ŚWIAT Z BRYŁ

1. ŚWIAT Z BRYŁ KATARZYNA MICHALINA

2. BRYŁA - dowolny ograniczony obszar przestrzeni wraz z powierzchnią ograniczającą, np. kula, sześcian; bryła obrotowa, bryła powstała w wyniku obracania figury płaskiej wokół pewnej prostej (np. stożek kołowy); bryła wypukła, bryła która wraz z dowolnymi dwoma swymi punktami zawiera całkowicie łączący je odcinek (np. kula). CO TO JEST BRYŁA ?

4. CO TO BRYŁA OBROTOWA, GRANIASTOSŁUP I OSTROSŁUP ? Graniastosłup – wielościan, którego wszystkie wierzchołki są położone na dwóch równoległych płaszczyznach, zwanych podstawami graniastosłupa i którego wszystkie krawędzie leżące poza tymi podstawami są do siebie równoległe. Ostrosłup – wielościan, którego ściany boczne są trójkątami o wspólnym wierzchołku a podstawa jest dowolnym wielokątem. Bryła obrotowa – bryła geometryczna ograniczona powierzchnią powstałą z obrotu figury płaskiej dookoła prostej (osi obrotu).

5. BUDOWA GRANIASTOSŁUPA

6. Szczególnie ważnym pojęciem związanym z graniastosłupami jest wysokość.

7. PRZYKŁADY GRANIASTOSŁUPÓW Nazwa każdego graniastosłupa wywodzi się od tego jaką figurę ma on w podstawie. Przykładami takich graniastosłupów są: • graniastosłup prosty trójkątny • graniastosłup prosty czworokątny • graniastosłup prosty pięciokątny • graniastosłup pochyły trójkątny • graniastosłup pochyły czworokątny • graniastosłup pochyły pięciokątny

8. WZORY NA OBJĘTOŚĆ I POLE POWIERZCHNI GRANIASTOSŁUPA WZÓR NA POLE : Pc = 2Pp + Pb WZÓR NA OBJĘTOŚĆ : V= Pp· H LEGENDA : Pc – pole powierzchni całkowitej Pp –pole podstawy V – objętość H – wysokość

9. BUDOWA OSTROSŁUPA

10. PRZYKŁADY OSTROSŁUPÓW • Nazwa każdego ostrosłupa bierze się od figury jaka znajduje się w jego podstawie. Wyróżniamy więc takie ostrosłupy jak : • ostrosłup prawidłowy trójkątny • ostrosłup prawidłowy czworokątny • ostrosłup prawidłowy sześciokątny • itp.

11. WZÓR NA POLE CAŁKOWITE: Pc = Pp + Pb WZÓR NA OBJĘTOŚĆ: V = 1/3Pp · H LEGENDA: Pc – pole całkowite Pp – pole podstawy Pb – pole powierzchni bocznej V – objętość H – wysokość WZORY NA OBJĘTOŚĆ I POLE POWIERZCHNI OSTROSŁUPA

12. PRZYKŁADY BRYŁ OBROTOWYCH: • walec • stożek • kula

13. CO TO JEST WALEC, STOŻEK I KULA ? Walec jest bryłą geometryczną ograniczoną powierzchnią walcową i dwiema płaszczyznami nierównoległymi do jej tworzącej. Jeżeli płaszczyzny są prostopadłe do tworzącej, wówczas jest to walec prosty. Stożek (dawniej konus) – bryła ograniczona przez powierzchnię stożkową, której linia kierująca jest zamknięta, oraz przez płaszczyznę przecinającą powierzchnię stożkową. Część płaszczyzny wycięta przez powierzchnię stożkową stanowi podstawę stożka. Kula to zbiór punktówoddalonych nie bardziej niż pewna zadana odległość (promień kuli) od wybranego punktu (środek kuli)

14. WRÓR NA POLE WALCA: Pc = Pp + Pb Pp = ∏r2 Pb = 2 ∏r · H WZÓR NA OBJĘTOŚĆ WALCA: V = Pp · H Pp= ∏r2 V=∏r2 · H WZORY NA OBJĘTOŚĆ I POLE POWIERZCHNI BRYŁ OBROTOWYCH

15. WZÓR NA POLE STOŻKA: Pc = Pp + Pb Pp = ∏r2 Pb =∏rl WZÓR NA OBJĘTOŚĆ STOŻKA: V = 1/3 Pp · H Pp = ∏r2 V = 1/3∏r2 · H WZÓR NA POLE KULI : Pc = 4∏r2 WZÓR NA OBJĘTOŚĆ KULI : V = 4/3 ∏r3

16. ZDJĘCIA ZE ŚWIATA

17. PRZYKŁADY GRANIASTOSŁUPÓW W ŻYCIU CODZIENNYM Najczęściej spotykaną bryłą w życiu codziennym jest graniastosłup lub sześcian. W pudełkach o kształcie graniastosłupa czy sześcianu można znaleźć produkty takie jak : mleko, napoje, chusteczki higieniczne, lekarstwa, itp.

18. BUDYNEK ONZ W NOWYM JORKU Jednym z najsłynniejszych budynków o kształcie graniastosłupa jest siedziba ONZ w Stanach Zjednoczonych, w Nowym Jorku.

19. OBSERWATORIUM W BERLINIE

20. PIRAMIDA W GIZIE Jednym z ostrosłupów wykorzystywanych w architekturze już od czasów starożytnych jest ostrosłup czworokątny, czyli piramida. Najsłynniejszą i największą wzniesiono w Gizie ponad 2 tysiące lat p.n.e. 

21. CASSIOPEIA To jedno z obserwatoriów astronomicznych na obszarze Niemiec. Jej kulisty kształt pomaga astrologom odtworzyć na jej suficie dokładny obraz kosmosu.

22. LATARNIA MORSKA W GĄSKACH Latarnia morska w kształcie walca długiej „wysokości” ułatwia statkom znajdującym się na morzu dostrzec jej światło.

23. PRZYKŁADOWE ZADANIA Zadanie 1 Podstawą graniastosłupa trójkątnego jest trójkąt prostokątny o bokach 3 cm, 4 cm i 5 cm. Wysokość graniastosłupa wynosi 8 cm. Oblicz pole całkowite tego graniastosłupa. Rozwiązanie: Obliczam pole podstawy Pp: cd… →

24. Obliczam pole powierzchni bocznej Pb: Powierzchnia boczna to suma pól 3 prostokątów o wymiarach 4 cm x 8 cm, 5 cm x 8 cm i 3 cm x 8 cm. Obliczam pole powierzchni całkowitej Pc : Odpowiedź: Pole podstawy wynosi 6 cm2, pole powierzchni bocznej 96 cm2, a pole całkowite 108 cm2.

25. Zadanie 2 Oblicz pole powierzchni bocznej graniastosłupa sześciokątnego, którego wysokość wynosi 25 cm, a wszystkie boki sześciokąta, będącego podstawą, są równe i wynoszą 4 cm. Rozwiązanie: Odpowiedź: Pole powierzchni bocznej wynosi 600 cm2.

26. Zadanie 3 Pole powierzchni sześcianu jest równe 36 cm2. Oblicz jego objętość.

27. Zadanie 4 Przekątna ściany bocznej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość 15cm. Oblicz objętość graniasatosłupa, jeżeli jego wysokość ma długość 12cm.

28. Zadanie 5 Oblicz objętość sześcianu, jeżeli krawędź sześcianu do niego podobnego w skali 3, ma długość 18 cm.

29. Zadanie 6 Stożek ma objętość 9 cm³, a stożek do niego podobny ma objętość 72. Oblicz skalę podobieństwa tych stożków.

30. Zadanie 8 Pole podstawy pewnego ostrosłupa trójkątnego wynosi 48, a wysokość ostrosłupa podobnego do niego w skali 4, wynosi 20cm. Oblicz objętości obu ostrosłupów.