Elec 2311 Semaine 1bis (2011)

1. Elec 2311 Semaine 1bis (2011) Modèles de type « circuit »

2. Deux types de modèles Modèles « circuit » : une coordonnée au plus (le temps) utilisation plus rapide et simple impossibilité de tenir compte des dimensions géométriques Modèles « champ » : jusqu ’à 4 coordonnées (t, x , y et z ) lents et compliqués, mais incontournables pour la conception Utilisation simultanée des deux types de modèles on profite des avantages des deux types nécessité de règles de correspondance explicites Conseil : quand deux modèles sont utilisés, bien distinguer (y compris dans les documents) les parties de l ’étude utilisant l ’un ou l ’autre des modèles, ainsi que les parties effectuant la mise en correspondance.

3. Nous avons vu lors du premier cours que l’évaluation des performances peut nécessiter un grand nombre d’analyses du dispositif pour chaque jeu de paramètres constructifs. Faire la simulation en utilisant un modèle champ serait en général trop long

4. Dans ce cas, on a intérêt à utiliser pour chaque jeu de paramètres constructifs un (ou quelques) calcul de champ pour déterminer les paramètres d’un modèle circuit, qui est ensuite le seul utilisé pour la simulation.

5. Modèles « circuit » vus l’an passé Circuits équivalents en T d ’un transformateur d’une machine asynchrone

6. Circuits équivalents en T d ’une machine synchrone à pôles lisses Circuit équivalent d’une machine DC

7. Ces circuits ne sont valides qu’en régime permanent. Les trois premiers supposent en outre que la machine est à couplage sinusoïdal et pôles lisses. Avec les mêmes hypothèses, il est facile d’obtenir le circuit équivalent d’une machine synchrone à aimants : il suffit de considérer un courant if / a constant.

8. Le modèle thermique d’une machine peut lui aussi être présenté sous la forme d’un circuit équivalent En modélisant les pertes Joule par deux éléments (une source de courant de valeur fixée et une résistance négative), on peut utiliser les méthodes d’analyse de la théorie des circuits linéaires (par exemple pour calculer les deux constantes de temps), ce qui n’aurait pas été le cas avec une source de courant dépendant de la température.

9. Questions à se poser ? Pourquoi un circuit équivalent plutôt qu’un ensemble d’équation ? Ces circuits sont-ils suffisants en conception de dispositif ? Transitoires électriques Machines à pôles saillants Couplage non sinusoïdal …. Comment calculer les paramètres de ces circuits ? Pour y répondre, commençons par nous demander ce qu’est un circuit !

10. Qu’est-ce qu’un circuit ? Circuit = façon de présenter un système d’équations Possible seulement si ce système a une forme appropriée Structure préalable : graphe orienté Premier volet : i et grandeurs associées (q et j) Second volet : u et grandeurs associées (y et e)

11. L ’essentiel de la théorie des circuits Les deux lois de Kirchhoff Il existe une relation purement algébrique entre les tensions d ’une part, entre les courants d ’autre part Conséquence : théorème de Tellegen S ui ii = 0 plus que la simple conservation de la puissance. Il est important que le modèle respecte les axiomes des circuits pour pouvoir profiter des théorèmes de la théorie des circuits, notamment la conservation de la puissance.

12. Formalisme de la théorie des circuits Puisque l ’on va devoir établir une correspondance avec un modèle « champ », il est bon d ’adopter un formalisme semblable à celui de l ’électromagnétisme de Maxwell. Premier voletd ’équations d ’évolution loi de nœuds de Kirchhoff i = dq / dt + j Second voletd ’équations d ’évolution loi des mailles de Kirchhoff u = dy / dt + e Relations constitutives : différentes pour chaque élément : résistance, inductance, capacité…...

13. + structure préalable La principale raison pour laquelle j’introduis ce formalisme est qu’il permet la mise en correspondance des modèles « champs » et des modèles « circuits ».

14. Ce formalisme est aussi utile pour analyser des circuits, notamment les circuits non linéaires. Exemple à traiter sous forme d’exercice : calculer le courant obtenu après un temps fixé dans une inductance pure non linéaire soumise à une tension constante. Vaut-il mieux spécifier l’inductance par une fonction L(i) ou y(i) ?

15. Méthodes Lagrangiennes en théorie des circuits On peut condenser l ’information relative à un dispositif inductif dans une seule fonction, la coénergie wcm . Avantages (vu l ’an passé au cours ELEC 1310) :  moins de paramètres dans le cas d’un élément à plusieurs accès électriques  cohérence du modèle garantie,  utilisation plus facile des symétries Supposent les relations univoques (pas d ’hystérésis)

16. Equations « générales » Les deuxièmes termes n ’ont pas été vus lors du cours ELEC 1310 (limité aux circuits filiformes) Ce sont les termes de glissement. q = position de la matière r = position du circuit

17. Les termes de glissement sont nuls si q = r . On parle alors de « circuits filiformes ». C’est le seul cas considéré dans le cours de l’an passé. • Quand est-il utile de considérer les termes de glissement ? • Dans le cas (rare) de machines dérivées de la roue de Barlow (ou du disque de Faraday) • Dans le cas des machines DC si on veut traiter l’induit comme UN circuit. • Attention, dans le cas des machines à collecteur électronique, il faut encore introduire d’autres termes si l’on veut arriver à une précision raisonnable tout en considérant l’induit comme un seul circuit. • Dans le cas des machines polyphasées si on veut considérer les systèmes d, q et o comme des circuits à part entière.

18. Convertisseurs homopolaires (dérivés de la roue de Barlow ou du disque de Faraday) Ci-contre, le circuit magnétique n’est pas représenté complètement. Il y a des variantes topologiques (machines cylindriques, machines linéaires...) On doit utiliser la notion de circuit glissant pour introduire un modèle circuit de ces machines.

19. Machines à courant continu Bien que l’induit soit formé de multiples circuits filiformes, il est équivalent à un circuit glissant unique.

20. Machines DC à collecteur électronique Exemple : génératrice à redresseur On peut encore utiliser un circuit glissant, mais le circuit d’induit n’est plus fixé à 90° par rapport à l’axe de l’inducteur. En outre, pour être complet, il faut tenir compte d’autres degrés de liberté, notamment d’une variation de la « largeur des balais » en fonction du courant d’induit (correspondant au temps de commutation dans le circuit filiforme). La notion s’étend aux « brushless ».

21. Machines à courant alternatif • Il existe des situations où l’on ne peut plus se contenter d’un circuit équivalent monophasé • machine à pôles saillants • ou régime déséquilibré • ou régime transitoire On devrait alors considérer chaque phase séparément, d’où un grand nombre d’équations fortement couplées.

22. Circuits o, d, q La situation peut se simplifier en changeant de circuit (mathématiquement). Pour cela, on remplace les circuits a, b et c par trois autres circuits o, d et q (homopolaire, direct et en quadrature). Cela se ramène à un changement de variables. On a par exemple pour les tensions. où T et P sont des matrices (matrice de Concordia et matrice de Park)

23. La matrice de Concordia T est une matrice constante

24. La matrice de Park P est une matrice variable Pour simplifier les équations de la machine, on choisit re lié à la position du rotor et tel que le circuit d soit « aligné » avec l’inducteur, le circuit q étant en quadrature avec l’inducteur. (Pour l’étude en régime du réseau, on préfère parfois lier re à la phase wt du réseau. Dans ce cas, les équations de la machine ne se simplifient pas !)

25. La transformation permet, dans le cas des machines à couplage sinusoïdal, de réduire le nombre de termes de couplage entre les équations … donc d’obtenir un circuit équivalent distinct pour chaque composante. Par exemple, pour une machine synchrone en régime, on pourra tenir compte de pôles saillants à l’aide des circuits (on suppose que l’homopolaire n’est pas excité) ci-contre. Ces circuits ne sont plus couplé que par le biais de sources de tension (qui tiennent compte du glissement et dépendent du flux dans l’autre circuit), ainsi que par les éléments non linéaires éventuels (saturation croisée).

26. Utilisation d ’un modèle circuit pour la conception par calcul Possible seulement pour les composants au comportement simple (résistances standard …). Les composants de puissance ne sont pas conçus spécialement pour avoir un comportement simple ! Pour spécifier des composants Pour concevoir un composant par calcul

27. Utilisation d ’un modèle circuit pour déterminer des caractéristiques de matériaux Directement Indirectement

28. Il peut y avoir plusieurs modèles « circuit » pour un même dispositif Le choix dépend de l’usage que l’on veut faire du modèle : * Vérifier la tenue du dispositif à différents régimes, * Déterminer son rendement énergétique * Dimensionner l’électronique de puissance associée * Concevoir un régulateur PID pour le commander, * Tester ce régulateur en tenant compte de la saturation…. * ………………………………… Exemple de demande mal formulée : donnez moi LES équations de LA machine à courant continu (sans autre précision). Le choix d’un modèle circuit dépend des grandeurs à calculer, mais aussi de la précision, du temps requis pour l’utiliser …

29. u2, Ia u2, Ia u2 u2 Ia Ia t période de hachage de l’électronique commutation des semiconducteurs t Il faut aussi savoir quels sont les temps caractéristiques des phénomènes que l’on souhaite étudier : La présence de l’électronique de puissance donne lieu à des temps très courts : attention aux capacités « parasites ». A l’échelle du hachage, on considère souvent les commutations comme instantanées

30. u2, Ia U2moy Ia t Transitoire électrique : souvent quasistatique (modèle purement inductif). Ils sont régis par les valeurs des inductances et des résistances. On ne considère que les valeurs moyennes sur une période de hachage. Dans beaucoup de cas, les transitoires électriques sont beaucoup plus court que les transitoires mécaniques. Dans ce cas, on ne s’intéresse souvent qu’au régime permanent d’un point de vue électrique (entendez par là lentement variable car le régime évolue avec la variation de la vitesse mécanique) mais transitoire d’un point de vue mécanique. Rappelons que, dans certains cas, le régime « permanent » électrique peut être étudié par un circuit équivalent monophasé.

31. Il y a aussi des situations où l’on considère les régimes électrique et mécanique comme permanents (entendez par là lentement variables car le régime évolue avec la variation de température) mais que l’on étudie le transitoire thermique (régi essentiellement par les capacités et les résistances thermiques)

32. De quel modèle a-t-on besoin pour rendre compte du régime permanent ? Pour une machine synchrone à pôles lisses en régime permanent : le circuit le plus simple est celui de Behn-Eschenburg Ce circuit rend mal compte des non linéarités et des pertes Dans le cas d’une machine à aimant permanent, pas de circuit inducteur et on prend E0 constant. IL FAUT vérifier que les hypothèses sont satisfaites (pôles lisses et fonctionnement sans saturation) !

33. Exemple de question. • point de vue énergie : quel courant (amplitude et phase) faut-il soutirer à une génératrice pour en extraire un maximum de puissance tout en lui gardant une durée de vie convenable ? • point de vue mécatronique : quel courant (à chaque instant) faut-il appliquer à un actionneur pour suivre un profil de vitesse donné tout en lui gardant une fiabilité suffisante ? • Le modèle de Behn-Eschenburg ne permet qu’une réponse approchée car ses éléments ne correspondent pas à des éléments physiques. Il ne rend donc pas compte correctement des pertes !

34. Le circuit équivalent le plus simple qui tient compte des non linéarités est celui de Potier (limité aux machines à pôles lisses). Les pertes par effet Joule et les pertes magnétiques sont bien séparées. Ce circuit se ramène au précédent par une transformation de Thévenin. Dans le cas d’une machine à aimant, il n’y a pas d’inducteur et on prend i’f constant.

35. Comment déduire la valeur des paramètres à partir de calculs de champ ? • Il y a au moins deux possibilités • soit chercher à faire correspondre à chaque phénomène un élément de circuit. • soit déterminer les éléments du circuit équivalent en réalisant des essais expérimentaux virtuels (par calcul de champ) semblables à ceux qui sont utilisés pour déterminer expérimentalement les paramètres (voir cours 1310 ou 2753).

36. Par la première méthode (faire correspondre chaque phénomène à un élément de circuit), on n’obtient pas directement un circuit classique (Potier, Behn-Eschenburg) parce que les éléments de ces circuits ne correspondent pas à des phénomènes distincts. + homopolaire D et Q sont les circuits amortisseurs rotoriques. On remarque la présence de termes de glissement.

37. Après diverses simplifications, on retrouve des circuits plus familiers + circuit homopolaire En régime permanent, on retrouve les circuits équivalents habituels (pas de tension sur les éléments rotoriques)

38. En régime permanent, on obtient On peut introduire la notion de phaseur, mais ce n’est que pour une machine à pôle lisse que cela permet de combiner les deux circuits d et q en un seul et obtenir le circuit de Potier.

39. Autre approche : on effectue des essais virtuels et on en déduit les paramètres du modèle circuit comme si on avait effectué des mesures de laboratoire. On peut faire des essais virtuels sans correspondant réel (par exemple supprimer l’aimantation des aimants, ou appliquer une valeur de courant qui mettrait en danger une machine réelle). On peut aussi mélanger les deux approches. Comme dans le cas des essais réels, on a intérêt à effectuer des essais dont les résultats dépendent principalement d’une partie seulement des paramètres à déterminer (rappel labo sur machine asynchrone des cours ELEC1310 ou 2753 : un essai à rotor bloqué pour déterminer les éléments série et un essai à faible charge pour déterminer les éléments parallèle)

40. Essais expérimentaux But : valider le modèle choisi Moyen : déterminer expérimentalement les valeurs des paramètres « circuit », et les comparer aux valeurs obtenues par le calcul a priori. Note : l’expérience ne permet pas toujours de vérifier la valeur de tous les paramètres obtenus par calcul de champ. En particulier, pour les machines à aimant permanent, la séparation de l’inductance de magnétisation et de l’inductance de fuite par des essais expérimentaux classiques est quasi impossible. Dans ce cas, on déduit du modèle calculé un modèle du type Behn-Eschenburg (qui ne considère que la somme de ces deux inductances) et on effectue la vérification sur ce dernier !