceny wiarygodności jednego, bądź kilku modeli (często konkurujących ze sobą) • estymacja parametrów modelu • estymacja niepewności pomiarowych • Liczymy, że nasza praca zaowocuje poprawnymi wnioskami, które opierają się na: • próbce danych eksperymentalnych, które zebraliśmy • wiedzy i doświadczeniu zdobytym w poprzednich eksperymentach

9. Definicja prawdopodobieństwa Prawdopodobieństwo i ‘rozsądne postępowanie’ (próba oceny postępowania w oparciu o dostępne informacje i przewidywanie skutków tego postępowania) Decyzja X spowodowała tragiczne skutki, jednakże podjęta została po analizie dostępnych informacji i wydawała się być w jej świetle najlepszą z możliwych Decyzja Y doprowadziła do szczęśliwego wyniku, chociaż nie było żadnych przesłanek aby tego oczekiwać X – DOBRA Y - ZŁA

10. Definicja prawdopodobieństwa W zasadzie, prawdopodobieństwo jest prostym pojęciem – to nic innego jak zdrowy rozsądek wyrażony poprzez odpowiedni aparat matematyczny Prawdopodobieństwo =? Wiarygodne wnioskowanie Rozumowanie dedukcyjne i Rozumowanie indukcyjne

11. Definicja prawdopodobieństwa Rozumowanie dedukcyjne ‘Przyczyna’ Teoria, zwykle kompletna, nie zawierająca stwierdzeń fałszywych ‘Możliwe skutki’ Przewidywania wysnute na podstawie teorii Rozumowanie indukcyjne ‘Możliwe Przyczyny’ Konkurujące teorie/modele ‘Obserwacje’ W jaki sposób podjąć decyzję, który z proponowanych modeli jest poprawny…?

12. Definicja prawdopodobieństwa Rozumowanie dedukcyjne ‘Przyczyna’ Teoria, zwykle kompletna, nie zawierająca stwierdzeń fałszywych ‘Możliwe skutki’ Przewidywania wysnute na podstawie teorii Rozumowanie indukcyjne ‘Możliwe Przyczyny’ Konkurujące teorie/modele ‘Obserwacje’ Który z nich jest najbardziej wiarygodny…? (Bayes – c.d.n.) 12

13. Definicja prawdopodobieństwa • Układy, które nie są deterministyczne (znając odpowiednie warunki początkowe, możemy przewidzieć zachowanie układu) nazywamy losowymi • Opisu takich układów losowych możemy dokonać przy pomocy rachunku prawdopodobieństwa • Pojęcia pierwotne RP (Rachunku Prawdopodobieństwa) • Przestrzeń zdarzeń elementarnych  • Zdarzenie elementarne ai  (ekskluzywne) • Zdarzenie losowe A = {a1, a2,… ,an}   • Przykłady • Rzut jedną monetą, ‘orzeł’ = 0, ‘reszka’ = 1,  = {0, 1} • Podwójny rzut monetą,  = {00, 01, 10, 11} • Pomiar czasu życia żarówki ti[h], ti = (0, tMAX), gdzie titMAX

14. Definicja prawdopodobieństwa Graficzna interpretacja jest często użyteczna, np. podwójny rzut monetą - przestrzeń i zdarzenie A: ‘wypadnie tylko jedna reszka’  A Suma oczek wynosi 7 lub 11 Podwójny rzut kostką A 

15. Definicja prawdopodobieństwa • Definicja ILOŚCIOWA (I) • klasyczna • jeżeli pewne zdarzenie A, może zajść na k różnych sposobów spośród całkowitej liczby n (liczność przestrzeni zdarzeń elementarnych) to prawdopodobieństwo zdarzenia A wynosi k/n; zakładamy przy tym, że wszystkie zdarzenia elementarne są równie prawdopodobne • częstościowa • przeprowadzamy eksperyment n razy (gdzie n jest b. duże), jeżeli interesujące nas zdarzenie A pojawiło się k razy to przyjmujemy, że odpowiadające mu prawdopodobieństwo wynosi k/n (definicja empiryczna) • W zasadzie, można uznać próbę za udaną, ale… • równie prawdopodobne zdarzenia elementarne • duże n – nie mamy w praktyce możliwości dokładnej definicji

16. Definicja prawdopodobieństwa • Definicja AKSJOMATYCZNA Kołmogorowa (II) • załóżmy, że zdefiniowaliśmy przestrzeń zdarzeń elementarnych , każdemu zdarzeniu A  możemy przyporządkować liczbę rzeczywistą, P(A). Jeżeli spełnione są poniższe warunki (aksjomaty) to liczbę P(A) nazywamy prawdopodobieństwem zdarzenia A • Dla każdego A  :P(A)  0 • Dla zdarzenia ‘pewnego’ S =:P() = 1 • Dla dowolnej liczby wykluczających się wzajemnie zdarzeń Ai prawdziwa jest zależność: • P(A1 A2 … Ai) = P(A1) + P(A2) + … + P(Ai) • Ai Aj = 

17. Definicja prawdopodobieństwa • Definicja AKSJOMATYCZNA Kołmogorowa (II) • wychodząc z powyższych aksjomatów można dowieść wszystkich praw rachunku prawdopodobieństwa (kilkanaście dowodów na ćwiczeniach) • algebra zbiorów językiem RP (ćwiczenia) • P możemy traktować formalnie jak funkcję: • P:   A  P(A)  [0, 1]    P 1 A 0 

18. Kombinatoryka • Na podstawie dyskusji przeprowadzonej do tej pory jasne powinno być, że w przypadku dyskretnych (skończonych) przestrzeni zdarzeń elementarnych, obliczanie P(A) będzie opierało się na wyznaczeniu liczby zdarzeń elementarnych sprzyjających zajściu zdarzenia A • Z pomocą przychodzi kombinatoryka = ‘sprytny sposób liczenia’ • permutacje • kombinacje • Różne smaki (czytaj odmiany) powyższych związane z: • kolejność elementów ma/nie ma znaczenia • elementy losowane są/nie są zwracane do populacji • stosujemy tzw. podstawową regułę iloczynu

19. Kombinatoryka • Permutacje • załóżmy, że mamy do dyspozycji nrozróżnialnych obiektów, spośród których wybieramy ri porządkujemy (wariacje bez powtórzeń) • pierwszy element możemy wybrać na n sposobów, drugi na n-1,… • dalej, korzystamy z definicji silni i dostajemy: • jeżeli r = n • Np. ile różnych ciągów 3-literowych można utworzyć spośród liter: a, b,…, g

20. Kombinatoryka • Permutacje • załóżmy teraz, że liczba obiektów, które chcemy uporządkować składa się z: n = n1 + n2 + … nk,czyli, k zestawów elementów nierozróżnialnych (permutacje z powtórzeniami – k elementów, z których 1 powtarza się n1razy itd.) • Np. ile różnych permutacji można utworzyć z liter słowa MORTADELA • (proszę dokończyć…)

21. Kombinatoryka • Kombinacje • tym razem kolejność nie jest istotna abc = bac • liczba kombinacji zbioru relementowego wybranego z n elementów: • łatwo pokazać (patrz permutacje), że: • Np. na ile sposobów można wylosować 3 karty spośród 8 różnych kart:

22. Podsumowanie • Układy losowe opisujemy przy pomocy pojęcia prawdopodobieństwa • Prawd. związane jest z ‘rozsądnym rozumowaniem’ • Miara ilościowa reprezentująca naszą ‘wiarę’ w wynik procesu losowego • Prawd. zdefiniowane przy pomocy aksjomatów Kołmogorowa • Formalnie funkcja przypisująca zdarzeniomliczby rzeczywiste [0, 1] • Zasady prawd. wyrażamy w języku algebry zbiorów • Kombinatoryka ‘sprytnym’ narzędziem do zliczania