College 5: Ising en Schelling/Magneten en Mensen

1. College 5: Ising en Schelling/Magneten en Mensen complexiteit: gedrag op microschaal gedrag op macroschaal ↔

2. College 5: Ising en Schelling/Magneten en Mensen complexiteit: gedrag op microschaal gedrag op macroschaal

3. magnetisch materiaal macro

4. electronen “draaien om hun as”, en hebben een intrinsiek magnetisch moment. Deze magnetische momenten zijn gelokaliseerd in een (kristallijn) materiaal, en voelen elkaar op atomaire schaal.

5. Als er geen extern veld is, kunnen de individuele spins geen weet hebben van wat er op de macro- schaal gebeurt. Toch zijn er materialen die spontaan een macroscopische magnetisatie verkrijgen. Spontane magnetisatie is een collectief effect – iets dat uit zichzelf plaatsvindt wanneer veel spins wisselwerken.

6. Het Ising model codeert deze lokale interacties: we stellen het materiaal voor als een serie spins op een rooster Simplificatie: iedere spin is op of neer, en voelt alleen z’n naaste buren.

7. Het Ising model codeert deze lokale interacties: we stellen het materiaal voor als een serie spins op een rooster Simplificatie: iedere spin is op of neer, en voelt alleen z’n naaste buren.

8. Op elke roosterpositie zit een spin Die spin draagt een energie bij van J is de koppelingsconstante: meet hoe graag de spins dezelfde kant opwijzen

9. ferromagneet lokaal parallel antiferromagneet lokaal antiparallel

10. Totale energie van het Ising model: Puur lokaal, alleen afh. van aantal andere buren. Centrale vraag: Totale Magnetisatie in evenwicht. Wat zou dat bepalen?

11. Totale energie van het Ising model: minima van de energie: alles op of alles neer. Waarom zou het iets anders doen?

12. Evenwicht is (bij T=0) het minimum van de energie. Maar! Ising bij eindige temperatuur: De spins fluctueren. Iedere spin kan “spontaan” omklappen, zelfs als dat (tijdelijk) de energie verhoogt. Energie wil geordende (gemagnetiseerde) toestanden Entropie wil wanordelijke (M=0) toestanden.

13. hoge T lage T

14. fenomenologie: bij lage T worden de spins lokaal – in domeinen – opgelijnd. M is niet ongelijk nul in een wanordelijke configuratie, maar wordt niet nul door geordende domeinen te maken!

15. J=1, 1/kT=0.1: <M>=0 J=1, 1/kT=0.43, is <M> not zero?

16. 1/kT=0.5 1/kT=10 Bij verder verlagen van T verkrijgt het systeem een spontane magnetisatie!

17. <M> stijgt met dalende temperatuur

18. We meten de gemiddelde magnetisatie per spin als functie van T Gemiddelde magnetisatie als functie van T: kritiek punt (voor J=1) bij kT=2.26919… (Onsager). Order-Disorder transitie.

19. dicht bij de overgang:

20. Dicht bij de faseovergang probeert het systeem lokaal de geordende toestand (M niet nul) uit. Niet willekeurig, maar in geordende 1/kT=0.43 steeds grotere clusters van gelijke spins: de correlatielengte

21. Complexiteit = Machtwetgedrag = kritiek gedrag machtwetten, hebben we eerder gezien, zijn een vingerafdruk van schaalvrije netwerken – waar zit de schaalvrijheid in dit systeem? ruimtelijke organisatie van de clusters: correlaties spreiden zich via burennetwerken uit over steeds grotere lengteschalen, en deze netwerken spelen de rol van de netwerken die we eerder gezien hebben. Machtwetschaling van afgeleide grootheden volgt die van de netwerken.

22. Schaalvrijheid? Scale invariance op de faseovergang. Een precieze overeenkomst tussen effectieve (blok)spins op steeds grotere schalen en individuele spins. = =

23. In natuurkunde: Ising is universeel, ook voor veel ingewikkeldere (meer realistische modellen) vinden we dezelfde machten dicht bij de faseovergang. Niet alleen schaalinvariantie – ook “modelinvariantie” dicht bij kritieke punten zijn heel veel eigenschappen irrelevant en zien we zuiver het effect van de belangrijkste interacties. Van onschatbaar nut voor het analyseren van complexe fenomenen: denk goed na over je model en – hoe simpel ook – het zou wel eens alles kunnen verklaren! Vraag is dan wel, wat zijn de belangrijke zaken?