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陳炳昌 PING-CHANG ， CHEN ritzcartoon51@yahoo.tw skype:cpc1751

控制系統. 陳炳昌 PING-CHANG ， CHEN ritzcartoon51@yahoo.com.tw skype:cpc1751. 1. CHAPTER. 導 論. 本章目的. 1. 控制系統是什麼。 2. 控制系統的重要性為何。 3. 控制系統的基本組件是什麼。 4. 控制系統的一些應用實例。 5. 為何大多數的控制系統需要回授。 6. 控制系統的型式。. 控制系統於現代文明之應用. 電力監控、工具機控制、太空技術與軍事系統、電腦控制、運輸系統、動力系統、機器人、微機電系統 、奈米生物科技與其它控制應用. 1. CHAPTER.

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  1. 控制系統 陳炳昌PING-CHANG，CHENritzcartoon51@yahoo.com.twskype:cpc1751

  2. 1 CHAPTER 導 論 本章目的 1. 控制系統是什麼。 2. 控制系統的重要性為何。 3. 控制系統的基本組件是什麼。 4. 控制系統的一些應用實例。 5. 為何大多數的控制系統需要回授。 6. 控制系統的型式。 控制系統於現代文明之應用 電力監控、工具機控制、太空技術與軍事系統、電腦控制、運輸系統、動力系統、機器人、微機電系統 、奈米生物科技與其它控制應用

  3. 1 CHAPTER 導 論 控制系統的基本組件 1. 控制的目標。 2. 控制系統組件。 3. 結果或輸出。 圖 1-1 控制系統的基本組件 目標 就是輸入 (inputs)或激勵訊號 (actuating signals)u，而結果就是輸出 (outputs)或受控變數(controlled variables)y。

  4. 1 CHAPTER 導 論 控制系統應用實例 ※ 聰穎型運輸系統 ※ 智慧型系統 機器人：以更高的精確度進行更快速的運動。 光石版影印術：藉由在光蝕刻電路印刷製程中，控制振動進而 製造出 更細小的微電子電路。 生物力學與生物醫學：人工肌肉、藥劑傳輸系統，及其它輔助技術。 程序控制：例如，太陽能反射器或空氣動力面板的外型開關控制。 ※ 迴圈中的硬體與建構虛擬原型機的控制 → MATLAB 及 Simulink 等設計工具 ※ 汽車的駕駛控制 →多變數系統 (multivariable systems) ※ 汽車的惰速控制 ※ 工業用縫紉機 ※ 太陽能搜集器的循跡控制

  5. 1 CHAPTER 導 論 ※ 太陽能電能搜集器的循跡控制 利用太陽能抽取地下水的示意圖 在白天，藉著太陽能搜集器得來的電力把地下水抽到水庫中 (水庫可能是在山邊)；清晨再利用水庫的水來灌溉。 圖 以太陽能抽取地下水之示意圖

  6. 1 CHAPTER 導 論 ※開迴路控制系統 (無回授系統) 圖 開迴路控制系統之元件圖 控制器可能是一個放大器、PID或其它控制元件，依系統的控制需求而定。在更複雜的系統中，控制器可能是一部電腦或微處理機。 開迴路系統較經濟但通常較不準確 開迴路系統控制效果較不精確，系統適應性也降低。

  7. 1 CHAPTER 導 論 ※ 何謂回授及其作用為何？ 當有一序列因果關係 存在於某系統的許多變數之間時，則回授存在。 ※ 回授系統之基本結構 系統的輸入-輸出關係 (1-1) r是輸入訊號，y是輸出訊號，e是誤差訊號，而 b是回授訊號；參數 G和 H可視為順向與回授增益。 圖 1-11 回授系統

  8. 1 CHAPTER 對開迴路系統而言，因 ，系統增益會以 一對一的方式反應 G的 改變。 導 論 ※ 控制系統應對參數的靈敏度 ( 回授可增加或降低 系統靈敏度 圖 1-11 回授系統 在實際應用上，因 GH是頻率的函數，1 + GH的值在某些頻率範圍會小於 1。

  9. 1 CHAPTER 1) 若無回授 H = 0，由 n單獨作用時的輸出 y為 : (1-5) (1-6) 2) 假定有回授存在，由 n單獨作用所引起的系統輸出為: 導 論 ※ 回授對外界干擾或雜訊的影響 圖 1-13 具雜訊的回授系統 回授可降低雜訊的影響 回授會影響頻帶寬度，阻抗，暫態和頻率響應

  10. 1 CHAPTER 導 論 ※ 回授控制系統的分類 由分析和設計的觀點: 1) 線性 (linear) 或非線性 (nonlinear)：自然界以非線性系統佔多數 2) 時變 (time-varying) 或非時變 (time-invariant)：以採用被動元件決定之 由系統訊號型式觀點: 1) 類比訊號 (analog data) 或離散資料 (discrete-data) 系統 2) 調變 (modulated) 或未調變 (unmodulated) 系統 以系統的主要功用來分類: 位置控制系統 (position-control system) 和速度控制系統 (velocity-control system)等 ※ 線性和非線性控制系統之對比 大多數真實的控制系統都具有某些程度的非線性特質 嚴格而言，線性系統實際上並不存在 非線性系統並無通用性解法

  11. 1 CHAPTER 圖 典型的直流閉迴路控制系統示意圖 導 論 ※ 閉迴路直流控制系統 直流控制系統意謂著訊號未經調變

  12. 1 CHAPTER 圖 典型交流閉迴路控制系統示意圖 導 論 系統中的訊號被調變，亦即以交流載波訊號來做資訊的傳輸。 ※ 典型交流控制系統 交流控制系統的典型元件有同步器、交流放大器、交流馬達、陀螺儀、加速規等。

  13. 1 CHAPTER 導 論 ※ 離散資料控制系統 其訊號在系統的某處或多處是以脈波序列或數位碼的形式出現稱之。 離散資料控制系統：取樣資料控制系統和數位控制系統兩種。 ※ 取樣資料系統的工作原理 圖 1-16 取樣資料控制系統方塊圖 將一個連續的輸入訊號 r(t) 加於系統中，誤差訊號 e(t) 以取樣裝置 (取樣器) 加以取樣，而取樣器的輸出是一序列的脈波。 數位控制系統較不易受雜訊干擾

  14. 第二章　　　數學基礎工具 1. 介紹拉氏轉換定義與理論。 2. 說明以拉氏轉換求解線性常微分方程式。 3. 介紹系統轉移函數定義與應用於建置線性非時變系統的模型。 本章大部份習題的求解均可以MATLAB 分析 控制理論所需數學背景包括矩陣分析、線性代數、機率、複變函數理論、微分和差分方程式、拉氏轉換、z轉換等。

  15. 之拉氏轉換 ※ 拉氏轉換 1. 自然響應與強行響應，可於同一計算分析中求得。 2. 拉氏轉換將微分方程式座標轉換為含 s變數的代數方程式。 ※ 拉氏轉換的定義 系統稱為因果系統 (causal system) 或實際可實現的系統 (physically realizable system)。 函數 f (t) 滿足下列的條件： 對某個有限的實數 ，f (t) 的拉氏轉換定義為 右側單邊拉氏轉換 (one-sided Laplace transform) (2-3) 其中，s =  + j。 嚴格而言，單邊拉氏轉換應定義成 t = 0 ＋至 t = 。符號0＋代表由t = 0 的右邊取 t 0 的極限。

  16. １．假設 f (t) 為單位步級函數 f (t) 之拉氏轉換為 ２．自然指數函數 f (t) 之拉氏轉換為 其中 為一實數。

  17. 的反拉氏轉換 ※ 反拉氏轉換 反拉氏轉換積分則定義為 PS:其中，c是實常數，它大於 F(s) 所有極點的實數部份。 ★ MATLAB 工具 (TFtool) 亦可用來解部份分式展開和反拉氏轉換。 ※ 拉氏轉換的重要定理 k 為一實常數 ■ 定理 1. 乘上常數 ■ 定理 2. 和及差

  18. ※ 拉氏轉換的重要定理 ■定理 3.微分 (2-13) ★ 對f (t) 的高階微分而言 (2-14) 其中， f (i) (0) 代表 f (t) 對 t之第 i階微分在 t = 0 時之值。 ■ 定理 4. 積分 (2-15) ★ 對n階積分而言 (2-16)

  19. ※ 拉氏轉換的重要定理 其中，us (t T) 為向右位移 T時間的單位步階函數。 ■ 定理 5. 時間的移位定理 (2-17) ■ 定理 6. 初值定理 假設時間極限存在 (2-18) ■ 定理 7. 終值定理 (2-19) 終值定理僅在當 sF(s) 在 j軸和 s 平面右半平面沒有極點時才適用 若 sF(s) 包含了實數部份是零或正值的任何極點時，終值定理就不適用；亦即在定理中 sF(s) 必須是可解析函數。

  20. ３．Find ４．find (2-22)  為任意常數 ■ 定理 8. 複數移位 ■ 定理 9. 實數旋捲理論 ，且 t < 0 時，f1(t) = 0，f2(t) = 0 (2-24) 其中，符號 ＊ 表 t領域之迴旋積分 (convolution)。

  21. ※ 以殘值求反拉氏轉換 有理函數的反拉氏轉換運算可使用部份分式展開法和拉氏轉換表來求出。 ※ 部份分式展開法 其中，P(s) 和 Q(s) 為 s之多項式 ★G(s) 僅有單極點時 其中， s1s2sn。 其中， (i = 1，2，，n)

  22. 以殘值找出係數 Ks1： ５． 求下列函數的部份分式形式： <Sol.>

  23. 項 單 階 極 點 項 多階極 點 極點在 s = si是 r階ploes (i 1，2，，n r ) ★G(s) 具多階極點殘值定理應用 G(s) 可展開成： (n r) 個係數 Ks1，Ks2，，Ks(n r)對應 (nr) 個單階極點，這些係數可依前述方法求之 多階極點的係數 A1，，A r，則如下求算︰

  24. ６． 求算下列函數的部份分式形式： <Sol.> 對應單階極點的係數求法如下： 三階極點的係數則為

  25. 和 ★赫j維塞德不重複因子法則：G(s) 有單共軛複數極點時 假設 有理函數 G(s) 包括了一組複數極點︰ 這些極點的對應殘值為 ７． 考慮函數 若假設 （damping ratio)之值小於 1，試求g (t) = ? <Sol.>

  26. 可解出 (2-55) 式的係數為 或

  27. ※ 拉氏轉換解線性常微分方程式 用拉氏轉換的方法來解線性常微分方程式的步驟如下︰ 1. 利用拉氏轉換將微分方程式轉換至 s平面。 2. 處理轉換過後的代數方程式，求Y(s)。 3. 對此代數方程式進行部份分式展開。 4. 以反拉氏轉換求y(t)。 ８． 求解微分方程式： 初值： y(0) = 1 及 <Sol.>

  28. 全響應 ★ 應用終值定理 求y (t) 的穩態解 (2-68) ９． 求解微分方程式： y(t) 和 dy(t)/dt 的初值皆為零。 <Sol.>

  29. 輸入 u (t) 輸出 y(t);Y(S)=G(S) LTI System g(t) Impulse  (t) Impulse response y(t) = g(t) ※ 線性系統的脈衝響應及轉移函數 ★ 脈衝響應定義：

  30. Impulse response y(t) = g(t) 輸入 u(t) 輸入 y(t) LTI System g (t) Impulse (t) ※系統轉移函數定義 令起始條件為零 SISO線性非時變系統，其輸入-輸出的關係常以微分方程式來描述。一線性非時變系統的輸入-輸出關係，為常係數 n階微分方程式 係數 a0，a1，，an1和 b0，b1，，bm為實數 (2-86) u(t) 與 y(t) 之間的轉移函數為

  31. ★ 轉移函數特性 1. 轉移函數只定義於線性非時變系統，對非線性系統則無意義。 2. 系統的輸入變數與輸出變數之間的轉移函數定義為脈衝響應的拉氏轉換；換言 之，是輸出的拉氏轉換與輸入的拉氏轉換之比。且系統的所有起始條件均假設　為零。 4. 轉移函數與輸入函數無關。 5. 連續資料系統的轉移函數表示成僅為複變數 s的函數，而非實變數、時間或任 何其它獨立變數的函數。離散資料系統可用差分方程式來表示，當使用 z轉換 時，轉移函數就變成複變數 z的函數。 ★ 適當轉移函數 如果 分母多項式的階數大於分子多項式的階數 (即 n > m)，則稱轉移函數是嚴格適當的 (strictly proper)；若 n = m，則稱轉移函數為適當的 (proper)，若 m > n，則稱轉移函數為不適當的 (improper)。 ★ 特性方程式： 在S domaIn將轉移函數的分母設為零即可得線性系統的特性方程式

  32. ※第三章： 方塊圖：可用來描述系統的組成及連結，也可與系統轉移函數用來表示整個系統的因果關係。 ★ 開迴路直流馬達速度控制系統 1. 直流馬達控制系統的輸入-輸出關係 圖 2. 放大器特性在線性區域內的轉移函數 K是一個常數 圖 (a) 直流馬達控制系統的方塊圖，(b) 具轉移函數及放大器特性的方塊圖

  33. ※ 控制系統的方塊圖 1. 感測裝置：有電位計、同步器、分解器、差動放大器、倍增器，及其它用於訊 號處理的換能器。 2. 感測器可執行簡單的 數學運算，如加法與 減法。 3. 方塊圖元件如圖 所示。 ★ 例如：圖（a) 中 圖 ：控制系統典型感測裝置的方塊圖元件。(a) 減；(b) 加；(c) 加和減；(d) 乘

  34. ★ 線性回授控制系統的方塊圖 r(t)，R(s) ≡參考輸入 (命令) y(t)，Y(s) ≡輸出 (受控變數) b(t)，B(s) ≡回授訊號 u(t)，U(s) ≡驅動訊號 = 誤差訊號 e(t)，E(s)，當 H(s) = 1 H(s) ≡回授轉移函數 G(s)H(s) ≡L(s) = 迴路轉移函數 G(s) ≡順向路徑轉移函數 M(s) ≡Y(s)/R(s) = 閉迴路轉移函數或系統轉移函數 圖回授控制系統的基本方塊圖 ★閉迴路轉移函數 M(s)

  35. ※ 訊號流程圖 訊號流程圖 可視為方塊圖的簡化圖，用於描述由代數方程式所代表的線性系統的因果關係。 訊號流程圖定義︰將一組線性代數方程式的變數之間輸入-輸出關係以圖示的方式描述。 ★以一組 N個代數方程式所描述的線性系統︰

  36. N個方程式寫成因果關係型式︰ 當系統以一組積微分方程式來表示時，首先必須將方程式改寫成拉氏轉換方程式，然後再將後者排成 (3-21) 式的形式，或 ※ SFG 的基本名詞定義 • 連結點或節點用來表示變數。 • 支路是由支路增益和支路方向組成。 • 訊號可以經由支路依箭頭指示方向傳輸。 訊號流程圖的繪圖是基於因果關係，而將任一變數本身和其它變數連結在一起。

  37. Ex. 單一方程式所表示的線性系統 圖 y2 = a12y1的訊號流程圖 其中， y1是輸入，y2是輸出，而 a12 是兩個變數之間的增益或傳輸度。 在兩個節點 y1和y2之間的支路，可視為具有增益 a12的單向放大器。 ２． 考慮下列一組代數方程式，作為建構一個 SFG 的例子︰ 上方程式的訊號流程圖圖解於下圖 中。

  38. ※ 訊號流程圖的基本特性摘要 1. 訊號流程圖只能適用於線性系統。 2. 畫訊號流程圖時所根據的方程式，必須是因果型式的代數方程式。 3. 節點代表變數。通常，節點由左排到右，由輸入至輸出依照整個系統的因果 關係排定次序。 4. 訊號沿著支路傳送時，是沿支路上箭頭所指的方向傳送。 5. 由節點 yk至 yj的支路，表示變數 yj依 yk 而變，反之並不成立。 6. 訊號 yk沿著節點 yk和 yj之間的支路傳送，則到達 yj的訊號是乘上支路增益 akj，即訊號為 akj yk。 ※ SFG 的名詞定義 輸入節點 (源點)一個節點若只有出去的支路時稱為輸入節點。 一輸入節點僅有出去的支路 輸出節點 (汲點)一個節點若只有進來的支路時稱為輸出節點。 一輸出節點僅有進來的支路

  39. 路徑 任何通過同一方向的支路群連續系列的組合均稱為 路徑 (path)。 順向路徑 若一路徑起始於輸入節點，結束於輸出節點 且沿途所經過的節點沒有超過一次以上時， 則稱此路徑為順向路徑 (forward path)。 例如，圖 中的訊號流程圖。 圖 使節點 y2改成輸入節點的錯誤方法 在 y1和 y3之間有兩條順向路徑 y1和 y4之間找到兩條順向路徑 y1和 y5之間也有三條順向路徑 迴路 若一路徑的起點和終點是在同一節點，且沿途節點並沒有遭遇一次以上時，則稱此路徑為迴路 (loop)。 圖 (d) 完整的訊號流程圖

  40. 例如，圖 (d)的訊號流程圖有四個迴路。這些迴路如下圖 所示。 圖 ：在圖 (d) 中訊號流程圖的四個迴路 圖 (d) 完整的訊號流程圖

  41. 路徑增益 在一路徑中所遇到的支路其支路增益的乘積稱為路徑增益 (path gain)。 順向路徑增益 順向路徑增益 (forward-path gain) 為一順向路徑的路徑增益。 迴路增益 一迴路的路徑增益即稱為迴路增益 (loop gain)。 例如，圖 中迴路 y2y4 y3y2的迴路增益為 a24a43a32。 無接觸迴路 一 SFG 的兩部份若無共用節點，則稱此兩部份為無接觸的 (nontouching)。 一 SFG 的兩部份如果沒有共有節點，則為無接觸的。 例如圖 (d) 中 SFG 的 y2y3y2和 y4 y4迴路，即為無接觸迴路。 圖 (d) 完整的訊號流程圖

  42. ※ SFG 的 Mason rule增益公式 已知 SFG 有 N個順向路徑和 K個迴路，在輸入節點 yin和輸出節點 yout之間的增益為 其中 yin = 輸入節點變數 yout= 輸出節點變數 M = yin和 yout之間的增益 N = yin和 yout之間順向路徑的總數 Mk = yin和 yout之間第 k條順向路徑的增益

  43. Lmr = r個無接觸迴路 (1 r K) 的第 m種 (m = i，j，k，) 可能組合的增益乘積 或 = 1 (所有個別迴路增益和) + (兩個無接觸迴路的所有可能組合的增益 乘積總和)  (三個無接觸迴路的所有可能組合的增益乘積總和) +  k = 在訊號流程圖中與第 k個順向路徑無接觸部份的 。 • SFG增益公式僅能應用於一個輸入節點與輸出節點之間 ► 3. 以下圖 的訊號流程圖，試求系統轉移函數 Y(s)/R(s)。 圖 　回授控制系統的訊號流程圖 <Sol.> 1. 在 R(s) 和 Y(s) 之間只有一條順向路徑，順向路徑增益是

  44. (3-34) 2. 只有一個迴路；迴路增益是 (3-35) 3. 因為只有一個迴路，故沒有兩個以上之無接觸迴路。且順向路徑和唯一的迴路接觸。因此 1 = 1，及 利用 (3-31) 式，閉迴路轉移函數可寫成 求圖 的 SFG。首先以mason rule增益公式來決定 y1 和 y5之間的增益。 ４． 圖 (d) 完整的訊號流程圖

  45. <Sol.> 1. 三個順向路徑與順向路徑增益為︰ 2. SFG 的四個迴路增益為︰ 3. 有一對無接觸的迴路，即下列兩個迴路 這兩個無接觸迴路的增益乘積為 4. 所有的迴路都與順向路徑 M1和 M3有接觸。因此 1 = 3 = 1。 5. 所有迴路中有兩個迴路與順向路徑 M2無接觸，它們是迴路 y3y4 y4和 y4 y4。

  46. 6. y1和 y5之間的增益： 其中 ★ 若選 y2為輸出，則 5.考慮圖 中的SFG。利用mason增益公式可得下列輸入-輸出關係︰ <Sol.>

  47. 其中

  48. ※ 增益公式在輸出節點及非輸入節點之間的應用 在 前圖 的 SFG 中，我們想找出關係 y7/y2。 令 yin為 SFG 的輸入，而 yout為輸出。針對非輸入節點 y2言，增益 yout /y2可寫成 ６． 求y2與 y7之間的增益可寫成 ※ 增益公式在方塊圖中的應用 1. 通用增益公式可用來求解方塊圖或訊號流程圖輸入-輸出關係。 2. 先繪出方塊圖對應的等效訊號流程圖，再應用增益公式。

  49. ７．為說明如何建構一方塊圖的等效 SFG 及如何應用增益公式於方塊圖， 考慮下圖中的方塊圖。試求系統的閉迴路轉移函數Y(s)/R(s) = ? • 圖 控制系統的方塊圖； • (b) 等效的訊號流程圖

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