1 / 23

Elementy Rachunku Prawdopodobieństwa i Statystyki

Elementy Rachunku Prawdopodobieństwa i Statystyki. Wykład 1 O wykładzie i gdzie szukać pomocy D efinicja prawdopodobieństwa Elementy kombinatoryki Podsumowanie. Tomasz Szumlak , WFiIS , 01/03/2013. O wykładzie oraz gdzie szukać pomocy.

fauve
Download Presentation

Elementy Rachunku Prawdopodobieństwa i Statystyki

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. Elementy Rachunku Prawdopodobieństwa i Statystyki • Wykład 1 • O wykładziei gdzie szukać pomocy • Definicja prawdopodobieństwa • Elementy kombinatoryki • Podsumowanie Tomasz Szumlak, WFiIS, 01/03/2013

  2. O wykładzie oraz gdzie szukać pomocy • Otaczającą nas rzeczywistość poznajemy wykonując eksperymenty • nie można ‘wymyśleć’ równań ruchu – doświadczenia • pojęcie pomiaru jest tu zasadnicze • w dalszym ciągu wykładu poznamy dodatkowo pojęcie jego precyzji • analiza statystyczna może pomóc w planowaniu eksperymentu i kontroli/wyznaczeniu precyzji jego wyniku • X  X [jednostki] – wynik pomiaru (X może zawierać kilka składników, niektóre z nich mogą być asymetryczne – błąd systematyczny) • Ogólnie typy wykonywanych doświadczeń możemy podzielić na dwa rodzaje (podział nie jest ostry, mamy tu często do czynienia z komplementarnymi ) eksperymentami: • chcemy wyznaczyć (oszacować) wartość pewnej wielkości fizycznej • chcemy sprawdzić czy pewna teoria (model) jest zgodna z danymi, które uzyskaliśmy

  3. O wykładzie oraz gdzie szukać pomocy • To samo możemy wyrazić używając ‘bardziej profesjonalnego’ języka statystyki jako: • estymacja parametrów • testowanie hipotez • Przykłady • Skuteczność nowego składnika nawozu (rozkład i rozrzut) • Badanie jakości wyprodukowanych procesorów (próbka i populacja) • Weryfikacja modelu – wyznaczenie parametru(ów) modelu (testowanie hipotez) • Parametry modelu, których nie można wyznaczyć teoretycznie (rozpad spontaniczny, dopasowanie modelu do danych)

  4. O wykładzie oraz gdzie szukać pomocy • Literatura(google isyourfriend…) • Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach, W. Krysicki et al., 2005, PWN • Zadania z probabilistyki, A. Plucińska, E. Pluciński, 1983, PWN • Statystyka dla fizyków, R.N. Nowak, 2002, PWN (+ zbiór zadań) • Analiza danych, S. Brandt, 1998, PWN • Internet, Wikipedia,…

  5. Definicja prawdopodobieństwa • Analiza danych • Wnioskowanie statystyczne dostarcza nam narzędzi matematycznych do oceny wiarygodności jednego, bądź kilku modeli (często konkurujących ze sobą) • estymacja parametrów modelu • estymacja niepewności pomiarowych • Liczymy, że nasza praca zaowocuje poprawnymi wnioskami, które opierają się na: • próbce danych eksperymentalnych, które zebraliśmy • wiedzy i doświadczeniu zdobytym w poprzednich eksperymentach

  6. Definicja prawdopodobieństwa Prawdopodobieństwo i ‘rozsądne postępowanie’ (próba oceny postępowania w oparciu o dostępne informacje i przewidywanie skutków tego postępowania) Decyzja X spowodowała tragiczne skutki, jednakże podjęta została po analizie dostępnych informacji i wydawała się być w jej świetle najlepszą z możliwych Decyzja Y doprowadziła do szczęśliwego wyniku, chociaż nie było żadnych przesłanek aby tego oczekiwać X – DOBRA Y - ZŁA

  7. Definicja prawdopodobieństwa W zasadzie, prawdopodobieństwo jest prostym pojęciem – to nic innego jak zdrowy rozsądek wyrażony poprzez odpowiedni aparat matematyczny Prawdopodobieństwo =? Wiarygodne wnioskowanie Rozumowanie dedukcyjne i Rozumowanie indukcyjne

  8. Definicja prawdopodobieństwa Rozumowanie dedukcyjne ‘Przyczyna’ Teoria, zwykle kompletna, nie zawierająca stwierdzeń fałszywych ‘Możliwe skutki’ Przewidywania wysnute na podstawie teorii Rozumowanie indukcyjne ‘Możliwe Przyczyny’ Konkurujące teorie/modele ‘Obserwacje’ W jaki sposób podjąć decyzję, który z proponowanych modeli jest poprawny…?

  9. Definicja prawdopodobieństwa Rozumowanie dedukcyjne ‘Przyczyna’ Teoria, zwykle kompletna, nie zawierająca stwierdzeń fałszywych ‘Możliwe skutki’ Przewidywania wysnute na podstawie teorii Rozumowanie indukcyjne ‘Możliwe Przyczyny’ Konkurujące teorie/modele ‘Obserwacje’ Który z nich jest najbardziej wiarygodny…? (Bayes – c.d.n.) 12

  10. Definicja prawdopodobieństwa • Układy, które nie są deterministyczne (znając odpowiednie warunki początkowe, możemy przewidzieć zachowanie układu) nazywamy losowymi • Opisu takich układów losowych możemy dokonać przy pomocy rachunku prawdopodobieństwa • Pojęcia pierwotne RP (Rachunku Prawdopodobieństwa) • Przestrzeń zdarzeń elementarnych  • Zdarzenie elementarne ai  (ekskluzywne) • Zdarzenie losowe A = {a1, a2,… ,an}   • Przykłady • Rzut jedną monetą, ‘orzeł’ = 0, ‘reszka’ = 1,  = {0, 1} • Podwójny rzut monetą,  = {00, 01, 10, 11} • Pomiar czasu życia żarówki ti[h], ti = (0, tMAX), gdzie titMAX

  11. Definicja prawdopodobieństwa Graficzna interpretacja jest często użyteczna, np. podwójny rzut monetą - przestrzeń i zdarzenie A: ‘wypadnie tylko jedna reszka’  A Suma oczek wynosi 7 lub 11 Podwójny rzut kostką A 

  12. Definicja prawdopodobieństwa • Definicja ILOŚCIOWA (I) • klasyczna • jeżeli pewne zdarzenie A, może zajść na k różnych sposobów spośród całkowitej liczby n (liczność przestrzeni zdarzeń elementarnych) to prawdopodobieństwo zdarzenia A wynosi k/n; zakładamy przy tym, że wszystkie zdarzenia elementarne są równie prawdopodobne • częstościowa • przeprowadzamy eksperyment n razy (gdzie n jest b. duże), jeżeli interesujące nas zdarzenie A pojawiło się k razy to przyjmujemy, że odpowiadające mu prawdopodobieństwo wynosi k/n (definicja empiryczna) • W zasadzie, można uznać próbę za udaną, ale… • równie prawdopodobne zdarzenia elementarne • duże n – nie mamy w praktyce możliwości dokładnej definicji

  13. Definicja prawdopodobieństwa • Definicja AKSJOMATYCZNA Kołmogorowa (II) • załóżmy, że zdefiniowaliśmy przestrzeń zdarzeń elementarnych , każdemu zdarzeniu A  możemy przyporządkować liczbę rzeczywistą, P(A). Jeżeli spełnione są poniższe warunki (aksjomaty) to liczbę P(A) nazywamy prawdopodobieństwem zdarzenia A • Dla każdego A  :P(A)  0 • Dla zdarzenia ‘pewnego’ S =:P() = 1 • Dla dowolnej liczby wykluczających się wzajemnie zdarzeń Ai prawdziwa jest zależność: • P(A1 A2 … Ai) = P(A1) + P(A2) + … + P(Ai) • Ai Aj = 

  14. Definicja prawdopodobieństwa • Definicja AKSJOMATYCZNA Kołmogorowa (II) • wychodząc z powyższych aksjomatów można dowieść wszystkich praw rachunku prawdopodobieństwa (kilkanaście dowodów na ćwiczeniach) • algebra zbiorów językiem RP (ćwiczenia) • P możemy traktować formalnie jak funkcję: • P:   A  P(A)  [0, 1]    P 1 A 0 

  15. Kombinatoryka • Na podstawie dyskusji przeprowadzonej do tej pory jasne powinno być, że w przypadku dyskretnych (skończonych) przestrzeni zdarzeń elementarnych, obliczanie P(A) będzie opierało się na wyznaczeniu liczby zdarzeń elementarnych sprzyjających zajściu zdarzenia A • Z pomocą przychodzi kombinatoryka = ‘sprytny sposób liczenia’ • permutacje • kombinacje • Różne smaki (czytaj odmiany) powyższych związane z: • kolejność elementów ma/nie ma znaczenia • elementy losowane są/nie są zwracane do populacji • stosujemy tzw. podstawową regułę iloczynu

  16. Kombinatoryka • Permutacje • załóżmy, że mamy do dyspozycji nrozróżnialnych obiektów, spośród których wybieramy ri porządkujemy (wariacje bez powtórzeń) • pierwszy element możemy wybrać na n sposobów, drugi na n-1,… • dalej, korzystamy z definicji silni i dostajemy: • jeżeli r = n • Np. ile różnych ciągów 3-literowych można utworzyć spośród liter: a, b,…, g

  17. Kombinatoryka • Permutacje • załóżmy teraz, że liczba obiektów, które chcemy uporządkować składa się z: n = n1 + n2 + … nk,czyli, k zestawów elementów nierozróżnialnych (permutacje z powtórzeniami – k elementów, z których 1 powtarza się n1razy itd.) • Np. ile różnych permutacji można utworzyć z liter słowa MORTADELA • (proszę dokończyć…)

  18. Kombinatoryka • Kombinacje • tym razem kolejność nie jest istotna abc = bac • liczba kombinacji zbioru relementowego wybranego z n elementów: • łatwo pokazać (patrz permutacje), że: • Np. na ile sposobów można wylosować 3 karty spośród 8 różnych kart:

  19. Podsumowanie • Układy losowe opisujemy przy pomocy pojęcia prawdopodobieństwa • Prawd. związane jest z ‘rozsądnym rozumowaniem’ • Miara ilościowa reprezentująca naszą ‘wiarę’ w wynik procesu losowego • Prawd. zdefiniowane przy pomocy aksjomatów Kołmogorowa • Formalnie funkcja przypisująca zdarzeniomliczby rzeczywiste [0, 1] • Zasady prawd. wyrażamy w języku algebry zbiorów • Kombinatoryka ‘sprytnym’ narzędziem do zliczania

More Related