Curso Propedéutico de Física Moderna I Instituto de Ciencias Físicas UNAM

1. Curso Propedéutico de Física Moderna I • Instituto de Ciencias Físicas UNAM • Semana 3 :Principios de mecánicaCuántica • Antonio M. Juárez Reyes, Instituto de CienciasFísicas Curso propedéutico, Física moderna 2008

2. ESTADO SÓLIDO 6.1 Estructura de sólidos, estructura cristalina * 6.2 Energía de un átomo en una malla cristalina, afinidad electrónica y número de Mandelung 6.3 Capacidad Calorífica de Sólidos 6.4 Teoría de bandas. Teoría de conductores 6.5- Distribución de Fermi-Dirac 6.6 Teoría de semiconductores. Temario, semana 6 Curso propedéutico, Física moderna 2008

3. 6.3 Capacidad Calorífica de Sólidos ¿Qué tan buena es la aproximación, para los gases ideales? ¡La aproximación es bastante buena! Curso propedéutico, Física moderna 2008

4. Compliquemos las cosas: ¿Qué ocurre con las moléculas diatómicas? R.- Aquí tenemos que considerar otros grados de libertad: Rotaciones y vibraciones. 6.3 Capacidad Calorífica de Sólidos Energía rotacional Clásica Energía vibracional Cuántica Curso propedéutico, Física moderna 2008

5. EN una molécula diatómica, existen: 3 grados de libertad translacional 3 grados de libertad rotacional 1 grado de libertad vibracional 6.3 Capacidad Calorífica de Sólidos (1 alrededor del eje principal es Muy pequeño y puede despreciarse) En total hay 6 grados de libertad Curso propedéutico, Física moderna 2008

6. -- Los 3 grados vibracionales contribuyen con R/2 en energía molar total -- Los 2 grados rotacionales contribuyen con R/2 cada uno -- el vibracional con R (R/2 por el término cinético y R/2 por el potencial) TOTAL= 3R/2 (trans) +R (Rot) +R(vib) = 7R/2 = 3.5R 6.3 Capacidad Calorífica de Sólidos ¿Qué se ve en la realidad? Curso propedéutico, Física moderna 2008

7. TOTAL= 3R/2 (trans) +R (Rot) +R(vib) = 7R/2 = 3.5R 6.3 Capacidad Calorífica de Sólidos ¿qué valores se obtienen Si uno considera el oscilador Cuántico? Clásica Energía vibracional Cuántica Curso propedéutico, Física moderna 2008

8. TOTAL= 3R/2 (trans) +R (Rot) +R(vib) = 7R/2 = 3.5R (clásico) 6.3 Capacidad Calorífica de Sólidos (cuántico) TOTAL= 3R/2 (trans) +R (Rot) = 5R/2 = 2.5R Más cercano! ¿Por qué funciona mejor con moléculas ligeras que grandes? Curso propedéutico, Física moderna 2008

9. Modelos para sólidos 6.3 Capacidad Calorífica de Sólidos Clásico: Modelo de P.L Doulong y de A.T Petit (1819) - El producto del calor específico por el peso atómico del elemento sólido es independiente del elemento Cuántico: Modelo de Einstein (1906) (Notas) -empleando el oscilador cuantizado y la distribucuón de boltzmann se obtienen acuerdos con calores específicos a alta y baja temperaturas. Modelo clásico de conductividad de Drude Estadística de Fermi-Dirac. Partículas idénticas. Modelo de metales de Sommerfeld Curso propedéutico, Física moderna 2008

10. Modelos para sólidos • Clásico: Modelo de P.L Doulong y de A.T Petit (1819) • El producto del calor específico por el peso atómico del elemento sólido es independiente del elemento 6.3 Capacidad Calorífica de Sólidos Richards 1893): 1.- Se modela un sólido como un conjunto de átomos ligados Por resortes, con un acoplamiento débil. 2.- Se sabe que el oscilador armónico lineal contribuye con R unidades al calor específico molar 3.-El modelo de sólido es un oscilador en 3 dimensiones, ergo: Cv = 3R = 5.96 Cal/mol oC Curso propedéutico, Física moderna 2008

11. Modelos para sólidos En general hubo poca concordancia de la predicción de D-P aunque para algunos sólidos a temperatura ambiente, la ley de Doulong y Petit se cumple Razonablemente (aunque falla miserablemente a bajas temperaturas) 6.3 Capacidad Calorífica de Sólidos Curso propedéutico, Física moderna 2008

12. Modelos para sólidos En general hubo poca concordancia de la predicción de D-P aunque para algunos sólidos a temperatura ambiente, la ley de Doulong y Petit se cumple Razonablemente (aunque falla miserablemente a bajas temperaturas) 6.3 Capacidad Calorífica de Sólidos Para resolver estas discrepancias, Einstein ( 1906) desarrolló Un modelo de sólido, para evaluar el calor específico: Curso propedéutico, Física moderna 2008

13. Para resolver estas discrepancias, Einstein ( 1906) desarrolló Un modelo de sólido, para evaluar el calor específico: 6.3 Capacidad Calorífica de Sólidos PREMISAS 1. Cada átomo en la latiz es un oscilador armónico cuantizado 2. Los átomos vibran a la misma frecuencia Curso propedéutico, Física moderna 2008

14. ESTADO SÓLIDO La Próxima semana 6.1 Estructura de sólidos, estructura cristalina * 6.2 Energía de un átomo en una malla cristalina, afinidad electrónica y número de Mandelung 6.3 Capacidad Calorífica de Sólidos 6.4Teoría clásica de conducción (Modelo de Drude) 6.5- Distribución de Fermi-Dirac 6.6 Teoría de semiconductores. Temario, semana 6 Curso propedéutico, Física moderna 2008

15. ESTADO SÓLIDO 6.1 Estructura de sólidos, estructura cristalina * 6.2 Energía de un átomo en una malla cristalina, afinidad electrónica y número de Mandelung 6.3 Capacidad Calorífica de Sólidos 6.4 Teoría de bandas. Teoría de conductores 6.5- Distribución de Fermi-Dirac 6.6 Modelo de Sommerfeld Capacidad calorífica de Metales 6.6 Teoría de semiconductores. Temario, semana 6 Curso propedéutico, Física moderna 2008

16. ESTADO SÓLIDO 6.1 Estructura de sólidos, estructura cristalina * 6.2 Energía de un átomo en una malla cristalina, afinidad electrónica y número de Mandelung 6.3 Capacidad Calorífica de Sólidos 6.4 Teoría de bandas. Teoría de conductores 6.5- Distribución de Fermi-Dirac 6.6 Teoría de semiconductores. Modelo de Kronig-Penney Temario, semana 6 Curso propedéutico, Física moderna 2008

17. En un sistema atómico, los valores permitidos de energía están cuantizados Teoría de Bandas Muchos átomos 1 átomo En un material sólido, los niveles de energía forman bandas Curso propedéutico, Física moderna 2008

18. ¿por qué se forman bandas al asociar átomos? Teoría de Bandas Recordemos cómo se forma una molécula al sumar dos átomos: Sumando dos átomos en estado 1S se tienen dos combinaciones posibles Una simétrica y otra antisimétrica: Curso propedéutico, Física moderna 2008

19. Energéticamente Modelo de Kronig Penney Curso propedéutico, Física moderna 2008

20. Para 3 moléculas, la combinación lineal de orbitales da lugar a 3 niveles: Modelo de Kronig Penney 10 átomos: Curso propedéutico, Física moderna 2008

21. Para un número Grande de átomos los Niveles desaparecen Y en su lugar aparecen Bandas. Modelo de Kronig Penney Curso propedéutico, Física moderna 2008

22. Para justificar de manera más formal la aparición de bandas, revisaremos El modelo de Kronig-Penney, para evaluar los niveles de energía permitidos En un material. Modelo de Kronig Penney 1.- Consideramos un modelo unidimensional, en el que un electron sufre la influencia de los iones de la latiz 2 .- Modelamos un cristal como una serie De potenciales periódicos de separación d La región I es el espacio entre iones y la II el lugar donde se encuentran Los iones. Curso propedéutico, Física moderna 2008

23. V(r)  =  V(r + a) Modelo de Kronig Penney La región I es el espacio entre iones y la II el lugar donde se encuentran Los iones. La dinámica Del electrón estádada por: Curso propedéutico, Física moderna 2008

24. Modelo de Kronig Penney Las soluciones en estas regiones son: Curso propedéutico, Física moderna 2008

25. Modelo de Kronig Penney Se determinan a partir de condiciones de continuidad En las fronteras de las regiones, en particular para Psi y para Su derivada, así como de la normalización de PSI EC1 Curso propedéutico, Física moderna 2008

26. Modelo de Kronig Penney Sin embargo, estas son solo soluciones para las regiones I y II, mientras que Nosotros buscamos soluciones para toda la malla. Con el fin de encontrar la solución general, recurrimos al teorema de Bloch: Curso propedéutico, Física moderna 2008

27. TEOREMA DE BLOCH “Si x es un vector cualquiera en una latiz periódica e infinita, y ψ es solución a la ecuación de schroedinger para un potencial V(r), entonces, para una latiz que satisfaga V(r)=V(r+t) existe un vector de onda k en la latiz inversa, y una Función periódica uj(k) tales que: Modelo de Kronig Penney Tiene la misma periodicidad del potencial Se puede ver de la ecuación 1 que: Es decir, la función de onda en x es igual a aquella desplazada en a Unidades, más un cambio de fase exp(ika) Curso propedéutico, Física moderna 2008

28. Modelo de Kronig Penney Evaluando lafunción de onda en d y en a, tenemos: Curso propedéutico, Física moderna 2008

29. Y de las derivadas, se puede probar que: Modelo de Kronig Penney Curso propedéutico, Física moderna 2008

30. En suma, se tiene el siguiente sistema de ecuaciones: (1) Modelo de Kronig Penney (2) (3) Curso propedéutico, Física moderna 2008

31. En suma, se tiene el siguiente sistema de ecuaciones: (1) Modelo de Kronig Penney (2) (3) Para que este sistema tenga una solución no trivial, el determinante debe Ser cero. Esto lleva a la siguiente condición Curso propedéutico, Física moderna 2008

32. En suma, se tiene el siguiente sistema de ecuaciones: (1) Modelo de Kronig Penney (2) (3) Para que este sistema tenga una solución no trivial, el determinante debe Ser cero. Esto lleva a la siguiente condición Curso propedéutico, Física moderna 2008

33. Para que este sistema tenga una solución no trivial, el determinante debe Ser cero. Esto lleva a la siguiente condición Modelo de Kronig Penney Esta condición establece constricciones sobre las energías posibles en el potencial, y los vectores de onda posibles. Curso propedéutico, Física moderna 2008

34. Para que este sistema tenga una solución no trivial, el determinante debe Ser cero. Esto lleva a la siguiente condición Modelo de Kronig Penney Soluciones válidas No hay soluciones que satisfagan el teorema De Bloch. Curso propedéutico, Física moderna 2008

35. Algunas soluciones numéricas Modelo de Kronig Penney Curso propedéutico, Física moderna 2008

36. Algunas soluciones numéricas Modelo de Kronig Penney Curso propedéutico, Física moderna 2008

37. NOTAS La tareas se subirá hoy en la tarde Curso propedéutico, Física moderna 2008

38. NOTAS Dependiendo de el valor Del gap de energía se tienen conductores, semiconductores Y aislantes. Curso propedéutico, Física moderna 2008

39. NOTAS La tarea de toda esta seccion se subirá el día de mañana. - Curso propedéutico, Física moderna 2008