A RETA

1. A RETA Fonte : PRINCIPE JR, A.R., Noções de Geometria Descritiva V. 1, 36. ed., Sao Paulo : Nobel, 1983.

2. ESTUDO DA RETA “Determinação de uma reta no plano”. B(x,y) A(x,y) Conhecendo as coordenadas de dois pontos distintos A e B de uma reta, podemos representá-la no plano cartesiano, pois dois pontos distintos determinam uma reta.

3. ESTUDO DA RETA “Equação geral da reta no plano cartesiano”. B(x,y) C(x,y) A(x,y) Dados os pontos A,B e C, pertencentes a uma reta r, pela condição de alinhamento de três pontos, o determinante formado por esses pontos vale zero ( D=0)

4. ESTUDO DA RETA Equação geral da reta, determinada por dois pontos Desenvolvendo o determinante obtemos: a equação : ax + by + c = 0   que é chamada equação geral da reta r

5. ESTUDO DA RETA Exemplo Determinar a equação da reta que passa por A(1,3) e (2,4) Desenvolvendo o determinante obtemos: a equação : 1x -1y + 2 = 0   que é chamada equação geral da reta r

6. ESTUDO DA RETA “Equação reduzida da reta”. Da equação geral da reta ax + by + c = 0, obtemos a equação reduzida da reta y = mx + k, onde mé o coeficiente angular da reta e k coeficiente linear da reta, ou a equação na forma y = ax + b. (a é o coeficiente angular e b coeficiente linear).

7. ESTUDO DA RETA “Exemplo de equação reduzida da reta”. 6x-3y-12=0 Da equação geral - 4 Y= 2.x obtemos a equação reduzida da reta: Cuja representação gráfica é Onde: c.a =2 m=2 c.l =- 4 - 4

8. ESTUDO DA RETA Equação segmentária da reta ax+by+c=0 Da equação geral obtemos a equação segmentária da reta: +by/c= c/c ax/c x/p + y/q=1 Graficamente temos: p q

9. ESTUDO DA RETA Exemplo de equação segmentária da reta”. 6x-3y-12=0 Da equação geral 6x-3y= 12 obtemos a equação segmentária da reta: - 3y/12= 12/12 6x/12 x/2 + y/ - 4=1 Graficamente temos: 2 - 4

10. ESTUDO DA RETA “Equação paramétrica da reta”. • Quando um ponto qualquer P(x , y) de uma reta vem com suas coordenadas x e y expressas em função de uma terceira variável t (denominada parâmetro), nós temos nesse caso as equações paramétricas da reta. • Se x= f(t) e y = g(t) onde f e g são funções de 1º grau. • Nestas condições , para se encontrar a equação geral da reta , basta se tirar o valor de t em uma das equações e substituir na outra .

11. ESTUDO DA RETA “Exemplo de equação paramétrica da reta”. e Y= t+3 Dados os pontos X= 2.t+1 Coordenadas do ponto P(x,y) t = y- 3 Isolando “t” em y temos: Substituindo “t” em x temos: x = 2.(y- 3)+1 Organizando, obtemos a equação geral x-2y+5=0 Obs: existe outra forma de obtermos a equação geral, em uma equação paramétrica

12. ESTUDO DA RETA “Equação fundamental da reta”. Equação da reta r que passa pelo ponto P(x,y) e tem coeficiente angular m P(x,y) ()

13. ESTUDO DA RETA “Equação fundamental da reta”. • A equação y – yo =m (x – xo) onde (xo,yo) é um ponto conhecido e m é o coeficiente angular da reta, é chamada equação fundamental da reta

14. ESTUDO DA RETA Exemplo aplicação da equação fundamental da reta e A equação da reta que passa por P(2,3) Tem coeficiente angular m =-2 é y- 3=-2(x- 2) 3 m =-2 2 Equação geral:2.x+y-7=0

15. ESTUDO DA RETA COEFICIENTE ANGULAR DE UMA RETA • O coeficiente angular de uma reta ( m )é um número real “a” que representa a sua inclinação (). Por definição, temos que: • m= a = tg  • São quatro as possibilidades para o coeficiente angular:

16. ESTUDO DA RETA COEFICIENTE ANGULAR DE UMA RETA  é agudo a > 0 Neste caso a reta tem um coeficiente angular positivo.

17. ESTUDO DA RETA COEFICIENTE ANGULAR DE UMA RETA  é obtuso a < 0 Neste caso a reta tem um coeficiente angular negativo.

18. ESTUDO DA RETA COEFICIENTE ANGULAR DE UMA RETA  = 0º ou 180º a = 0  = 90º a não existe Neste caso a reta tem um coeficiente zero. Neste caso a reta não tem coeficiente angular

19. Determinação do Coeficiente angular na equação ESTUDO DA RETA Dada a equação geral ax+by+c=0, podemos determinar o coeficiente angular através da expressão. -a • Exemplo m = b Qual o “c.a” na equação 3x-2y+5=0 - 3 3 m = m = 2 -2

20. Determinação do Coeficiente angular entre dois pontos ESTUDO DA RETA Dados os pontos A(xa,ya) e B(xb,yb), o coeficiente angular da reta que passa por esses pontos é representado por: yb-ya m = xb-xa Qual o “c.a” da reta que passa por A(3,6) e B(5,10) • Exemplo 10 - 6 4 2 m = m = m = 2 5 - 3

21. POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE DUAS RETAS ESTUDO DA RETA Em relação ao plano cartesiano, as retas podem ocupar várias posições, posições estas que determinam nomes e propriedades particulares. Veremos aqui a algumas delas .... • RETAS PARALELAS • RETAS CONCORRENTES • RETAS PERPENDICULARES

22. POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE DUAS RETAS ESTUDO DA RETA • RETAS PARALELAS: • retas paralelas tem os mesmos coeficientes angulares • RETAS CONCORRENTES: • tem os coeficientes angulares diferentes. • RETAS PERPENDICULARES: • Formam entre si ângulo de 90º.

23. POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS ESTUDO DA RETA • RETAS PARALELAS: • tem os coeficientes angulares iguais • (m1 = m2) m2 m1

24. POSIÇÕES DAS RETAS ESTUDO DA RETA • RETAS CONCORRENTES: • tem os coeficientes angulares diferentes • (m1diferente de m2) m2 m1

25. POSIÇÕES DAS RETAS ESTUDO DA RETA • RETAS PERPENDICULARES: • Formam entre si ângulo de 90º • O produto entre os coeficientes angulares vale -1 (m1 . M2 = -1)

26. ESTUDO DA RETA DISTÂNCIA ENTRE PONTO E RETA Dado um ponto P(X,y) e uma reta r: ax+by+c=0, a distância entre o ponto e a reta é representada por: dp,r * P(x,y)

27. Ângulo entreRetas ESTUDO DA RETA Ângulo formado por duas retas Sendo mr e ms os coeficientes angulares das retas r e s respectivamente , a tangente do ângulo agudo formado pelas retas é dado por : r s mr ms

28. BIBLIOGRÁFIA Livro de matemática volume 3 editora Moderna , autor Manoel Paiva www.net-rosas.com.br www.unificado.com.br/matematica Fonte : PRINCIPE JR, A.R., Noções de Geometria V. 1, 36. ed., Sao Paulo : Nobel, 1983.